2020版高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用学案（含解析）（12份）

3．1.1　函数的平均变化率
学习目标　1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
知识点　函数的平均变化率
1．函数的平均变化率的定义
已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，
令Δx＝x－x0；
Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
则当Δx≠0，比值＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3．作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．
4．几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
1．在平均变化率的定义中，自变量x的增量Δx＞0.(　×　)
2．对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为.(　√　)
3.＝是f(x)在区间[x0，x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率，也可以说是f(x)在x＝x0处的变化率．(　×　)
题型一　函数的平均变化率
命题角度1　求函数的平均变化率
例1　求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　
题点　
解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，
k3＝6＋＝，
由于k1反思感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
答案　Δx
解析　＝
＝
＝Δx.
命题角度2　平均变化率的几何意义
例2　过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
解　割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思感悟　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即kP1P2＝＝.
跟踪训练2　(1)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是(　　)
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
(2)过曲线y＝f(x)＝图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为________．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　(1)B　(2)
解析　(1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC(2)当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
故－2＋Δy＝＝－，
故k＝＝.
题型二　求物体的平均速度
例3　一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，求该质点在t＝1,2,3附近，Δt＝时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．
解　s(t)在t0到t0＋Δt之间的位移增量为s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(t＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2，
＝＝2t0＋Δt，
将t0＝1,2,3，Δt＝分别代入上式得，
当t0＝1时，平均速度＝；
当t0＝2时，平均速度＝；
当t0＝3时，平均速度＝.
由上面的计算知，t＝3附近的平均速度最大．
引申探究
若该质点在2到2＋Δt之间的平均速度不大于5，则Δt(Δt＞0)的取值范围是什么？
解　s(t)在t0到t0＋Δt之间的位移增量为s(t0＋Δt)－s(t0)＝(t0＋Δt)2＋1－(t＋1)＝2t0Δt＋(Δt)2.
＝＝2t0＋Δt.
当t0＝2时，由题意，得4＋Δt≤5，得Δt≤1.
又因为Δt＞0，故Δt的取值范围是(0,1]．
反思感悟　已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化率．
跟踪训练3　动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中
(1)Δt＝1；(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.
解　动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为
＝
＝＝5Δt＋210，
(1)当Δt＝1时，＝5×1＋210＝215(m/s)．
(2)当Δt＝0.1时，＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)．
(3)当Δt＝0.01时，＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4B．2C．0.3D．0.2
答案　B
解析　＝＝2.
2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为(　　)
A．1B．－1C．2D．－2
答案　B
解析　＝＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx,6＋Δy)，则为(　　)
A．Δx＋＋4 B．Δx－－4
C．Δx＋4 D．4＋Δx－
答案　C
解析　＝＝＝Δx＋4.
4．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案　2
解析　ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝.
∴m2＋m＋1＝7，
∴m＝2或m＝－3(舍)．
理解平均变化率要注意以下几点：
(1)平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
(2)为求点x0附近的平均变化率，上述表达式常写为的形式．
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
一、选择题
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)
A．4B．4.1C．0.41D．3
答案　B
解析　＝＝4.1.
2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　)
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案　B
解析　在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．
所以乙厂的治污效果较好．
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于(　　)
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
答案　B
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.
4．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能(　　)
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案　C
5．函数y＝f(x)＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为(　　)
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
答案　C
解析　＝
＝＝Δx＋3.
6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
答案　D
解析　k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx.
又因为Δx可正可负且不为0，
所以k1，k2的大小关系不确定．
二、填空题
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)
答案　1<2<3
解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知，kOA8．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，所以t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
9．在曲线y＝2x2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则＝________.
答案　2Δx＋4
解析　＝＝2Δx＋4.
10．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为________．
答案　2π＋πΔr
解析　当r∈[1,1＋Δr]时，圆的面积S的平均变化率为＝＝
＝2π＋πΔr.
三、解答题
11．过曲线y＝f(x)＝x3＋2x上两点P(1,3)和Q(1＋Δx，3＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.2时割线的斜率．
解　由条件可知，当Δx＝0.2时，
kPQ＝＝
＝
＝(Δx)2＋3Δx＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64.
故当Δx＝0.2时，割线的斜率为5.64.
12．若函数f(x)＝－2x2＋x在[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[1,1＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－2Δx
∴由－3－2Δx≤－1，得Δx≥－1.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
13．以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为s(t)＝v0t－gt2(g为物体的重力加速度)．
(1)求物体从时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)求物体在t＝10s到10.4s这段时间内的平均速度．
解　(1)由t0到t0＋Δt，则改变量为Δt.
因为Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)
＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt
＝v0Δt－gt0·Δt－g(Δt)2，
所以＝＝
＝v0－gt0－gΔt.
(2)当t0＝10s，Δt＝0.4s时，
则物体在t＝10s到10.4s这段时间内的平均速度
＝v0－10g－×g×0.4＝v0－10.2g.
14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．
答案　0.25
解析　第二年婴儿体重的平均变化率为
＝0.25(千克/月)．
15．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞).
3.1.2　瞬时速度与导数
学习目标　1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．
知识点一　瞬时变化率
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
知识点二　函数的导数
1．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝.
2．导函数定义
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或yx′、y′)．
3．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝.
1．函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率．(　√　)
2．平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况．(　√　)
3．f(x)在x＝x0处的导数就是导数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)
题型一　求函数在某一点处的导数
例1　求y＝x2在点x＝1处的导数．
解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
＝＝2＋Δx，
∴＝ (2＋Δx)＝2，∴y′|x＝1＝2.
反思感悟　求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
跟踪训练1　(1)若＝k，
则等于(　　)
A．2k B．k
C.k D．以上都不是
答案　A
解析　，
＝2＝2k.
(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16，
＝ (2Δx＋16)＝16，
所以y′|x＝3＝16.
题型二　求物体运动的瞬时速度
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．
解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.
引申探究　
1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．
解　∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴＝ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1m/s.
2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，
∵＝
＝2t0＋1＋Δt.
∴＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.
反思感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
②求平均速度＝.
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．
解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
∴＝4a＝8，即a＝2.
题型三　导数的实际意义
例3　一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算2s和6s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．
解　在2s和6s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)，当x＝2时，＝
＝
＝＝Δx＋11，
所以f′(2)＝＝ (Δx＋11)＝11，
即在2s时的水流速度为11m3/s.
同理可得在6s时的水流速度为19m3/s.
在2s与6s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2s时附近，水流大约以11m3/s的速度流出，
在6s时附近，水流大约以19m3/s的速度流出．
反思感悟　导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率．
跟踪训练3　服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义．
解　f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．
f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．
1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为(　　)
A．－4.8m/s B．－0.88 m/s
C．0.88m/s D．4.8 m/s
答案　A
解析　物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
2．设函数f(x)可导，则等于(　　)
A．f′(1) B．3f′(1)
C.?f′(1) D．f′(3)
答案　A
解析　＝f′(1)．
3．函数f(x)在x0处可导，则(　　)
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均无关
答案　B
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　C
解析　f′(x0)＝＝ (a＋b·Δx)＝a.
5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．
答案　2
解析　f′(1)＝＝＝－a.
由题意知，－a＝－2，∴a＝2.
利用导数的定义求导数三步曲
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
简记为一差，二比，三极限．
一、选择题
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3B．3C．6D．－6
答案　D
解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝(－3Δt－6)＝－6.
2．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)
A．2B．－2C．3D．－3
答案　C
解析　∵f′(1)＝
＝＝a，
又∵f′(1)＝3，∴a＝3.
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2B．－1C．1D．2
答案　B
解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝＝＝－1.
4．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为(　　)
A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4
答案　B
解析　设在t0时刻速度为0，
∵s′(t0)＝
＝
＝ (－8t0＋16－4Δt)
＝－8t0＋16＝0，
∴t0＝2.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
答案　C
解析　f′(0)＝＝
＝ (Δx－3)＝－3.
6．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′(x0)等于(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
答案　C
解析　因为
＝－
＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－，故选C.
7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝f(x)＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为(　　)
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
答案　B
解析　＝
＝
＝3Δx＋6x0＋6，
∴f′(x0)＝＝ (3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，
∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，
得y0＝－2.
∴点P的坐标为(－1，－2)．
二、填空题
8．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，则＝________.
答案　8
解析　＝
＝[2＋]＝2＋3
＝2－3＝2－3f′(3)＝8.
9．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．
答案　
解析　设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，
则f′(x0)＝
＝＝－.
由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，
解得x0＝－2，从而y0＝.
所以导数值等于函数值的点是.
10.如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，则水波面的圆面积的膨胀率是________．
答案　10π
解析　＝＝ (10π＋πΔr)＝10π.
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则＝________.
答案　－22
解析　
＝－2
＝－2f′(x0)＝－22.
三、解答题
12．某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1s内的平均速度；
(2)求在1s末的瞬时速度；
(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s?
解　(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为＝m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.
(3)＝
＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍)，
即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．
解　由导数的定义知，
f′(x0)＝＝2x0，
g′(x0)＝＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，
即3x－2x0－2＝0，
解得x0＝或x0＝.
14．已知函数f(x)＝，则f′(1)等于(　　)
A．－ B．1
C．2 D.
答案　A
解析　f′(1)＝＝
＝＝－.
15．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解　＝
＝
＝＋＝＋，
所以当x＝100时，
＝
＝0.105 (万元/m2)，
即f′(100)＝0.105.
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1050元．
3．1.3　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．
知识点　导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝
＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线却仅有一条．(　×　)
2．曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同．(　×　)
3．这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．(　√　)
题型一　求切线方程
命题角度1　曲线在某点处的切线方程
例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点坐标为P(2,4)．
∵y′|x＝2＝
＝
＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
反思感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
答案　－3
解析　∵y′|x＝2＝
＝＝ (4＋Δx)＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
命题角度2　曲线过某点的切线方程
例2　求抛物线y＝x2过点的切线方程．
解　设切线在抛物线上的切点坐标为，
∵＝
＝＝x0，
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.
∴切线过抛物线y＝x2上的点，，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
反思感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程k＝f′(x0)，得x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
解　设切点坐标为(x0，x＋x0＋1)，
则切线斜率为
k＝
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
题型二　求切点坐标
例3　已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
解　＝
＝＝2x0，
＝
＝＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或－.
引申探究
1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
解　∵＝2x0，＝－3x.
又曲线y1＝x2－1与y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，∴2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．
解　由例3知，x0＝0或－.
当x0＝0时，两条平行切线方程分别为y＝－1，y＝1.
当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
反思感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵＝
＝
＝3x－4x0，
又由题意可知k＝4，∴3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点坐标为时，有＝4×＋a，
解得a＝.
当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
题型三　导数几何意义的应用
例4　(1)函数g(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　
题点　
答案　C
解析　由函数g(x)的图象知，
当x≥0时，g′(x)>0且曲线的切线的斜率逐渐增大，
∴g′(x)单调递增，∴g′(2)∵g(x)上升的越来越快，∴g′(2)∴0(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　－7
解析　设点P(x0,2x＋a)．
由导数的几何意义可得
f′(x0)＝＝＝4x0＝8，
∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟　利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小．
跟踪训练4　(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)B．f′(1)C．f′(2)D．a考点　
题点　
答案　B
解析　由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵＝a，∴易知f′(1)(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
答案　±1
解析　由题意知切线的斜率为3a2，
由点斜式得切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．
令y＝0，得x＝a，令x＝a，得y＝a3，
则·|a3|＝，
解得a＝±1.
求切线倾斜角的范围
典例　已知点P在曲线y＝x3－x＋上，直线l为曲线在P点处的切线，求直线l的倾斜角的取值范围．
考点　
题点　
解　设P(x0，y0)，
＝＝3x－1≥－1，
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
∴tanα≥－1，
画出y＝tanx在∪的图象如图．
通过观察图象，α的取值范围为∪.
[素养评析]　(1)某点处的导数就是该点处切线的倾斜角的正切值，倾斜角范围的确定需利用正切函数图象，借助于图象易于求得倾斜角的范围．
(2)建立形与数的联系，借助于几何直观理解问题，有利于提升学生的数形结合能力，形成数学直观直觉．
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是(　　)
A．半圆B．抛物线C．双曲线D．直线
考点　
题点　
答案　D
解析　由题意，函数是常数函数y＝c(c为常数)．
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案　A
解析　由题意知，k＝y′|x＝0
＝＝1，
∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
3．曲线y＝f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)
A．45°B．60°C．135°D．120°
答案　C
解析　∵f′(x)＝
＝9
＝－9＝－，
∴y′|x＝3＝－＝－1.
又∵直线倾斜角的范围为[0°，180°)，
∴倾斜角为135°.
4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
答案　－2
解析　由题图及已知可得函数解析式为
f(x)＝
由导数的几何意义，知f(x)在x＝1处的斜率为－2.
5．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
答案　(3,30)
解析　设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在
答案　C
解析　由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.
2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案　B
解析　由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是f(x)在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是(　　)
A.B．1C.D．2
答案　D
解析　∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.故选D.
4．下列点中，在曲线y＝f(x)＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
答案　D
解析　∵f′(x)＝＝2x，
又切线的倾斜角为，
∴直线斜率为tan＝1，即2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点坐标为.
5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1B.C．－D．－1
答案　A
解析　∵y′|x＝1＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，即a＝1.
6．设P为曲线C：y＝f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角α的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
答案　D
解析　设点P的横坐标为x0，则曲线在点P处的切线倾斜角α与x0的关系为
tanα＝f′(x0)＝＝2x0＋2.
∵α∈，∴tanα∈[1，＋∞)，
∴2x0＋2≥1，即x0≥－.
∴x0的取值范围为.
7.函数y＝f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　
题点　
答案　B
解析　设x＝2，x＝3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f(3)－f(2)＝＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(2)＝kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，故kBQ二、填空题
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
答案　2
解析　∵函数过点(1,3)，∴a＋b＝3.
又y′|x＝1＝＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.
答案　1
解析　由题图可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1.
10．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
答案　
解析　∵y′|x＝1＝3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即y＝3x－2，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为S＝××4＝.
11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
答案　4
解析　设抛物线在点P处的切线斜率为k，
k＝y′|x＝－2
＝＝－5，
∴切线方程为y＝－5x.
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
12．已知曲线C：y＝f(x)＝x2，试在曲线C上求一点P.
(1)使在该点处的切线平行于直线y＝4x－5；
(2)使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0.
解　设P(x0，y0)是满足条件的点．
因为f′(x0)＝
＝
＝ (2x0＋Δx)＝2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，x0＝2，
又点P在曲线C上，所以y0＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，
得x0＝－，
又点P在曲线C上，所以y0＝，即P.
13．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解　∵f′(x0)＝
＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]
＝3x＋2ax0－9.
＝32－9－，
∴当x0＝－时，f′(x0)取到最小值－9－.
∵函数f(x)斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线的斜率为－12.
∴－9－＝－12，解得a＝±3，
又a<0，∴a＝－3.
14．求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求曲线的切线方程
解　＝＝
＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，
所以＝3x2，即y′＝3x2.
设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，
根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为
k＝3x，①
过(1,1)点的切线的斜率k＝，②
由①②得3x＝，解得x0＝0或x0＝，
所以k＝0或k＝，切点坐标为(0,1)或.
因此曲线y＝x3＋1的过点M(1,1)的切线方程有两个，分别为y－＝和y＝1，
即27x－4y－23＝0和y＝1.
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解　∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝＝(2x＋Δx)＝2x.
设切点坐标为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.
∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，此时a的取值范围是(－∞，2)．
3．2.2　导数公式表
学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
知识点一　常数与幂函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
知识点二　基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝0
f(x)＝xn
f′(x)＝nxn－1(n为自然数)
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1，x>0)
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
题型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x.
解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝＝＝＝.
(4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx.
(5)y′＝()′＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln3.
反思感悟　若题目中所给出的函数解析式不适用导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝lgx；
(2)y＝x；
(3)y＝(1－)＋；
(4)y＝2cos2－1.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求函数的导数
解　(1)y′＝(lgx)′＝(log10x)′＝.
(2)y′＝′＝xln＝－xln2.
(3)∵y＝(1－)＋
＝＋＝＝
∴y′＝－
(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，
∴y′＝(cosx)′＝－sinx.
题型二　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式解决切线问题
例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点坐标为(x0，y0)，由直线PQ的斜率为k＝＝1，
又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－，
所以切点坐标为.
所以所求切线方程为y－＝(－1)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则＝2x0.
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M，
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2　已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝＝cosx0，k2＝＝－sinx0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，
即sin2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．
命题角度2　利用导数公式解决最值问题
例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解　依题意知，抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离为d＝＝.
反思感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1，故可得M(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
导数公式的应用
典例　设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2019(x)等于(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　D
解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，
可知fn(x)关于n的周期为4，
∴f2019(x)＝f504×4＋3(x)＝－cosx.
[素养评析]　熟记导数公式是进行导数运算的前提，正确的进行导数运算，方能找出规律，寻找到正确的结论．
1．下列结论：
①(sinx)′＝cosx；②；
③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案　C
解析　∵②＝；③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)
A. B．0
C. D.
答案　A
解析　∵根据导数的定义，可得f′(x)＝，
∴f′(3)＝＝.
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝.
答案　
解析　∵f′(x)＝，
则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．求过曲线y＝sinx上的点P且与在这一点处的切线垂直的直线方程．
解　曲线y＝sinx在点P处的切线斜率
为k＝＝cos＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为y－＝－，
即12x＋18y－2π－9＝0.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，
所以y′＝(cosx)′＝－sinx.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
一、选择题
1．下列结论中正确的个数为(　　)
①y＝ln2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0B．1C．2D．3
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数的导数公式的应用
答案　D
解析　①中y＝ln2为常数，
所以y′＝0.①错．
2．已知f(x)＝，则f等于(　　)
A．－25B．－C.D．25
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　B
解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.
故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a等于(　　)
A．4B．－4C．5D．－5
考点　基本初等函数的导数公式
题点　常数、幂函数的导数
答案　A
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　)
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　D
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－.
5．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.e2B．2e2C．e2D.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　D
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
6．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b等于(　　)
A．4B．－4C．28D．－28
考点　基本初等函数的导数公式
题点　常数、幂函数的导数
答案　C
解析　∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8，①
又y′|x＝2＝3×22＝12＝k，②
由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
7．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．eB．－eC.D．－
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　C
解析　设切点坐标为(x0，lnx0)，
则切线的斜率为＝，
又切线斜率可表示为，
∴＝，则x0＝e，
∴切线的斜率为.
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A.B.C.D．1
考点　
题点　
答案　B
解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.
二、填空题
9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝.
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　－4
解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，
又g′(2)＝，∴m＝－4.
10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　(1,1)
解析　因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，
曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．
11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　
解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，
即sinx≥1，则sinx＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
三、解答题
12．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值．
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
解　∵，∴y′＝－，
∴曲线在点(a，)处的切线斜率k＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－a)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a，
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·＝＝18，
∴a＝64.
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，
又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
14．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是(　　)
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
考点　
题点　
证明　设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
3.2.3　导数的四则运算法则
学习目标　1.了解导数运算法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点　导数的四则运算
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　×　)
2．f(x)＝，则f′(x)＝.(　×　)
3．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．(　×　)
题型一　利用导数四则运算法则求导
例1　求下列函数的导数．
(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；
(2)f(x)＝xlnx＋2x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝x2·ex.
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝′＝′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.
(2)f′(x)＝(xlnx＋2x)′＝(xlnx)′＋(2x)′＝x′lnx＋x(lnx)′＋2xln2＝lnx＋1＋2xln2.
(3)方法一　f′(x)＝′
＝
＝＝.
方法二　∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝′＝′
＝－＝.
(4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．
反思感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数．
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝cosxlnx；(3)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数乘除法则的混合运用
解　(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(2)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′
＝－sinxlnx＋.
(3)y′＝
＝
＝＝.
题型二　导数运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′
＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx
＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.
又∵f′(x)＝xcosx，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思感悟　解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)等于(　　)
A．－3B．2eC.D.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
(2)设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(x)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
考点　
题点　
答案　0　－1
解析　f′(x)＝2ax－bcosx，
∴f′(x)＝－b＝1.
f′＝2a·－b·cos?＝，
得a＝0，b＝－1.
命题角度2　与切线有关的问题
例3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　(1)1　(2)(e，e)
解析　(1)y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
由题意－＝－1，所以a＝1.
(2)设P(x0，y0)，
则＝lnx0＋1＝2，
∴x0＝e，则y0＝e
则P点坐标为(e，e)．
反思感悟　(1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　4
解析　因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x，则f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
求导数运算的技巧
典例　有下列命题：
①若函数h(x)＝cos4－sin4，则h′＝；
②若函数g(x)＝(x－1)(x－2)…(x－6)，则g′(6)＝120；
③函数y＝f(x)的图象在点P(4，y0)处的切线方程是y＝－2x＋6，则f(4)＋f′(4)＝－1.
其中真命题的序号是________．
考点　
题点　
答案　②
解析　①中h(x)＝cos4－sin4
＝＝cosx，
h′(x)＝(cosx)′＝－sinx.
h′＝－sin＝－，①不正确．
②中g′(x)＝(x－2)(x－3)…(x－6)＋(x－1)(x－3)…(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)(x－6)＋(x－1)·(x－2)(x－3)(x－5)(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，
g′(6)＝5×4×3×2×1＝120，故②正确．
③中f(4)＝－2，f′(4)＝－2，∴f(4)＋f′(4)＝－4，故③不正确．
[素养评析]　导数的运算，许多同学虽然导数公式、运算法则记得比较熟悉，但遇到复杂的导数运算，就容易出现错误，因此，需要把数量关系的理解与运用结合起来，同时还要掌握必要的运算技巧，有助于学生整体数学素养的提高.
1．下列运算中正确的是(　　)
A．(lnx－3sinx)′＝(lnx)′－3′·(sinx)′
B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′
C.′＝
D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
2．对于函数f(x)＝＋lnx－，若f′(1)＝1，则k等于(　　)
A.B.C．－D．－
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　A
解析　∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，故选A.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2B.C．－D．－2
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　y′＝＝，
∴y′|x＝3＝＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线的斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
考点　
题点　
答案　1
解析　f(x)＝4x2＋4ax＋a2，f′(x)＝8x＋4a，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是(　　)
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
解析　选项A，′＝1－，故错误；
选项B，(log2x)′＝，故正确；
选项C，(3x)′＝3xln3，故错误；
选项D，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故错误．
故选B.
2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在t＝2时的速度为(　　)
A.B.C.D.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
3．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)
A．aB．±aC．－aD．a2
考点　导数的运算法则
题点　导数除法法则及运算
答案　B
解析　∵y′＝1－，＝1－＝0，∴x0＝±a.
4．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2B．－1C．1D．2
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx，
由题意知f′·＝－1，
∴a＝2.
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)
A．0 B．1
C. D．不存在
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　C
解析　∵f′(x)＝，
由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，
即解得x0＝.
6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则(　　)
A．f(0)C．f(0)>f(5) D．f(0)≥f(5)
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　C
解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，
∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4.
∴f(x)＝x2－8x＋m，
∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.
∴f(0)>f(5)．
7．已知函数f(x)＝x2＋cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是(　　)
考点　
题点　
答案　A
解析　∵f(x)＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，
∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D.又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，只有A适合，故选A.
二、填空题
8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数除法法则及运算
答案　
解析　∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
又h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
9．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，
∴f＝1.
10．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　3x－y＋1＝0
解析　y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.
11．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　(2，＋∞)
解析　∵f(x)＝ex－mx＋1，
∴f′(x)＝ex－m，
∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，
∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，
∴m＝2＋ex>2，
故实数m的取值范围是(2，＋∞)．
三、解答题
12．求下列函数的导数．
(1)y＝－lnx；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；
(4)y＝.
考点　
题点　
解　(1)y′＝(－lnx)′＝()′－(lnx)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝＝.
(4)y′＝＝.
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　
解析　y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，
∴y′∈[－1,0)，α∈.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
3．3.1　利用导数判断函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系
思考　f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？
答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
总结　(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
知识点二　函数的变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　×　)
2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　)
3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　)
题型一　利用导数判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
证明　∵f′(x)＝，又x∈，
则cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
反思感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
证明　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又00，
故f(x)在区间(0，e)上是增函数．
题型二　利用导数求函数的单调区间
命题角度1　不含参数的函数求单调区间
例2　求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
解　f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>，
由x＞0，解f′(x)<0，得0所以函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为，
单调递减区间为.
反思感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．
解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3，
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．
命题角度2　含参数的函数求单调区间
例3　讨论函数f(x)＝x2－alnx(a≥0)的单调性．
解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0，
当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
反思感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋alnx，且f′(1)＝0，其中a，m∈R.
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解　(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－(a＋m)＋.
由f′(1)＝0，得1－(a＋m)＋a＝0，解得m＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.
当a>1时，由f′(x)>0，得x>a或0此时f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当00，得x>1或0此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a)；
当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1，此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
综上，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
题型三　含参数函数的单调性
例4　若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
反思感悟　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.设y＝2x3，
∵y＝2x3在[2，＋∞)上单调递增，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16]．
含有参数函数单调性的讨论
典例　讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当00，故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0在上单调递增．
[素养评析]　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准．
(2)将函数单调性问题转化为求解一元二次不等式问题，明确了运算方向，而分类与整合思想能优化数学运算过程，对数学运算素养有较大的提高.
1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案　A
解析　∵x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据原函数图象确定导函数图象
答案　D
解析　∵函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)<0.故选D.
3．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．(0，a)
答案　A
解析　f(x)的定义域为{x|x>0}，且a>0，
由f′(x)＝－a>0，
得04．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
答案　A
解析　∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，
则判别式Δ＝16－12m≤0，即m≥.
5．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间．
解　f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，
单调递增区间为(k－1，＋∞)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A，C，D都存在x>0，使y′<0的情况．
2．(2017·浙江)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
考点　
题点　
答案　D
解析　观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，
∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．
观察选项可知，排除A，C.
如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是f(x)的极小值点，x2是f(x)的极大值点，且x2>0，故选项D正确．
3．函数y＝xcosx－sinx在下列哪个区间内是增函数(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，
若y＝f(x)在某区间内是增函数，
只需在此区间内y′>0恒成立即可，
∴只有选项B符合题意，
当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
4．已知函数f(x)＝sinx－x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系是(　　)
A．f>f(1)>f
B．f>f(1)>f
C．f(1)>f>f
D．f>f>f(1)
考点　
题点　
答案　A
解析　∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cosx－1≤0，
故函数f(x)在R上是减函数，
又－<1<，∴f>f(1)>f.
5．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任意一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
考点　
题点　
答案　B
解析　由导数的几何意义知，在(－∞，2]，上f′(x)≤0，
即该函数的单调递减区间为(－∞，2]．
6．若函数f(x)＝(2a－1)lnx－x在(0,1)上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1B．a≤1C．a≥1D．0考点　
题点　
答案　C
解析　f(x)＝(2a－1)lnx－x，
f′(x)＝－1＝，
由题意知f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，
∴2a－1－x≥0，即a≥在(0,1)上恒成立．
又x∈(0,1)，∴a≥1.
7．函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>2x－1的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数求解不等式
答案　C
解析　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，
∴g(x)是减函数．
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，
∴f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
二、填空题
8．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为____________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求含参数函数的单调区间
答案　(－∞，0)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，
故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．
9．函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据原函数图象确定导函数图象
答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，
f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
10．已知f(x)＝在区间[m，m＋1]上是增函数，则实数m的取值范围是________．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　[－1,0]
解析　f′(x)＝＝，
∴当－1≤x≤1时，f′(x)≥0，即f(x)的单调递增区间是[－1,1]，
又f(x)在[m，m＋1]上是增函数，∴
∴－1≤m≤0，即实数m的取值范围是[－1,0]．
11．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　
解析　f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
要使f(x)在上存在单调递增区间，
则必须有f′>0，即＋2a>0，解得a>－，
所以a的取值范围是.
三、解答题
12．已知x>0，求证：x>sinx.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　设f(x)＝x－sinx(x>0)，则f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sinx(x>0)．
13．设函数f(x)＝ax－－2lnx.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)．
令f′(x)≥0，解得0令f′(x)≤0，解得≤x≤2，
所以f(x)的单调递增区间为和[2，＋∞)，单调递减区间为.
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立．
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需ax2－2x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝ax2－2x＋a，易知a>0，
由其图象对称轴－＝>0可得，
解得a≥1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
14．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
g(－3)＝0，求不等式f(x)g(x)<0的解集．
考点　
题点　
解　令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
因此函数h(x)在R上是奇函数．
①∵当x<0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴h(x)在(－∞，0)上单调递增，
∵h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，∴由h(x)<0，得x<－3.
②当x>0时，∵函数h(x)在R上是奇函数，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(3)＝－h(－3)＝0，
∴h(x)<0的解集为(0,3)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
15．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
解　(1)f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1，
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在R上单调递增，
当a<2时，当x∈(a－1,1)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，
当x∈(－∞，a－1)和x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
当a>2时，当x∈(1，a－1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
当x∈(－∞，1)和x∈(a－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
综上可知，当a＝2时，f(x)在R上为增函数；
当a<2时，f(x)在(a－1,1)上为减函数，在(－∞，a－1)，(1，＋∞)上为增函数；
当a>2时，f(x)在(1，a－1)上为减函数，在(－∞，1)，(a－1，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在(1,4)上为减函数，所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0；
因为f(x)在(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为[5,7]．
第1课时　利用导数研究函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　极值点与极值的概念
1．极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
特别提醒：如何理解函数极值的概念
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)
2．极大值一定比极小值大．(　×　)
3．函数f(x)＝有极值．(　×　)
4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．(　√　)
题型一　极值与极值点的判断与求解
命题角度1　知图判断函数的极值
例1　已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)
A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　由导函数的图象可知，当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.
反思感悟　通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．
跟踪训练1　如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)
①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　B
解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x＝2是f(x)的极大值点，故②③正确，④错误．
命题角度2　求函数的极值或极值点
例2　求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2lnx.
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘?
极小值1
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln2)
－ln2
(－ln2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗?
f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
题型二　已知函数极值(或极值点)求参数
例3　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　(1)2　9　(2)(－∞，1)
解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
反思感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练3　已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　D
解析　若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.
题型三　函数极值的综合应用
例4　已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
引申探究
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解　由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
反思感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，
得解得－16即m的取值范围为.
由极值点的个数求参数范围
典例　已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1－2ax，
由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，
即函数y＝lnx＋1与y＝2ax(x>0)的图象有两个不同的交点，则a>0.
设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，
则切线斜率kl＝＝，
当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，
则kl＝1，令2a＝1，得a＝，
结合图象知0[素养评析]　(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　C
解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，且f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．5B．3C．4D．2
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　A
解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.
3．已知函数f(x)＝x＋，则f(x)(　　)
A．有极大值2，极小值－2
B．有极大值－2，极小值2
C．无极大值，但有极小值－2
D．有极大值2，无极小值
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　B
解析　函数的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，令f′(x)＝1－＝0，得x＝±1.当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－14．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　D
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
则Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
5．求函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)的极值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　含参数的函数求极值问题
解　f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝lna.
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，lna)上是单调递减的，在(lna，＋∞)上是单调递增的，
故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
一、选择题
1．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)
A．p是q的充要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
考点　
题点　
答案　C
解析　当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，
但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，
因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上可知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
2．设函数f(x)＝x2－lnx，则(　　)
A．x＝－是f(x)的极大值点
B．x＝－是f(x)的极小值点
C．x＝是f(x)的极小值点
D．x＝是f(x)的极大值点
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　C
解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0所以当x＝时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　B
解析　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)>0，解得x>3或x<2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．
4.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　D
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．
5．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　)
A．(3，－3) B．(－4,11)
C．(3，－3)或(－4,11) D．不存在
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　B
解析　f′(x)＝3x2－2ax－b，
∵当x＝1时，f(x)有极值10，
∴
解得或
验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，
∴a＝－4，b＝11.
6．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　D
解析　令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.
由题意知，∈(0,1)，
即0<<1，
解得07．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　A
解析　f′(x)＝3x2－2px－q.由f′(1)＝0，f(1)＝0，
得解得
所以f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，
易得当x＝时f(x)取极大值.
当x＝1时f(x)取极小值0.
8．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为(　　)
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　A
解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x>0，所以－a>1，即a<－1.
9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案　D
解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2当x>2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
二、填空题
10．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.
11.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图象上的应用
答案　2
解析　由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.
12．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　(－2,2)
解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，所以当－2三、解答题
13．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
解　(1)因为f(x)＝alnx＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－lnx－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
14．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
15．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，
当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；
当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，
在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．
16．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，
令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，
则需
所以2－2ln2第2课时　利用导数研究函数的最值
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．
知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点三　最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．
1．函数的最大值一定是函数的极大值．(　×　)
2．开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)
3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　×　)
题型一　求函数的最值
命题角度1　不含参数的函数求最值
例1　求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；
(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
解　(1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2



f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
57
↘
－
↗
由于当x>时，f′(x)>0，
所以f(x)在上为增函数．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．
考点　
题点　
解　易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)＝＋lnx＝－1＋lnx，
∴f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x


1
(1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－ln2
↘
极小值0
↗
－＋ln2
∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.
又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，
∴f－f(2)＝－2ln2
＝×(3－4ln2)＝ln>0，
∴f>f(2)，
∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.
命题角度2　含参数的函数求最值
例2　已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点　含参数的函数最值问题
题点　含参数的函数求最值
解　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
反思感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝lnx＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
考点　含参数的函数最值问题
题点　知最值求参数
解　函数f(x)＝lnx＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，
由lna＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．
综上所述，a的值为.
题型二　由函数的最值求参数
例3　(2018·四川省雅安中学期中)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a≠0)，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
考点　含参数的函数最值问题
题点　知最值求参数
解　由题设知a≠0，由f(x)＝ax3－6ax2＋b，
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思感悟　已知函数的最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
跟踪训练3　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0考点　
题点　
答案　
解析　f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－.
故a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
题型三　与最值有关的恒成立问题
例4　已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，f(3)＝1，
所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，
解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
反思感悟　不等式恒成立问题常用的解题方法
跟踪训练4　已知函数f(x)＝xlnx．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，则实数a的取值范围为________．
题点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　(－∞，1]
解析　由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤lnx＋在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝lnx＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
已知最值求参数的范围
典例　(2018·太原检测)已知函数f(x)＝3x2＋1(x>0)，g(x)＝x3－9x，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k的取值范围为________．
考点　
题点　
答案　(－∞，－3]
解析　f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1.
令F(x)＝f(x)＋g(x)，
则F′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，
令F′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
当x<－3或x>1时，F′(x)>0；
当－3所以(－∞，－3)和(1，＋∞)为F(x)的单调递增区间，(－3,1)为F(x)的单调递减区间，则F(－3)＝28为函数F(x)的极大值，又F(2)＝3，结合函数图象(图略)，如果函数F(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则该区间包含极大值点x＝－3，所以k≤－3.即k的取值范围是(－∞，－3]．
[素养评析]　(1)由函数的最值求参数的取值范围是利用导数求函数最值的逆向应用，一般先求导，利用导数研究函数的单调性和极值点，探索最值点，根据已知最值列不等式解决问题，其中注意分类讨论思想的应用．
(2)利用极值点与最值点的关系，以极值点假定为最值点为突破口，利用单调性进行严密的逻辑推理，从本例体现出逻辑推理的意义和价值.
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
考点　
题点　
答案　D
解析　由极值与最值的区别知选D.
2．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．1＋B．1C．e－1D．e＋1
考点　利用导数求函数的最值
题点　不含参数的函数求最值
答案　C
解析　由题意得f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．
又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，
所以f(－1)所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
3．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m等于(　　)
A．0B．2C.D．1
考点　含参数的函数最值问题
题点　知最值求参数
答案　B
解析　y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
由y′＝0，得x＝0或x＝－1.
f(0)＝m，f(－1)＝m＋.
又因为f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，
所以m＝2.
4．已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．
考点　
题点　
答案　(－1，＋∞)
解析　∵函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，
∴f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，
即f(x)min>0.
f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，
当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，为f(0)＝1＋a，
∴1＋a>0，即a>－1，
故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
2．函数y＝－的最小值是(　　)
A．－B．－eC．－e2D.
考点　
题点　
答案　A
解析　由y′＝＝0，得x＝e，
x∈(0，e)时，y′<0，x∈(e，＋∞)时，y′>0.
故ymin＝y极小值＝－.
3．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为(　　)
A．0B.C.D.
考点　
题点　
答案　B
解析　y′＝1－2sinx，令y′＝0，得sinx＝，
∵x∈，∴x＝.
由y′>0得sinx<，∴0≤x<；
由y′<0得sinx>，∴∴原函数在上单调递增，在上单调递减．
由此可知，当x＝时，ymax＝y极大值＝＋.
4．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)
A．－10B．－15C．－71D．－22
考点　
题点　
答案　C
解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或－1，
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
5．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点　利用导数求函数的最值
题点　抽象函数的最值
答案　A
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
6．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D.
考点　函数最值的应用
题点　最值存在性问题
答案　D
解析　由题意得函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导函数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且3－6b>0，∴07．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A．3B．18C．20D．0
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
答案　C
解析　由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，
f(x)max＝f(－1)＝f(2)＝1，
由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
8．函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
考点　
题点　
答案　A
解析　设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，
则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；
当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．
当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．
因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方，
所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．
二、填空题
9．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　f′(x)＝＝，
当x∈[2,4]时，f′(x)<0，
即函数f(x)在[2,4]上是减函数，
故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
10．(2018·济南检测)若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为________．
考点　
题点　
答案　(－1，＋∞)
解析　f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>－1；
令f′(x)<0，解得x<－1.
故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1.
11．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
考点　
题点　
答案　[4，＋∞)
解析　因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－，
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；
当所以g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，所以a≥4.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．
考点　含参数的函数最值问题
题点　含参数的函数求最值
解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)，
∴a≤3，
即实数a的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.
13．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
考点　函数最值的应用
题点　恒成立中参数的取值范围
解　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝lnx＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即lna0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以lna<1，解得014．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1B.C.D.
考点　函数最值的应用
题点　距离的最值问题
答案　D
解析　由题意画出函数图象如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)，则
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．
15．已知函数f(x)＝－x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值．
考点　含参数的函数最值问题
题点　含参数的函数求最值
解　(1)f′(x)＝－1，
令f′(x)＝0，得x2＝1－lnx.
显然x＝1是上面方程的解．
令g(x)＝x2＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝2x＋>0，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．
∵当00；当x>1时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
①当0<2m≤1，即0∴f(x)max＝f(2m)＝－2m.
②当m≥1时，f(x)在[m,2m]上单调递减，
∴f(x)max＝f(m)＝－m.
③当m<1<2m，即3．3.3　导数的实际应用
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(　√　)
2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(　√　)
题型一　几何中的最值问题
例1　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
解　(1)由题意知包装盒的底面边长为xcm，
高为(30－x)cm,0所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×2＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
反思感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1　现需设计某次期中考试的数学试卷，该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为720cm2，四周空白的宽度为4cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2cm，设试卷的长和宽分别为xcm，ycm.
(1)写出y关于x的函数解析式，并求该函数的定义域；
(2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位：cm)，才能使试卷的面积最小？
考点　
题点　
解　由题意知试卷的长和宽分别为xcm，ycm，则每栏的长和宽分别为，y－8，其中x>10，y>8.
(1)两栏面积之和为2··(y－8)＝720，
由此得y＝＋8(x>10)．
(2)试卷的面积S＝xy＝x，
∴S′＝＋8，
令S′＝0，得x＝40(负数舍去)，
∴函数在(10,40)上单调递减，在(40，＋∞)上单调递增，
∴当x＝40时，S取得最小值，
故当试卷的长为40cm，宽为32cm时，可使试卷的面积最小．
题型二　实际生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
例2　某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝，
当4≤x≤6时，y′≥0，函数在[4,6]上为增函数；
当6≤x≤12时，y′≤0，函数在[6,12]上为减函数，
所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，
最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(万元)．
反思感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↘
极大值42
↗
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
命题角度2　用料(费用)最省问题
例3　某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　设建成x个球场，则1≤x≤10，且x∈Z，每平方米的购地费用为＝(元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来表示，
所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋
＝800＋160lnx＋(1≤x≤10且x∈Z)，
所以g′(x)＝(1≤x≤10且x∈Z)，
令g′(x)＝0，得x＝8，当1≤x<8时，
g′(x)<0，g(x)为减函数；
当80，g(x)为增函数，
所以当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值．
故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．
反思感悟　费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　(1)由题意知，每年的能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)．
设建造费用为C1(x)，则C1(x)＝6x.
所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)因为f(x)＝＋6x(0≤x≤10)，
所以f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(负值舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当50，f(x)为增函数．
故x＝5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝＋6×5＝70.
故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
损耗最少问题
典例　已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8考点　
题点　
解　设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝y1·＝(8∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝16.
若v0≥16，当v∈(8,16)时，y′<0，y为减函数；
当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数．
故当v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．
故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；
若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．
[素养评析]　(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．
(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8B.C．－1D．－8
考点　函数类型的优化问题
题点　函数类型的其他问题
答案　C
解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　)
A．2m3B．3m3C．4m3D．5m3
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　B
解析　设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝－3x(m)，
故长方体的体积为V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．
3．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产(　　)
A．9千台B．8千台C．6千台D．3千台
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　C
解析　利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)，
求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．
所以当生产6千台时，利润最大．
4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为时最省材料．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　4
解析　设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，
其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋.
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
当08时，S′>0，
故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．
(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、选择题
1．已知某厂家生产某种产品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋36x＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．11万件B．9万件C．7万件D．6万件
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　由y′＝－x2＋36＝0，
解得x＝6或x＝－6(舍去)．
当00；
当x>6时，y′<0，
∴在x＝6时y取最大值．
2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为(　　)
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不对
考点　函数类型的优化问题
题点　函数类型的其他问题
答案　B
解析　设一个数为x，则另一个数为8－x，
其立方和为y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
则y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；
当40，
所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．
所以这两个数为4,4.
3．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)
A．150B．200C．250D．300
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　由题意得，总利润
P(x)＝
∴P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，
当00，
当300又P(300)＝40000>P(390)＝31090.故选D.
4．某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元B．840元C．818元D．816元
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　D
解析　设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，
根据题意得箱底面积为＝16(m2)，
则箱底另一边的长度为m，
所以l＝16×15＋×12
＝240＋72，
l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得极小值，也就是最小值，为816.
因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．
5．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为(　　)
A.B.C.D．2
考点　几何类型的优化问题
题点　面积的最值问题
答案　C
解析　设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)，
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判断得当x＝时，直棱柱的表面积最小．
6．在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O－ABC体积的最大值为(　　)
A．4B．8C.D.
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　C
解析　V＝×·y＝＝
＝(0V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．
所以当x＝2时，V取极大值且为最大值，最大值为.
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x等于(　　)
A．20吨B．40吨C．60吨D．80吨
考点　
题点　
答案　A
解析　设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，
令f′(x)＝4－＝0，
解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．60元 B．30元
C．28000元 D．23000元
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　D
解析　由题意知，毛利润等于销售额减去成本，
即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11700p－166000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
二、填空题
9．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm.
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　8
解析　设截去的正方形的边长为xcm，
铁盒的体积为Vcm3，则铁盒的底面边长为(48－2x) cm，
由题意，得V＝x(48－2x)2(0V′＝12x2－384x＋2304＝12(x2－32x＋192)，
令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)，
∴当x＝8时，V取极大值，这个极大值就是最大值．故当截去的正方形的边长为8cm时，所做的铁盒容积最大．
10．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为件．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　25
解析　设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题意知k＝250000，
则a2x＝250000，
所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2.
由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0；
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取最大值．
11．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
答案　80
解析　当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，由题意，得
y＝
＝＋－(0则y′＝－＝(0令y′＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80,120)时，y′>0，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．
三、解答题
12．某单位用3240万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少15层、每层3000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥15)层，则每平方米的平均建筑费用为840＋kx(单位：元)．已知楼房建为15层时，每平方米的平均建筑费用为1245元．
(1)求k的值．
(2)当楼房建为多少层时，楼房每平方米的平均综合费用最少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
考点　
题点　
解　(1)由题意可得840＋15k＝1245，解得k＝27.
(2)设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)，
则f(x)＝(840＋27x)＋
＝840＋27x＋(x≥15且x∈N＋)，
f′(x)＝27－，令f′(x)＝0，得x＝20，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[15,20)
20
(20，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以当x＝20时，f(x)有最小值．
答　为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层．
13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10，
当x>10时，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9.
当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，
即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－
≤98－2＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W取得最大值38.
综合①②知，当x＝9千件时，W取得最大值38.6万元．
答　当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
14．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)
A．0.0162 B．0.0324
C．0.0243 D．0.0486
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数求解最大利润问题
答案　B
解析　由题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．
所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．
当00；
当0.0324所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．
15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用．
考点　函数类型的优化问题
题点　利用导数解决费用最省问题
解　(1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
所以圆柱的侧面积为
2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4
＝＋8πr2.
又l＝－>0?r<2，
所以定义域为(0,2)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2令y′<0，得0所以当r＝2时，该容器的建造费用最少，为96π千元，此时l＝.
专题突破五　利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．
一、已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1　已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
考点　
题点　
答案　2x－y＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
点评　本题可以先利用分段型奇偶性原则，求出函数的解析式，再求函数切线，或者利用原函数与导函数的关系来求解．
跟踪训练1　曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
考点　
题点　
答案　D
解析　由题意知，点(1，－1)在该曲线上，又y′＝＝，所以曲线在点(1，－1)处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
二、已知过某点，求切线方程
过某点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
考点　
题点　
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－＝，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
跟踪训练2　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
考点　
题点　
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，即切线方程为x＋y－2＝0.
三、求两条曲线的公切线
例3　(2018·河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切．
(1)求切线方程；
(2)求实数a的值．
考点　
题点　
解　(1)因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则在点(x0，x)处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，所以3x－2x＝0，
解得x0＝0或x0＝.
故所求的切线方程为y＝0或y＝x－.
(2)由直线y＝0与曲线y＝ax2＋x－9相切可得方程ax2＋x－9＝0有一个实数根，此时Δ＝2－4a×(－9)＝0，解得a＝－；
由直线y＝x－与曲线y＝ax2＋x－9相切，两方程联立消去y，得ax2－3x－＝0，此时Δ＝9－4×a×＝0，解得a＝－1.
综上可得，a＝－1或a＝－.
点评　本例是先求过某点的切线方程，由切线与另一曲线——抛物线相切，利用判别式Δ＝0即可求得参数．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1B．－3C．－4D．－2
考点　导数的运算法则
题点　导数的运算法则的运用
答案　D
解析　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.
1．函数f(x)＝exlnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1
C．y＝e(x－1) D．y＝x－e
考点　
题点　
答案　C
解析　∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋，∴f′(1)＝e，又f(1)＝0，∴在(1,0)处的切线方程为y＝e(x－1)．
2．已知f(x)＝ex－x，则过原点与f(x)图象相切的直线方程是(　　)
A．y＝(e－1)x B．y＝ex
C．y＝x D．y＝e2x
考点　
题点　
答案　A
解析　设切点坐标为(x0，－x0)，
由题意可得切线斜率k＝f′(x0)＝－1，
所以切线方程为y＝(－1)x，
由－x0＝(－1)x0，解得x0＝1，
所以切线方程为y＝(e－1)x.
3．过点P(3,9)与曲线y＝2x2－7相切的切线的方程为________．
考点　
题点　
答案　8x－y－15＝0或16x－y－39＝0
解析　令y＝f(x)＝2x2－7，则f′(x)＝4x，
由点P(3,9)不在曲线上，
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得
9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，
解得x0＝2或4，
故切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.
4．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__________．
考点　
题点　
答案　2x＋y＋1＝0
解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.
5．已知函数y＝x2lnx(x>0)．
(1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数的图象相切，求直线l的方程．
考点　
题点　
解　(1)函数y＝x2lnx的导数为y′＝2xlnx＋x，
函数的图象在x＝1处的切线斜率为2ln1＋1＝1，
切点为(1,0)，
可得切线的方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.
(2)设切点为(m，m2lnm)，
可得切线的斜率为2mlnm＋m，
则切线的方程为y－m2lnm＝(2mlnm＋m)(x－m)，
由于切线过点(0,0)，
∴－m2lnm＝(2mlnm＋m)(－m)，
由m>0，可得－lnm＝－2lnm－1，
即lnm＝－1，解得m＝，
所以直线l的方程为x＋ey＝0.
6．已知双曲线C：y＝(m<0)与点M(1,1)．
(1)求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C的两支相切；
(2)设(1)中的两个切点分别为A，B，求证：直线AB的斜率为定值．
考点　
题点　
证明　(1)设Q在双曲线C上，
要证明命题成立，只需要证明关于t的方程y′|x＝t＝kMQ有两个符号相反的实根．
y′|x＝t＝kMQ?－＝?t2－2mt＋m＝0，且t≠0，t≠1.
因为Δ＝4m2－4m>0，所以方程t2－2mt＋m＝0有两个不相等实根，设两根分别为t1与t2，
则由t1t2＝m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题得证．
(2)设A，B，
由(1)知kAB＝＝＝－1，
即直线AB的斜率为定值－1.
专题突破六　构造函数法在导数中的应用
所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分．
一、作差法构造
例1　设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线．
求证：当x>1时，f(x)证明　因为f(x)＝lnx与x轴的交点为(1,0)，f(x)与g(x)的图象在x轴上的公共点处有公切线，
所以g(1)＝0，即a＋b＝0，
由f′(1)＝g′(1)得a－b＝1，
∴a＝，b＝－，
则g(x)＝x－，
令h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x＋，
由x>1知，h′(x)＝－－＝－<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上是减函数，
即h(x)点评　证明不等式或证明不等式恒成立问题都可以利用作差法，将不等式右边转化为0，然后构造新函数F(x)，最后根据新函数F(x)的单调性转化为F(x)min≥0或F(x)max≤0来解决．
跟踪训练1　当x∈(0，＋∞)时，证明：≥lnx＋1.
考点　
题点　
证明　设g(x)＝－lnx－1，则g′(x)＝－.
当01时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的极小值点，也是最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当x∈(0，＋∞)时，≥lnx＋1.
二、分离参数法构造
例2　若对任意的x∈[e，＋∞)，都有xlnx≥ax－a，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　对于任意的x∈[e，＋∞)，都有xlnx≥ax－a，
等价于a≤在[e，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝，h′(x)＝，x∈[e，＋∞)，
当x≥e时，(x－lnx－1)′＝1－>0，
即m(x)＝x－lnx－1在[e，＋∞)上单调递增，
故m(x)≥m(e)＝e－2>0，
∴h′(x)>0，
所以h(x)＝在[e，＋∞)上单调递增，
h(x)min＝h(e)＝，
所以a≤，
即实数a的取值范围是.
点评　恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为a≤F(x)min或a≥F(x)max.其中F(x)为构造的新函数．
跟踪训练2　(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)＝ex＋tx(e为自然对数的底数)．若对于任意的x∈(0,2]，不等式f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围为．
考点　
题点　
答案　(－e，＋∞)
解析　依题意得ex＋tx>0在(0,2]上恒成立，
即对任意的x∈(0,2]，t>－恒成立．
令g(x)＝－，∴g′(x)＝.
当00；当1∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴函数g(x)在x＝1处取得极大值即最大值g(1)＝－e.
故实数t的取值范围是(－e，＋∞)．
三、依据题干的“结构特征”猜想构造
例3　若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为(　　)
A．f(a)eaf(0)
C．f(a)＝eaf(0) D．不能确定
考点　
题点　
答案　B
解析　令F(x)＝，
则F′(x)＝＝>0，
从而F(x)＝在R上单调递增，
于是当a>0时，F(a)＝>F(0)＝＝f(0)，
即f(a)>eaf(0)．
点评　常依据(f(x)·g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)和′＝来构造函数．
如熟悉下列结论可达到事半功倍的效果．如：
(1)对于f′(x)＋f(x)>0构造h(x)＝exf(x)；
(2)对于f′(x)－f(x)>0构造h(x)＝；
(3)对于xf′(x)＋f(x)>0构造h(x)＝xf(x)；
(4)对于xf′(x)－f(x)>0构造h(x)＝.
跟踪训练3　设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得>0成立的x的取值范围是．
考点　
题点　
答案　(－1,0)∪(0,1)
解析　令F(x)＝，
因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数．
又F′(x)＝，
且当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
所以F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，
根据对称性，F(x)＝在(－∞，0)上单调递增，
又f(－1)＝0，f(1)＝0，
数形结合可知，使得>0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
四、条件转化后的形式的构造
例4　设函数f(x)＝lnx＋，m∈R，若对任意b>a>0，<1恒成立，求实数m的取值范围．
考点　
题点　
解　对任意b>a>0，<1恒成立等价于f(b)－b设h(x)＝f(x)－x＝lnx＋－x(x>0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∴m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)，
则m≥，
∴m的取值范围是.
点评　运用下列形式的等价变形构造：分式形式a)?f(b)－f(a)跟踪训练4　已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1，设a≤－2.证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
考点　
题点　
证明　不妨假设x1≥x2，由于a≤－2，
f′(x)＝＋2ax＝<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1，令g(x)＝f(x)＋4x，
则g′(x)＝＋2ax＋4＝，
于是g′(x)≤＝－≤0，
从而g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
1．已知函数f(x)＝kx2－lnx，若f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　
题点　
答案　D
解析　由f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即k>.
令g(x)＝，g′(x)＝，
当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
∴g(x)max＝g()＝，∴k>.
2．若α，β∈，且αsinα－βsinβ>0，则下列结论正确的是(　　)
A．α>βB．α2>β2C．α<βD．α＋β>0
考点　
题点　
答案　B
解析　令f(x)＝xsinx，f′(x)＝sinx＋xcosx，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∵αsinα>βsinβ，∴f(α)>f(β)，
又f(x)为偶函数，
∴|α|>|β|，故α2>β2.
3．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且总有f(x)>xf′(x)，则不等式f(x)>xf(1)的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
考点　
题点　
答案　C
解析　设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝.
∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f(x)>xf(1)?>?g(x)>g(1)，
∴f(x)>xf(1)的解集为(0,1)．
4．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝(logπ3)f(logπ3)，c＝(log39)f(log39)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．b>a>cB．c>a>bC．c>b>aD．a>b>c
考点　
题点　
答案　A
解析　设F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
因为x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以F′(x)<0，
则当x<0时，F(x)单调递减，
又f(x)的图象关于y轴对称．
所以f(x)是偶函数，则F(x)为奇函数，
当x>0时，F(x)是减函数，
又1<20.2<2,0则b>a>c.
5．已知函数f(x)＝alnx＋x2(x>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是．
考点　
题点　
答案　[1，＋∞)
解析　由≥2知，函数f(x)的图象上任何一点处的切线斜率都大于或等于2，故f′(x)≥2.
且f′(x)＝＋x(x>0)，
由＋x≥2，有a≥x(2－x)，
记g(x)＝x(2－x)(x>0)，则a≥g(x)在(0，＋∞)上恒成立，
所以a≥g(x)max(x>0)．
而g(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，当x＝1时，g(x)有最大值1.故a≥1.
6．已知f(x)＝(x>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)比较20182019与20192018的大小并说明理由．
考点　
题点　
解　(1)f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(2018)>f(2019)，即>，
即2019ln2018>2018ln2019，
即ln20182019>ln20192018，
又y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，
所以20182019>20192018.
7．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值；
(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2lnx－x.
则f′(x)＝x－－1＝
＝，x∈[1，e]．
∴当x∈[1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，e]时，f′(x)>0.
∴f(x)在[1,2)上是减函数，在(2，e]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)＝－2ln2.
又f(1)＝－，f(e)＝－e－2，
f(e)－f(1)＝－e－2＋＝<0，
∴f(e)即f(x)在[1，e]上的最小值为－2ln2，最大值为－.
(2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1≠x2，都有>a恒成立，
不妨设0a，
即f(x2)－ax2>f(x1)－ax1.
设g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx＋(a－2)x－ax
＝x2－2alnx－2x，
则g′(x)＝x－－2＝＝.
只需g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
即g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需－1－2a≥0，解得a≤－.
即a的取值范围是.
第三章 导数及其应用章末复习
学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握基本初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
1．在x＝x0处的导数
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝C(C为常数)
y′＝0
y＝xn
y′＝nxn－1(n为自然数)
y＝sinx
y′＝cosx
y＝cosx
y′＝－sinx
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axlna
y＝ex
y′＝ex
y＝logax
(a>0且a≠1，x>0)
y′＝
y＝lnx
y′＝
3.导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
4.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内单调递增；f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．
(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
题型一　导数几何意义的应用
例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点　切线方程求解及应用
题点　求曲线的切线方程
解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
反思感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A.B．－C．－eD．e
考点　切线方程求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　D
解析　∵y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴x0＝1，∴k＝e.
题型二　函数的单调性与导数
例2　已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解　(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，
因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点．
(2)因为f′(x)＝x－＝，x∈(0，＋∞)，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，
当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；单调递减区间为(0，)．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
反思感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意．
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
题型三　函数的极值、最值与导数
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．
解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f′(1)＝3＋2a＋b，
故过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
已知该切线方程为y＝3x＋1，
所以即
因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，
即－4a＋b＝－12，
解方程组得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和，单调递减区间为.
又f(－2)＝13，f＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，
所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.
反思感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5，无极大值．
题型四　生活中的优化问题
例4　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
考点　
题点　
解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又由题意知200πrh＋160πr2＝12000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，
解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，
故V(r)在(0,5)上为增函数．
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，
故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
反思感悟　利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
跟踪训练4　一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4－x万元，且每生产1万件国家给予补助万元(e为自然对数的底数)．
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；
(2)当月生产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件)．(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本)
考点　
题点　
解　(1)∵月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，
∴f(x)＝x－1
＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(x>0)．
(2)f′(x)＝－2x＋2(e＋1)－
＝－(x>0)，
当x∈[1,2e]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
x
[1，e)
e
(e,2e]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
由上表得f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2在[1,2e]上的最大值为f(e)，且f(e)＝e2－2.
即月生产量在[1,2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e2－2(万元)，此时的月生产量为e万件．
导数中不等式证明问题
典例　已知函数f(x)＝x－ax2－lnx(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
考点　
题点　
(1)解　∵f′(x)＝－(x>0，a>0)，
不妨设φ(x)＝2ax2－x＋1(x>0，a>0)，(*)
则关于x的方程2ax2－x＋1＝0的判别式Δ＝1－8a.
①当a≥时，Δ≤0，φ(x)≥0，
故f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当00，
方程f′(x)＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1则当x∈(0，x1)及x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
(2)证明　由(1)知当且仅当a∈时，
f(x)有极小值点x1和极大值点x2，
且x1，x2是方程(*)的两个正根，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)－a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(lnx1＋lnx2)
＝ln(2a)＋＋1＝lna＋＋ln2＋1，
令g(a)＝lna＋＋ln2＋1，
当a∈时，g′(a)＝<0，
∴g(a)在内单调递减，
故g(a)>g＝3－2ln2，
∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
[素养评析]　(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决．
(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现．
1．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　 )
A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
答案　B
解析　令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1.
又f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3，
∴M(－1，－3)．
2．如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
答案　A
解析　由f(x)与f′(x)的关系可知选A.
3．体积为16π的圆柱，它的半径为时，圆柱的表面积最小．
答案　2
解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.
∴16π＝πr2l，即l＝，
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
由S′＝4πr－＝0，得r＝2.
∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为．
答案　3
解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.
5．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，
则f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．