高中数学重难点专题突破
专题一 圆锥曲线的离心率问题求解
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
【知识要点】
/
椭圆离心率的性质：
/
双曲线离心率的性质：
双曲线的离心率e，反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解.
【典例分析】
一、离心率的求值
离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：
(1)直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；
(2)变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用，；
(3)构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.
【例1】已知椭圆/的左、右焦点分别为/，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为( )
A． B．/ C．/ D．/
【例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为_____________．
二、离心率的范围求解
方法1 利用椭圆或者双曲线离心率的性质
解题模板：第/一步 根据题目意思找出满足条件的离心率的临界值；
第二步 判断离心率是要大于临界值还是要小于临界值，椭圆是根据的圆扁程度来判断离心率的大小，双曲线是根据开口的大小来判断离心率的大小；
第三步 确定离心率的范围.
【例3】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4】设F为双曲线的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q(在第一象限内)，使得,则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
方法2 借助平面几何图形中的不等关系
解题模板：第/一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三/边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
第三步 解不等式，确定离心率的范围.
【例5】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法3 借助题目中给出的不等信息
解题模板：第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【例6】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
方法4 借助函数的值域求解范围
解题模板：第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变/量的函数关系式；
第二步 通过确定函数的定义域；
第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例7】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
【例8】已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点位P . 若(O为坐标原点)，则双曲线的离心率取值范围是( )
A． B． C． D．
【课后练习】
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
2．点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
3．若直线l过双曲线（a>0,b>0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是( )
A． B． C． /D．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使
＝，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，＋1) B．/(1，) C．(，＋∞) D．(＋1，＋∞)
6．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，/则椭圆的离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
7．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为( )
A． B． C． D．
8．双曲/线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为( )
A. 2 B. C. D.]
9．已知椭圆/的左焦点/关于直线/的对称点/在椭圆上，则椭圆的离心率是( )
A． / B．/ C./ D．/
10．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与
双曲线的渐进线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B. C． D．
12．已知双曲线与函数的图象交于点. 若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是 .
14．已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
15．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .
16．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .
▲▲▲选择、填空题答案填在此处
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
13、 14、 .
15、 16、 .
课件16张PPT。设计与主讲：李 君 高考数学重难点突破——圆锥曲线的离心率问题Contents Page目录页— * — 一二三四椭圆与双曲线离心率 离心率的求值离心率的范围求解专题小结四、专题小结一、椭圆与双曲线离心率二、离心率求值三、离心率范围求解01 圆锥曲线的离心率渐近线e＝1
离心率几何性质
图像抛物线双曲线椭圆名称四、专题小结一、椭圆与双曲线离心率二、离心率求值三、离心率范围求解02 椭圆离心率的性质椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:四、专题小结一、椭圆与双曲线离心率二、离心率求值三、离心率范围求解03 双曲线离心率的性质双曲线的离心率对开口大小的影响: 双曲线的离心率e，反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解. 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值三、离心率范围求解01 平移变换四、专题小结01 求离心率的方法★A 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值三、离心率范围求解01 平移变换四、专题小结01 求离心率的方法★2a+2c2c-2a2c2c三、离心率的范围求解四、专题小结 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值C(a,0)(c,0)(0,b)(0,-b)四、专题小结三、离心率的范围求解 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值A四、专题小结三、离心率的范围求解 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值C四、专题小结三、离心率的范围求解 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值2csina2csina2ccosa2ccosaaa四、专题小结三、离心率的范围求解 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值A四、专题小结三、离心率的范围求解 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值B四、专题总结离心率求值利用离心率的性质求离心率的范围 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值四、专题总结借助题目中给出的不等信息借助平面几何图形中的不等关系 一、椭圆与双曲线的离心率 二、离心率求值三、离心率范围求解Thank You专题一 圆锥曲线的离心率问题求解参考答案
【例1】【答案】A
试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为/，/，由/，代入椭圆方程可得/，可设/，/，由/，可得/，即有/，即/，可得/，代入椭圆方程可得/，由/，/，即有/，解得/．故选A．
【例2】【答案】
【解析】由双曲线定义得，因为，所以，再利用余弦定理得，化简得
/
【例3】【答案】C
【解析】设所以因为为钝角，所以与的夹角为锐角，所以，即.两边同时除以并化简得，解得，又，所以。
【例4】【答案】A
【解析】设，由可得到
【例5】【答案】C
【解析】椭圆上长轴端点向圆外两切线PA,PB,则两切线形成的角最小，若椭圆上存在点P令切线互相垂直，则只需即，解得，，而，，即.
【例6】【答案】
【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形，
所以.所以又
所以. .又因为/，.所以
.即.因为所以.所以故填.
【例7】【答案】A
【解析】由题设可知
即解得，即，故.应选A.
【例8】【答案】B
【解析】
【课后练习】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】任取一焦点到一条渐近线的距离为，
则，有
，故选D．
【答案】A
【解析】由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，则，故选A.
3．【答案】D
【解析】曲线的一条渐近线要满足题意须，由，所以。
4．【答案】A
【解析】设，一条渐近线的方程为，则，因为所以，所以，所以，所以.故选A.
5．【答案】A
【解析】由得，又，所以，因为，所以，选A。
【答案】A
【解析】椭圆，
双曲线
由条件有，则由，有，
，即而，
【答案】A
【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点由，得即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A.
8．【答案】D
【解析】由于,则，设，又，且，则，点N、Q在双曲线上满足方程，有，消去得：，则，故选D.
9．【答案】C
【解析】设/，则/
代入椭圆方程整理得/，
令/ 得/，
/, 故选C.
10．【答案】B
【解析】当时代入得，则，
则,将代入,得,则,
则,
即,则,
即,则,则，故选B.
【答案】A
【解析】当且仅当时取得最小值，此时.已知即解得，.又因为双曲线离心率e>1.故选A.
【答案】A
【解析】设切点，则曲线在点P处的切线斜率为，又因为切线过点，解得，则，因为点在双曲线上，且双曲线的左焦点为，则，解得，则双曲线的离心率，故选A.
二、填空题
13．【答案】
【解析】设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，
于是，且，即．
14．【答案】2
【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，
所以，，由，
得离心率或（舍去），
所以E的离心率为2.
【答案】
【解析】设OA所在的直线方程为，则OB所在的直线方程为，解方程组得：，所以点A的坐标为，抛物线的焦点F的坐标为：.因为F是的垂心，所以，所以，
所以
16．【答案】
【解析】抛物线的准线方程为，焦点为，与双曲线的右焦点重合，过点P作于点M，连接，由得点E为线段FP的中点，所以且，又因为，由抛物线的定义可知，所以点P的横坐标为，将其代入抛物线方程可得，在中，，所以，又在直线三角形中，由勾股定理得即，所以，解得或（舍得）.
