1．1.1 命 题
学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假．
知识点 命题的概念
1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
3．分类
命题
1．一般陈述句都是命题．( × )
2．命题也可以是这样的表达式：“x>5”．( × )
3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．( √ )
4．含有变量的语句也可能是命题．( √ )
5．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × )
题型一 命题的概念
例1 下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是________．(填序号)
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 (1)(3)(5)(8)
解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
反思感悟 判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1 下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
考点 命题的概念及分类
题点 命题概念的理解
答案 A
解析 ④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，故④⑤不是命题．
题型二 命题真假的判断
例2 给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sinx的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
答案 ①③④
解析 结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cosB>0，故得cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
引申探究
若本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，·<0只能说明B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．要判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②空间中两条直线不相交就平行；③函数y＝sin 4x－cos4x的最小正周期为；④空集是任何集合的子集．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ①mx2＋2x－1＝0(m≠0)是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线可能平行，也可能异面；③y＝sin4x－cos4x＝sin，ω＝4，T＝＝；④空集是任何集合的子集，故①②是假命题．
1．下列语句为命题的是( )
A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等
C．0不是偶数 D．今天心情真好啊
考点 命题的定义
题点 命题的定义
答案 C
解析 结合命题的定义知C为命题．
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案 B
解析 ①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题．
3．下列说法正确的是( )
A．命题“空集是任何集合的真子集”是真命题
B．语句“最高气温为30℃时我就开空调”是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点 命题的概念及分类
题点 命题真假性判断
答案 D
解析 对于A，空集不是其本身的真子集；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.
4．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是______________．
答案 a<且a≠0
解析 由题意知
解得a<且a≠0.
根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
一、选择题
1．给出下列语句：
①f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
②x2＋2x－1>0；
③集合{a，b，c}有3个子集；
④这盆花长得太好了！
⑤周期函数的和是周期函数吗？
⑥sin45°＝1.
其中，命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
考点 命题的定义
题点 命题的定义
答案 C
解析 由命题的定义知①③⑥为命题．
2．下列命题为假命题的是( )
A．log24＝2
B．直线x＝0的倾斜角是
C．若|a|＝|b|，则a＝b
D．若直线a⊥平面α，直线a⊥平面β，则α∥β
答案 C
解析 由|a|＝|b|只是得到a与b的模相等，但方向不确定，∴a与b不一定相等．
3．若x2－2x－8<0，则p为真命题，那么p是( )
A．{x|－2
C．{x|x>4或x<－2} D．{x|x>4或x<2}
答案 A
解析 解x2－2x－8<0，得－2故p是{x|－24．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1B．2C．3D．4
答案 B
解析 ②④正确．
5．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
答案 B
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．
6．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4B．2C．0D．－3
答案 C
解析 方程无实根应满足Δ＝a2－4<0，即a2<4，
故当a＝0时符合条件．
7．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
答案 D
解析 ∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，
又∵a∈A是假命题，即a?A，
∴a<－3.
二、填空题
8．下列语句中是命题的为________，其中是真命题的为________．(填序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④在△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
⑤求证x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实根．
答案 ②③④ ④
解析 ①是疑问句不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑在同一个三角形中；④是真命题；⑤是祈使句不是命题．
9．给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为________．
答案 3
解析 ①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由均值不等式，知②是真命题；
③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．所以假命题的个数为3.
10．如果命题“若x∈A，则x＋≥2”为真命题，则集合A可以是______________．(写出一个即可)
答案 {x|x>0}
解析 当x>0时，有x＋≥2，故A可以为{x|x>0}．
11．下列命题中是真命题的为________．(填序号)
①如果ab＝0，则a2＋b2＝0；
②如果a＞b，则ac＞bc；
③如果M∩N＝M，则N?M；
④如果M?N，则M∩N＝M.
答案 ④
解析 ①中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；②中，c≤0时不成立，③④中，M∩N＝M等价于M?N，故①②③皆错误，④正确．
三、解答题
12．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>；
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；
(4)请把窗户关上；
(5)8>7；
(6)这是一棵大树．
解 (1)是疑问句，不是陈述句，所以不是命题；
(2)(6)不能判断真假，不是命题；
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题；
(4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
13．判断下列命题的真假：
(1)＋＝；
(2)log2x2＝2log2x；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；
(4)直线x＋y＝0的倾斜角是；
(5)若α＝，则sinα＝；
(6)若x∈A，则x∈(A∩B)．
解 (1)是真命题；
(2)是假命题，如x＝－1时，log2x2＝0，
而2log2x＝2log2(－1)无意义；
(3)是真命题，若m>1，则Δ＝4－4m<0；
(4)是假命题，直线x＋y＝0的倾斜角是；
(5)是真命题；
(6)是假命题，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，
但1?(A∩B)．
14．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 命题的概念及分类
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 [－3,0]
解析 ∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
15．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题；
分别求出符合(1)、(2)的实数a的取值范围．
解 (1)甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即A＝；
乙为真时，2a2－a>1，即B＝.
甲、乙至少有一个真命题时，
a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，－1≤a<－.
所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为.
1．1.2 量 词
学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念，能够用符号表示全称命题与存在性命题.3.掌握判断全称命题和存在性命题的方法．
知识点一 全称量词、全称命题
1．概念
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．
2．表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
3．全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．
知识点二 存在量词、存在性命题
1．概念
短语“有一个”或“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．
2．表示
存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．
3．存在性命题的真假判定
要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( × )
2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( × )
3．存在性命题中的量词一定不能省略．( √ )
4．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √ )
题型一 全称命题与存在性命题的辨析
例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)梯形的对角线相等；
(2)存在一个四边形有外接圆；
(3)二次函数都存在零点；
(4)过两条平行线有且只有一个平面．
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的辨析
解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．
命题(2)为存在性命题．
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．
跟踪训练1 下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的辨析
答案 ①②③ ④
题型二 全称命题与存在性命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.
解 (1)真命题．
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．
反思感悟 要判断全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
要判断存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2 判断下列命题的真假：
(1)有一些奇函数的图象过原点；
(2)?x∈R,2x2＋x＋1<0.
解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．
(2)该命题是存在性命题．
∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题．
题型三 由含量词的命题求参数
例3 对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围．
解 令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，
又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
引申探究
若将本例条件改为：存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．
解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)若命题p：＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．
解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)由＝sinx－cosx，
得＝sinx－cosx，
∴＝sinx－cosx，
即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，
∴sinx≥cosx.
结合三角函数图象，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴实数x的取值范围是(k∈Z)．
全称命题与存在性命题的应用
典例 f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x∈[－1,2]，使f(x1)＝g(x)，则a的取值范围是( )
A. B.
C．[3，＋∞) D．(0,3)
答案 C
解析 由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x)，
因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．
函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，
则有即a≥3.
[素养评析] (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.?
(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
答案 D
解析 D选项是存在性命题．
2．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N＋，(x－1)2>0
C．?x∈(0，＋∞)，lgx<1
D．?x∈R，tanx＝2
考点 全称命题与特称命题的综合问题
题点 全称命题与特称命题的真假判断
答案 B
解析 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以命题“?x∈N＋，(x－1)2>0”为假命题．易知A，C，D中的命题均为真命题．故选B.
3．若?x∈，tanx≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ?x∈，(tanx)max＝1，
∴m≥1，即m的最小值为1.
4．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有的实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解 (1)?x∈R，x2＋x＋1>0，真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题．
(3)?x，y∈Z,3x－2y＝10，真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数，真命题．
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2．判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．
3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假．
一、选择题
1．下列说法正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在性命题；
②命题“?x∈R，x2＋2<0”是全称命题；
③命题“?x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在性命题．
A．0B．1C．2D．3
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的辨析
答案 C
解析 只有②③正确．
2．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
考点 存在性命题的真假判断
题点 存在性命题的真假判断
答案 B
3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．?x∈R，x2＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
答案 D
解析 A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.
4．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”是真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a<－16或a>0 B．a≤－16或a≥0
C．－16考点 存在性命题
题点 由命题的真假求参数范围
答案 A
解析 由题意知Δ＝a2＋16a>0，即a<－16或a>0.
5．下列命题是真命题的是( )
A．?x∈R，x3≥x
B．?x∈R，x2＋1<2x
C．?xy>0，x－y≥2
D．?x，y∈R，sin(x＋y)＝sinx－siny
考点 含有一个量词的命题
题点 含有一个量词的命题的真假判断
答案 D
6．若“?x∈，cosx≤m”是真命题，则实数m的最小值为( )
A．－B.C．－D.
考点 全称命题的真假判断
题点 恒成立求参数的范围
答案 B
7．下列全称命题中真命题的个数为( )
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1B．2C．3D．4
考点 全称命题与存在性命题的综合问题
题点 全称命题与存在性命题的真假判断
答案 C
解析 ①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，
④为假命题．
8．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是( )
A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1
答案 B
解析 函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
二、填空题
9．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)
答案 ①②③ ④⑤
解析 ①是全称命题，是真命题；
②是全称命题，是真命题；
③是全称命题，即任意一个正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；
④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；
⑤是存在性命题，是真命题；
⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
10．给出下列命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
答案 0
解析 ∵对于方程f(x)＝x2－3x＋2，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题；
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；
不存在x∈R，x2＋1＝0，∴③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．若命题“关于x的不等式ax2－2ax－3>0有解”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点 存在性命题
题点 由存在性命题的真假求参数的范围
答案 (－∞，－3)∪(0，＋∞)
解析 由题意可得a>0或
解得a>0或a<－3.
三、解答题
12．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，然后用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)至少有一个整数x，使log2x>0；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x，使得＝2.
考点
题点
解 (1)是全称命题，用符号表示为“?α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．
(2)是存在性命题，用符号表示为“?x∈Z，log2x>0”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是存在性命题，用符号表示为“?x∈R，使得＝2”，是假命题．
13．已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
解 ?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，
即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.
又p和q都为真，∴
∴a≤－2或a＝1.
14．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
考点 含一个量词的命题
题点 含有一个量词的命题的真假判断
答案 C
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
15．若命题“?a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”是真命题，求实数x的取值范围．
考点 存在性命题
题点 由存在性命题的真假求参数的范围
解 令f(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的一次函数，
由题意，得(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0，
即x2－x－2>0或3x2＋x－2>0，
解得x<－1或x>.
1．2.1 “且”与“或”
学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法．
知识点一 “且”
1．定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
将命题p和命题q以及p∧q的真假情况绘制为命题“p∧q”的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题“p∧q”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”．
2．“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足．
3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假．
知识点二 “或”
1．定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
将命题p和命题q以及p∨q的真假情况绘制为命题“p∨q”的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题“p∨q”的真值表可简单归纳为“假假才假”．
2．对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”，“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.
3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．( × )
2．命题“p∨q”是真命题，p，q至少有一个是真命题．( √ )
3．梯形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题．( × )
题型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 命题形式的区分
例1 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
解 (1)是p∧q形式的命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式的命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式的命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
反思感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题．
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题．
跟踪训练1 指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．
解 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解 (1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
反思感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．
跟踪训练2 分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
(2)p：是无理数，q：是实数；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
解 (1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；
p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数．
(2)p∧q：是无理数且是实数；
p∨q：是无理数或是实数．
(3)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角．
题型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．
(1)p：函数y＝sinx是奇函数；q：函数y＝sinx在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交；
(3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
解 (1)∵p真，q假，∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真，q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(3)∵p假，q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
反思感悟 判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤
(1)首先判断命题p与q的真假．
(2)对于p∧q，“一假则假，全真则真”，
对于p∨q，只要有一个为真，则p∨q为真，全假为假．
跟踪训练3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：??{0}，q：0∈?；
(2)p：是无理数，q：π不是无理数；
(3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
解 (1)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(3)∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(4)∵p假，q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．
由复合命题的真假求参数的范围
典例 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
考点 “或”“且”的综合问题
题点 由复合命题的真假求参数的范围
解 p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根??m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根?Δ＝16(m－2)2－16<0?1因为“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，
所以p为真且q为假，或p为假且q为真．
(1)当p为真且q为假时，
由解得m≥3；
(2)当p为假且q为真时，由解得1综上所述，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[素养评析] (1)解决逻辑联结词的应用问题，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数的取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，有利于形成程序化思维，能促进数学思维的发展，培养程序化思考问题的品质.
1．命题“方程x2＝1的解是x＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是( )
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
答案 B
2．命题“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0 D．不都是0
答案 A
解析 满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”，和“p∨q”中，真命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．0个
答案 B
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，
故选B.
4．“p∧q是真命题”则下列结论错误的是( )
A．p是真命题 B．q是真命题
C．p∨q是真命题 D．p∨q是假命题
答案 D
解析 p∧q是真命题?p是真命题且q是真命题?p∨q是真命题，故选D.
5．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a－1<0，解得a<，
命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，
得－≤1，解得a≥－2.
由p∧q为真得p，q都为真，故a的取值范围为∩，即为.
1．判断含有逻辑联结词的命题构成形式的关键是：弄清构成它的命题的条件、结论．
2．对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假．
(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；
(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真．
一、选择题
1．已知命题p，q，若p为真命题，则( )
A．p∧q必为真 B．p∧q必为假
C．p∨q必为真 D．p∨q必为假
答案 C
解析 p∨q，见真则真，故必有p∨q为真．
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于?A，?，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
3．命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，则下列判断正确的是( )
A．命题p真q假 B．命题p假q真
C．命题p与q真假相同 D．命题p与q真假不同
答案 D
解析 由命题p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，得命题p，q一真一假．故选D.
4．命题p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
答案 C
解析 点(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
5．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假 D．p∨q为真
答案 C
解析 函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cosx的对称轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C.
6．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1]．在下列命题：“p”“q”“p∧q”“p∨q”中，真命题的个数为( )
A．0B．1C．2D．3
答案 C
7．p：方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0B．a≥0C．a>1D．a≥1
答案 B
解析 ∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，
∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
∵函数f(x)＝(a2－a)x是增函数，
∴a2－a>0，解得a<0或a>1.
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q中一真一假．
①当p真q假时，得0≤a≤1；
②当p假q真时，得a>1.
由①②得所求a的取值范围是a≥0.
二、填空题
8．分别用“p∨q”“p∧q”填空：
(1)命题“集合A?B”是________的形式；
(2)命题“≥2”是________的形式；
(3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．
答案 (1)p∧q (2)p∨q (3)p∧q
9．已知p：x2－2x－3<0；q：<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．
答案 (－1,2)
解析 当p为真命题时，x2－2x－3<0，则－1当q为真命题时，x－2<0，则x<2.
当p且q为真命题时，p和q均为真命题，
从而x的取值范围是－110．已知命题p：不等式>的解集为{x|0①“p∧q”为真；②“p∧q”为假；③“p∨q”为真；④“p∨q”为假．
答案 ②③
解析 由>，得<0?0故p为真命题，由a2＝b2不一定有a＝b，
故q为假命题．
∴p∧q为假，p∨q为真．
11．设p：关于x的不等式ax>1(a>0且aD＝/1)的解集是{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p且q为假，p或q为真，则a的取值范围为________．
答案 ∪
解析 若p真，则0若p假，则a>1.
若q真，有解得a>.
若q假，则a≤，
又由题意知，p和q有且仅有一个为真，
∴当p真q假时，0当p假q真时，a>1，
综上所述，a∈∪(1，＋∞)．
三、解答题
12．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
解 (1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．
13．已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
解 若函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－≤－1，∴m≥2，即p：m≥2；
若函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1恒大于零，
则Δ＝16(m－2)2－16<0，
解得1因为p或q为真，p且q为假，所以p，q一真一假，
当p真q假时，由，得m≥3，
当p假q真时，由，得1综上，m的取值范围是{m|m≥3或114．设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R，命题q：关于x的不等式3x－9x＜a对一切正实数都成立．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 由题意，得对命题p：ax2－x＋＞0
在R上恒成立，当a＝0时，不符合，
故得a＞1.
对命题q：令3x＝t(t＞1)，则3x－9x＝－2＋＜0，故a≥0.
由p或q为真，p且q为假，得p，q一真一假，
当p真q假时，无解；当p假q真时，得0≤a≤1.
15．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．
解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0与a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴q，p同时为假命题．
∴a的取值范围是{a|－1＜a＜0或0＜a＜1}．
1．2.2 “非”(否定)
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．
知识点一 逻辑联结词“非”
1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．
2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．
知识点二 全称命题的否定
写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．
对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
全称命题的否定是存在性命题．
知识点三 存在性命题的否定
写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．
对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定綈p：?x∈M綈p(x)．
存在性命题的否定是全称命题．
1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
2．?x∈M，p(x)与?x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √ )
3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．( × )
题型一 “綈p”命题的构成与真假判断
例1 写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．
反思感悟 (1)对命题“p∧q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p∨q”的否定，除将简单命题p，q否定外，还需将“或”变为“且”．
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假性相反．
跟踪训练1 写出下列命题p的否定，并判断其真假．
(1)p：偶数都能被2整除；
(2)p：若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
(3)p：2018＞2017.
解 (1)綈p：偶数不都能被2整除，命题p是真命题，綈p是假命题；
(2)綈p：若x2＋y2＝0，则x≠0或y≠0，命题p是真命题，綈p是假命题；
(3)綈p：2018≤2017，命题p是真命题，綈p是假命题．
题型二 全称命题和存在性命题的否定
命题角度1 全称命题的否定
例2 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．
跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
命题角度2 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1)綈p：?x>1，x2－2x－3≠0(假)．
(2)綈p：所有的素数都不是奇数(假)．
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．
反思感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈M，p(x)成立?綈p：?x∈M，綈p(x)成立．
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
题型三 全称命题、特称命题否定的应用
例4 已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点 全称命题
题点 由命题的真假求参数的范围
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x∈R，x2＋ax＋1<0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，
Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
反思感悟 (1)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在性命题为真命题解决，同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．
(2)通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．
跟踪训练4 已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立，
所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则所以解得a≤－3.
因为綈p为假，所以a>－3，
即a的取值范围是(－3，＋∞).
1．若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案 D
解析 因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
2．设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 将命题p的量词“?”改为“?”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．
3．对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2>0
答案 C
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选C错误．
4．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．(填序号)
①对任意x∈R，都有x2＜0
②不存在x∈R，使得x2＜0
③存在x∈R，使得x2≥0
④存在x∈R，使得x2＜0
答案 ④
解析 全称命题的否定是存在性命题．
5．已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由题意知，?x∈R，x2－5x＋a>0是真命题，
则Δ＝25－4×<0，得a>.
一、选择题
1．有以下四个命题：(1)没有男生爱踢足球；(2)所有男生都不爱踢足球；(3)至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
答案 C
2．命题“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )
A．?x∈R，x3－2x＋1≠0
B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C．?x∈R，x3－2x＋1＝0
D．?x∈R，x3－2x＋1≠0
答案 D
3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案 D
解析 原命题为全称命题，其否定应为存在性命题，且结论否定．
4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．綈p)∨(綈q) B.p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
答案 A
解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p)∨(綈q)．
5．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题的m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 由题意知原命题的否定是真命题，
即?x∈R，都有x2＋2x＋m>0是真命题．
由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1.
6．已知命题p：?x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
答案 D
解析 当x＝时，tanx＝1，
∴命题p为真命题．
由x2－3x＋2<0得1∴命题q为真命题，∴p∧q为真，p∧(綈q)为假，(綈p)∨q为真，(綈p)∨(綈q)为假．
7．已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x，命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4A．“綈p”是假命题 B．“綈q”是真命题
C．“p∧q”为真命题 D．“p∨q”为真命题
答案 D
解析 对于命题p：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，
即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x，
因此命题p是假命题．
对于命题q，若mx2－mx－1<0恒成立，
则当m＝0时，mx2－mx－1<0恒成立；
当m≠0时，由mx2－mx－1<0恒成立，
得
即－4故命题q是真命题．
因此，“綈p”是真命题，“綈q”是假命题，
“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，故选D.
二、填空题
8．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是______________________________________．
答案 每一个平行四边形都不是矩形
9．命题“?x>0，x＋≥1”的否定为________________________．
考点 全称量词的否定
题点 含全称量词的命题的否定
答案 ?x>0，x＋<1
10．已知命题p：?x∈R，x2－x＋<0，命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝，则p∨q，p∧q，綈p，綈q中是真命题的为________．
答案 p∨q，綈p
解析 ∵x2－x＋＝2≥0，
∴p为假命题．
∵sinx＋cosx＝sin，
∴q为真命题．
故p∨q，綈p为真命题．
11．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
答案 1
解析 因为“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以“对任意x∈R，都有x2＋2x＋m>0”是真命题，因此Δ＝4－4m<0，即m>1，故a＝1.
三、解答题
12．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；
(2)?x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
考点 含有一个量词的命题
题点 含一个量词的命题真假判断
解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，故命题为假命题．
命题的否定为：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.
(2)真命题．命题的否定为：?x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
13．已知p：?a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的最小正周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
解 (1)綈p：?a∈(0，b](b∈R且b>0)，
函数f(x)＝sin的最小正周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立，
解得014．命题“?n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n
B．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n
C．?n∈N＋，f(n)?N＋且f(n)＞n
D．?n∈N＋，f(n)?N＋或f(n)＞n
答案 D
解析 全称量词“?n∈N＋”改为存在量词“?n∈N＋”．“f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定为“f(x)?N＋或f(n)＞n”．
15．已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：?x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若(綈p)∧(綈q)为真命题，求实数a的取值范围．
考点 存在量词的否定
题点 由含量词的命题的真假求参数的范围
解 因为(綈p)∧(綈q)为真命题，
所以綈p与綈q都是真命题，从而p与q都是假命题．
所以“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解”与“ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立”都是真命题．
由关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解，
得a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，
所以a≤1.
由ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，
得a＝0或即a＝0或0所以0≤a<4.
由得0≤a≤1，故实数a的取值范围是[0,1]．
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．
知识点一 命题的结构
命题的形式：在数学中，经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．
知识点二 充分条件与必要条件
1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．
2．若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点三 充要条件
1．一般地，如果p?q，且q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( × )
2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．( √ )
3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．( √ )
4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( √ )
5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ )
题型一 充分、必要、充要条件的判断
例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB.
解 (1)因为x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0?x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似?两个三角形全等，
但两个三角形全等?两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，
所以p是q的充要条件．
(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，p?q；
又取∠A＝30°，∠B＝120°，q?p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
反思感悟 充分条件、必要条件的两种常用的判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根．
解 (1)因为四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件．
(3)因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；
方程x2＋x－m＝0有实根，
即Δ＝1＋4m≥0?m>0.
所以p是q的充分不必要条件．
题型二 充分、必要、充要条件的应用
命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围
例2 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0引申探究
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解 p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是[9，＋∞)．
2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．
跟踪训练2 (1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 (2，＋∞)
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，
因为当－2所以不等式的解集是－a由题意有(－2，－1)?(－a，－1)，
所以－2>－a，即a>2.
(2)已知P＝{x|a－4考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [－1,5]
解析 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q?P，所以即
所以－1≤a≤5.
命题角度2 寻求结论成立的条件
例3 求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充要条件
解 由题意可知，关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立，
等价于对于方程ax2－ax＋1＝0中，?0反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．
跟踪训练3 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
考点 充要条件的概念及判断
题点 寻求充分条件
答案 C
解析 表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．
充要条件的证明
典例 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明 充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，
此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[素养评析] (1)一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.
(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．
1．a<0，b<0的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
答案 A
解析 a＋b<0?a<0，b<0，而a<0，b<0?a＋b<0.
2．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案 C
解析 ∵－2＜x＜1?x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1?－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分也不必要条件．
3．下列命题为假命题的是( )
A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件
B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1
C．在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件
D．lgx>lgy是>的充要条件
答案 D
解析 选项A中，由B＝60°?A＋C＝120°?A＋C＝2B?角A，B，C成等差数列；
而角A，B，C成等差数列?A＋C＝2B，
又A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，
所以B＝60°，故命题为真．
选项B中，a⊥b?a·b＝0，
即2x＋2＝0，得x＝－1，故B正确．
选项C中，在△ABC中，A＝B?sinA＝sinB，
反之，若sinA＝sinB，
因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180°)，所以只有A＝B.
故A＝B是sinA＝sinB的充要条件．
选项D中，取x＝2，y＝0，
有>，但lgy却无意义，
所以是假命题．
4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]
解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3a}，而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A?B，则有a≤－3.
5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
解 由3x＋m<0，得x<－，
∴p：A＝.
由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q且q?p，
∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
一、选择题
1．设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a>2，b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故选B.
2．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a＝1?N?M，
N?M?a2＝1或2，
∴N?M?a＝1，
故a＝1是N?M的充分不必要条件．
3．已知等差数列{an}，则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 等差数列{an}为递增数列等价于an4．下列命题中q是p的必要条件的是( )
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
答案 A
解析 由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．
5．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 ab≠0，即此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
6．下列四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5?4≥3.5＋1，故a>b?a≥b＋1，故A正确．
7．集合A＝，B＝{x|－aA．[－2,0) B．(0,2]
C．(－2,2) D．[－2,2]
答案 C
解析 A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}＝{x|－1B＝{x|b－a因为a＝1，所以B＝{x|b－1若A∩B＝?，则b＋1≤－1或b－1≥1，
即b≤－2或b≥2，
所以A∩B≠?时，－2二、填空题
8．下列不等式：①x<1；②0答案 ②③④
解析 由x2<1得－1故②③④都可作为x2<1的充分条件．
9．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．
答案 m＝0
解析 当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；
当m≠0时，有＝2，解得m＝1或m＝－，
但Δ＝(m＋1)2－8m2，
当m＝1及m＝－时，均使Δ<0，
故充要条件是m＝0.
10．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，可得(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2.
11．有下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分条件；
②“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R”的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 ①④
解析 ①当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，故①为真命题；
②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；
④lgx＋lgy＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x>0，y>0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．
综上可知，真命题是①④.
三、解答题
12．判断下列各题中，p是q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
解 (1)∵|x|＝|y|?x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)相切，
则圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即r＝，∴c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，
则＝r成立，
说明圆x2＋y2＝r2(r>0)的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2(r>0)与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
13．(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 (1)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，
则只需?{x|x<－1或x>3}，
则只需－≤－1，即m≥2，
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，
则只需?{x|x<－1或x>3}，
这是不可能的，
故不存在实数m，使2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．
14．设计如图所示的三个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________．(填序号)
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 (1)
解析 图(1)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，∴p?q，但q?p，∴p是q的充分不必要条件．图(2)p?q，∴p是q的充要条件．图(3)开关S，S1与灯泡L串联，∴p?q，q?p，∴p是q的必要不充分条件．
15．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明 充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，
|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，
|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
1．3.2 命题的四种形式
学习目标 1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题．
知识点一 四种命题的概念
四种命题的定义
命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题．
(1)原命题：如果p，则q；
(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；
(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．
(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．
知识点二 四种命题间的相互关系
(1)四种命题间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．
1．有的命题没有逆命题．( × )
2．两个互逆命题的真假性相同．( × )
3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( √ )
4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．( √ )
题型一 四种命题的概念
例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
解 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
反思感悟 四种命题的写法
(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
跟踪训练1 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若sinα＝，则tanα＝；
(2)若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(4)当1(5)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解 (1)逆命题：若tanα＝，则sinα＝.
否命题：若sinα≠，则tanα≠.
逆否命题：若tanα≠，则sinα≠.
(2)逆命题：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．
否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．
逆否命题：若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
(4)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.
逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
(5)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.
否命题：若ab≠0，则a≠0，且b≠0.
逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.
题型二 四种命题的真假判断
例2 下列命题：
①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；
②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．(填序号)
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①②
解析 ①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②.
反思感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练2 按要求写出下列命题并判断真假．
(1)“正三角形都相似”的逆命题；
(2)“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；
(3)“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 (1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．
(2)原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．
(3)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，故为真命题．
题型三 等价命题的应用
例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解 方法一 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥＞1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0，
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
答案 B
解析 命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是( )
A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2b
B．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2b
C．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列
D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 D
解析 命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．
3．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；
②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；
③当k<0时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．
4．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤
①和③，④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
5．已知命题“若m－1答案 [1,2]
解析 命题：“若m－1∵该逆命题为真命题，
∴由得1≤m≤2.
1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
一、选择题
1．“如果x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是( )
A．如果x≤y，则x2≤y2
B．如果x＞y，则x2＜y2
C．如果x2≤y2，则x≤y
D．如果x＜y，则x2＜y2
答案 C
解析 由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
3．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
答案 A
解析 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
4．(2018·咸阳期末)命题“若a>2，则a>1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )
A．0B．1C．2D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 “若a>2，则a>1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．
又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
5．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”
答案 B
解析 如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，
故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，
该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．
7．下列说法错误的是( )
A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
答案 C
解析 C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.
二、填空题
9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中正确的是________．(填序号)
答案 ①②
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
答案 1
解析 原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
11．给定下列命题：
①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①
解析 显然①为真；②为假；对于③，原命题“若x－是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
三、解答题
12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根；
(2)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.
解 (1)逆命题：当mx2－x＋1＝0无实根时，m>，
真命题；
否命题：当m≤时，mx2－x＋1＝0有实根，真命题；
逆否命题：当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤，真命题．
(2)逆命题：当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0，真命题；
否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0，真命题；
逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0，真命题．
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
14．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，求实数m的取值范围．
考点
题点 解 由已知，易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}．
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2.
15．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：＞0，请选取一个适当的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？
考点 四种命题间的相互关系
题点 利用四种命题的关系判断真假
解 由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，
即x＜或x＞.
由＞0，得2x2－3x＋1＞0，
解得x＜或x＞1.
为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，
则需A?B.
令a＝4，得p：x＜－或x＞1，
满足题意，故可以选取a＝4，
此时原命题是“若|5x－1|＞4，则＞0”．
专题突破一 判断充分、必要条件四策略
一、应用定义
例1 设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m?α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 B
解析 由两平面平行的判定定理可知，当一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时，两平面平行，所以“m∥β”不能推出“α∥β”；若两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，所以“α∥β”可以推出“m∥β”．因此“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
点评 ①分清条件与结论，即分清哪一个是条件，哪一个是结论；②判断推式的真假，即判断p?q及q?p的真假；③下结论，即根据推式及定义下结论．
跟踪训练1 (2018·安徽合肥高二检测)“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的判断
答案 C
解析 当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数．
函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数，
则f(x)＋f(－x)＝0，即x3＋ax2＋(－x)3＋a(－x)2＝2ax2＝0，对任意x∈R恒成立，
所以有a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．
二、利用传递性
例2 若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？
考点 充分、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
解 p，q，r，s之间的关系如图所示，
由图可知p?s，但s?p，故s是p的必要不充分条件．
点评 用图形来反映条件之间的关系有三个地方容易出错：(1)翻译不准确，(2)标注箭头有误，(3)读图错误．因此解决此类问题时，一定要细心，避免弄巧成拙．
跟踪训练2 若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 命题的充分必要性具有传递性，由题意知M?N?P?Q，但Q?P，且N?M，故M是Q的充分不必要条件．
三、利用集合
例3 设命题p：x(x－3)<0，命题q：2x－3考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [3，＋∞)
解析 设p，q分别对应集合P，Q，
则P＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0Q＝{x|2x－3由题意知p?q，q?p，故P?Q，
在数轴上表示不等式如图所示，
则≥3，解得m≥3，
即实数m的取值范围为[3，＋∞)．
点评 运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
跟踪训练3 不等式x2－2x－3<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．－1C．－2考点 充分、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 D
解析 ∵x2－2x－3<0，∴(x－3)(x＋1)<0，
∴－1四、等价转化
例4 对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的________条件．
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 充分不必要
解析 “若x＋y≠8，则x≠2或y≠6”的逆否命题是“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”，显然是真命题．
故x＋y≠8?x≠2或y≠6.
但是x≠2或y≠6?x＋y≠8.
故p是q的充分不必要条件．
点评 由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p?q较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q?綈p，从而得到p?q.
跟踪训练4 如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．(填“充分”或“必要”)
考点 充分、必要条件的判断
题点 必要不充分条件的判断
答案 必要
解析 因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，所以A是B的必要条件．
1．若a，b，c是实数，则“ac<0”是“不等式ax2＋bx＋c>0有解”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 B
解析 由ac<0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数解，
此时不等式ax2＋bx＋c>0有解；
反过来，由不等式ax2＋bx＋c>0有解不能得出ac<0，
例如，当a＝b＝c＝1时，不等式ax2＋bx＋c>0，
即x2＋x＋1＝2＋>0有解，
此时ac＝1>0.故选B.
2．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 B
解析 x2－2x－3≥0?x≤－1或x≥3，由题意知，{x|x3．设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 A
解析 由题意知丙?乙?甲且乙?丙，
∴丙?甲且甲?丙，
∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
4．“若a≥b?c>d”和“a考点 充分、必要条件的判断
题点 充分不必要条件的判断
答案 充分
解析 因为“a≥b?c>d”是真命题，
所以它的逆否命题“c≤d?a又因为“a所以“c≤d?a故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．
5．设p：|x|>1，q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 含有否定性语句的命题处理
答案 充分不必要
解析 由已知，得p：x<－1或x>1，则q是p的充分不必要条件，所以由互为逆否的两个命题等价，得綈p是綈q的充分不必要条件．
6．已知α：x≥a；β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 (－∞，0]
解析 α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}．
∵β：|x－1|<1，∴0又∵α是β的必要不充分条件，∴B?A，∴a≤0.
7．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：
(1)p是q的充分不必要条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
解 由题意知，p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，q：B＝[1,2]．
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以A?B，故1≤a<2.
(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，故A＝[1，a]且a>2?a>2.
(3)因为p是q的充要条件，所以A＝B?a＝2.
第一章 常用逻辑用语章末复习
学习目标 1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的证明.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．
1．全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任何”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．
2．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．
(2)简单复合命题的真值表
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
题型一 命题及其关系
例1 (1)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．
(2)有关下列命题，其中说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的否命题为“若x2－3x－4≠0，则x≠4”
B．“x>0”是“x>5”的必要不充分条件
C．若p∨q是真命题，则p，q都是真命题
D．命题“若x>1且y<－3，则x－y>4”的等价命题是“若x－y≤4，则x≤1或y≥－3”
考点 “或”“且”“非”的综合应用
题点 复合命题与充分、必要条件结合
答案 C
解析 C中p∨q是真命题，则p为真命题或q为真命题或p和q都是真命题．
反思感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．
(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
跟踪训练1 (1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是( )
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 B
(2)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．q为真
C．p∧q为假 D．p∨q为真
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 C
解析 由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
题型二 逻辑联结词与量词的综合应用
例2 已知p：?x∈R，mx2＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假，得?x∈R，mx2＋2>0，所以m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得?x∈R，x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练2 已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 由复合命题的真假求参数的范围
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，知0由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a>0的解集为R，则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或解得a>1或0即a∈∪(1，＋∞)．
题型三 充要条件
例3 (1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 对充分条件与必要条件的理解及判断
题点 充分条件与必要条件
答案 B
解析 解x2－3x>0，得x<0或x>3，
所以x<0或x>3?x>4，
而x>4?x<0或x>3，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 对充分条件与必要条件的理解及判断
题点 充分条件与必要条件
答案 A
解析 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；
但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点．
反思感悟 分清条件与结论，准确判断p?q，还是q?p.
跟踪训练3 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a所以p：3a由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为綈q?綈p，所以p?q，所以A?B，
所以解得－≤a<0，
所以实数a的取值范围是.
转化与化归思想的应用
典例 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m.
(1)若对?x1∈[－1,3]，x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围；
(2)若对?x2∈[0,2]，?x1∈[－1,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由题设知，f(x1)min≥g(x2)max，
∵f(x)在[－1,0]上单调递减，在(0,3]上单调递增，
∴f(x1)min＝f(0)＝0，
又∵g(x)在[0,2]上单调递减，
∴g(x2)max＝g(0)＝1－m，
∴有0≥1－m，得m≥1，
∴m的取值范围为[1，＋∞)．
(2)由题设知，f(x1)max≥g(x2)max，
∴有f(3)≥g(0)，即9≥1－m，
∴m的取值范围是[－8，＋∞)．
[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题，要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究，将抽象的问题具体化，如此才能更为准确的把握问题的内涵.
1．命题“?x∈R，f(x)<0”的否定是( )
A．?x?R，f(x)≥0 B．?x?R，f(x)≥0
C．?x∈R，f(x)≥0 D．?x∈R，f(x)<0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
2．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“?x∈Z，x3>x2”的否定是“?x0∈Z，xC．“φ＝”是“函数y＝sin(x＋φ)为偶函数”的充要条件
D．“b＝0”是“关于x的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
考点
题点
答案 D
解析 A为全称命题；B中否定应为“?x∈Z，x3≤x2”；C中应为充分不必要条件．
3．已知命题p：?m∈R，x2－mx－1＝0有解，命题q：?x∈N，x2－x－1≤0，则下列选项中是假命题的为( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．p∨q D．p∨(綈q)
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 B
解析 p：Δ＝m2＋4>0，故为真命题，
q：当x0＝1时，满足x－x0－1≤0，
所以q也为真命题，
则p∧(綈q)为假命题．
4．下列说法正确的是( )
A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1”
B．命题“?x∈R，x2>1”的否定是“?x∈R，x2>1”
C．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题
D．命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 D
解析 A中，命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．
B中，命题“?x∈R，x2>1”的否定是“?x∈R，x2≤1”，∴B错误．
C中，“若x＝y，则cosx＝cosy”为真命题，则其逆否命题也为真命题，∴C错误．
D中，命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题“若cosx＝cosy，则x＝y”为假命题，∴D正确．
5．已知命题p：|x－a|<4，命题q：(x－1)(2－x)>0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [－2,5]
解析 p：a－4因为p是q的必要不充分条件，
所以(1,2)?(a－4，a＋4)，
即且等号不能同时取得，
所以a的取值范围是[－2,5]．
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
2．条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．
