2018-2019学年河南省洛阳第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷解析版

2018-2019学年河南省洛阳第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有14.2万吨污水排入江河湖海．把14.2万用科学记数法表示为（　　）
A．1.42×105 B．1.42×104 C．142×103 D．0.142×106
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3?a2＝a6 B．a5+a5＝a10
C．（﹣2a3）3＝﹣6a9 D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
5．（3分）小明家7至12月份的用电量统计如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是70kW?h B．中位数是70kW?h
C．众数是70kW?h D．方差是0
6．（3分）《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，多少人分多少银？（注：这里的斤是指市斤，1市斤＝10两）设共有x人，y两银子，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（　　）
A．m＞ B．m C．m＝ D．m＝
8．（3分）有大小、形状、颜色完全相同的3个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3中的一个，将这3个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝150°，分别以点A、D为圆心，AD长为半径画弧，在菱形外侧交于点E，连接BD、AE、BE、DE，线段BE与AD交于点F，则下列说法错误的是（　　）
A．AE＝AB B．BE＝AB C．∠DEB＝15° D．BD＞BF
10．（3分）如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠EOC＝60°，则∠BOD度数是　 　．
13．（3分）不等式组的整数解是　 　．
14．（3分）如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝3，OC＝AC，OD＝BD，F是弧AB的中点．将△OCD沿CD折叠，点O落在点E处，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（3分）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（1+），其中x＝+1．
17．（9分）某中学现有在校学生2920人，校团委为了解本校学生的课余活动情况，采取随机抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生，并将调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次随机抽样中，一共调查了多少名学生？
（2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中阅读部分的扇形圆心角的度数；
（3）请你估计该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有多少名．
18．（9分）如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．
（1）试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）当∠CAB＝　 　时，四边形ADFE为菱形；
（3）当EF＝　 　时，四边形ACBF为正方形．
19．（9分）如图，直线y＝3x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．
20．（9分）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）
21．（10分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现
当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　．
（2）探究
如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，
证明：直线DG⊥BE．
（3）应用
在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣2，0），B（4，0），x轴上有一动点P（t，0），过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E，连接CE，AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时（不与点O，B重合），若△CDE与△ABC相似，求t的值；
（3）当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使△CDE是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年河南省洛阳第二外国语学校九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
3．【解答】解：14.2万＝142000＝1.42×105．
故选：A．
4．【解答】解：A．a3?a2＝a5，故A选项错误；
B．a5+a5＝2a5，故B选项错误；
C．（﹣2a3）3＝﹣8a9，故C选项错误；
D．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故D选项正确；
故选：D．
5．【解答】解：由折线图可知：7，8，9，10，11，12月的用电量分别为：100，90，70，50，70，80 kw/h，故众数为：70 kw/h，中位数为：75 kw/h，
平均数为约为76 kw/h，由图可知，数据波动性较大，故方差大于0．故A，B，D错误，C正确．
故选：C．
6．【解答】解：设共有x人，y两银子，
根据题意可列方程组：，
故选：D．
7．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，
解得：m＝．
故选：C．
8．【解答】解：画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中和为偶数的有2种结果，
所以两个球上的数字之和为偶数的概率为＝，
故选：C．
9．【解答】解：由作图可知：△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠AED＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝150°，∠C＝∠BAD＝30°，
∴AE＝AB，∠BAE＝90°，
∴BE＝AB，∠AEB＝45°，
∴∠DEB＝60°﹣45°＝15°，
故A，B，C正确，
故选：D．
10．【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，
当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2?cosα?sinα?t2，
由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；
当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，
故本段图象应为与横轴平行的线段；
当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，
故本段图象应该为一段下降的线段；
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：原式＝﹣8﹣3＝﹣11，
故答案为：﹣11．
12．【解答】解：∵OE⊥AB于点O，
∴∠AOE＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°．
故答案为：30°．
13．【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤0，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤0，
∴不等式组的整数解为0，
故答案为0．
14．【解答】解：连接OF，过C作CH⊥OF于H，
∵OA＝OB＝OF＝3，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝1.5，OD＝1，
∵F是弧AB的中点．
∴∠COH＝45°，
∴CH＝OH＝，
∴S阴影＝S扇形FOB+S△COF﹣2S△COD＝+3×﹣2×××1＝，
故答案为：．
15．【解答】解：∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，
∴AC＝＝10．
△EFC为直角三角形分两种情况：
①当∠EFC＝90°时，如图1所示．
∵∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，
∴点F在对角线AC上，
∴AE平分∠BAC，
∴＝，即＝，
∴BE＝3；
②当∠FEC＝90°时，如图2所示．
∵∠FEC＝90°，
∴∠FEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BEA＝45°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴BE＝AB＝6．
综上所述：BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分75分）
16．【解答】解：原式＝?
＝
当x＝+1时，
原式＝
＝
17．【解答】解：（1）根据题意得：＝100（名），
答：一共调查的学生数是100人；
（2）娱乐的人数是：100﹣30﹣20﹣10＝40（名），
补图如下：
阅读部分的扇形圆心角的度数是360°×＝108°；
（3）根据题意得：
2920×＝1168（名），
答：该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有1168名．
18．【解答】解：
（1）BF与⊙A相切，理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB，
又∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠FAB＝∠CAB，
在△ABC和△ABF中
∴△ABC≌△ABF（SAS）；
（2）连接CF，如右图所示，
若四边形ADFE为菱形，则AE＝EF＝FD＝DA，
又∵CE＝2AE，CE是圆A的直径，
∴CE＝2EF，∠CFE＝90°，
∴∠ECF＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠CAB，
∴∠CAB＝60°，
故答案为：60°；
（3）若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE，
∴EF＝＝4，
故答案为：4．
19．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝3x，得：y＝3，
∴点A的坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y＝，得：k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）在y＝中y＝1时，x＝3，
∴点B（3，1），
如图，S△AOB＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE
＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2
＝4．
20．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，
∴AB＝BC＝10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，
∴DB＝＝10（米）
∵DH＝AH﹣DA
＝AH﹣（DB﹣AB）
＝10﹣10+10
＝20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
21．【解答】解：（1）根据题意可得：w＝（x﹣20）?y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
w与x之间的函数关系为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意可得：w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．
22．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，
由①知，△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE＝90°，
∴∠AGB+∠ADG＝90°，
∵∠AGB＝∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠DAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AGB+∠ABE＝90°，
∴∠AGB+∠ADG＝90°，
∵∠AGB＝∠DGH，
∴∠DGH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，
由（3）知，△ABE∽△ADG，
∴＝，
∴，
∴DG＝4．
23．【解答】解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
即：﹣8a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4，
则点A（﹣2，0）；
（2）由题意得：AB＝6，AC＝2，BC＝4，
∵PE∥y轴，∴∠OCB＝∠OBC＝∠PDB＝∠CDE＝45°，
故只存在△CDE∽△ABC和△CDE∽△CBA两种情况，
OB＝OC＝4，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
点P（t，0），则点E（t，﹣t2+t+4）、D（t，﹣t+4），
CD＝xDsin45°＝t，
①当△CDE∽△ABC时，
则，即：，
解得：t＝0或（舍去0）；
②当△CDE∽△CBA时，
同理可得：t＝0或1（舍去0）；
故t＝1或；
（3）点P（t，0），则点E（t，﹣t2+t+4）、D（t，﹣t+4），
则DC＝，DE＝﹣t2+2t，CE＝，
①当CD＝DE时，
即：＝﹣t2+2t，解得：t＝4﹣2或0（舍去0）；
②当CD＝CE时，
同理可得：t＝0或4（全部舍去）；
③当DE＝CE时，
同理可得：t＝0或2（舍去0）；
故：点P的坐标为（4﹣2，0）或（2，0）．