2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学九年级（下）开学数学试卷解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学九年级（下）开学数学试卷
一.填选题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）在一条东西向的跑道上，小方先向东走了8米，记作“+8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作多少米（　　）
A．+2 B．﹣2 C．+18 D．﹣18
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．a+2a＝3a2
C． D．a6÷a2＝a4
3．（3分）下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下面几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝50°，则圆周角∠ACB的度数是（　　）
A．50° B．25° C．100° D．30°
6．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3
C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3
7．（3分）反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
8．（3分）如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠AOC＝50°，则∠B大小为（　　）
A．25° B．30° C．40° D．65°
9．（3分）在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，那么AC边的长是（　　）
A．6 B．2 C．3 D．2
10．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）2018年中央预算用于教育、医疗卫生、社会保障、就业等方面的民生支出达到7300亿元，用科学记数法表示为　 　元．
12．（3分）分解因式：ax2﹣4ax+4a＝　 　．
13．（3分）计算：+＝　 　．
14．（3分）分式方程的解为：x＝　 　．
15．（3分）“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了　 　元．
16．（3分）二次函数y＝x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是　 　．
17．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是　 　．
18．（3分）已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为　 　．
19．（3分）等边△ABC所在平面内有一点D，BD＝2、CD＝4、且∠BDC＝120°，射线BD交直线AC于点E，则AE＝　 　．
20．（3分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，tan∠ABC＝2，以AC为腰的等腰△ADC中，AC＝AD，且tan∠ADC＝，连接BD．则BD的长为　 　．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题-27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝2tan60°﹣4sin30°．
22．（7分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上、
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），△ABC的面积为5．且△ABC中有一个角为45°（画一个即可）
（2）在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的面积为5，且∠ADB＝90°（画一个即可）．
23．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A、B、C、D四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该课题研究小组共抽查了　 　名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B级所占的百分比b＝　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有400名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C级以上，含C级）约有　 　名．
24．（8分）已知：四边形ABCD中，AC为对角线，∠DAC＝∠BCA，且AD＝BC，CD⊥AD于点D．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，点E和点F分别为边AB和边BC的中点，连接DE、DF分别交AC于点G和点H，连接BG，在不连接其它线段的情况下，请写出所有面积是△FHC面积的2倍的所有三角形．
25．（10分）六?一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装，每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？
（2）该服装A品牌每套售价为130元，B品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A品牌的服装多少套？
26．（10分）AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC于点G，且∠DGF＝∠CAB．
（1）如图1．求证：DE⊥AB．
（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝2DE．
（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．
27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx+2k与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且OB＝2OA．
（1）如图1．求直线AB的解析式．
（2）如图2．点C在点A左侧的x轴上，点D在线段OB上（不与点B和点O重合），CD交AB于点E，且tan∠DCO＝，设点E的横坐标为t，△ACE的面积为s，求s与t之间的函数关系式．
（3）如图3，当s＝5时，过点C作CF∥AB交y轴于点F，过点E作EG⊥CD交CF于点G，求点G的坐标．

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市南岗区虹桥中学九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.填选题（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：∵“正”和“负”相对，小方先向东走了8米，记作“+8米”，
∴向西走了10米，记作﹣10米．
∴+8+（﹣10）＝﹣2．
故选：B．
2．【解答】解：A、（a5）2＝a10，故本选项错误；
B、a+2a＝3a，故本选项错误；
C、﹣3+1＝﹣2，故本选项错误；
D、a6÷a2＝a4，故本选项正确；
故选：D．
3．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
4．【解答】解：如图所示：．
故选：C．
5．【解答】解：∵∠AOB＝50°，
∴∠ACB＝∠AOB＝25°．
故选：B．
6．【解答】解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．
故选：D．
7．【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3．
故选：D．
8．【解答】解：∵CD⊥AB，
∴，
∴∠D＝∠AOC＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°；
故选：D．
9．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝6．
∴AC＝＝2．
故选：B．
10．【解答】解：（A）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
（B）∵DE∥BC，
∴，故B错误；
（C）∵DE∥BC，
，故C正确；
（D）∵DE∥BC，
∴△AGE∽△AFC，
∴＝，故D错误；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．【解答】解：7300亿＝7.3×1011，
故答案为：7.3×1011．
12．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
13．【解答】解：原式＝2+3＝；
故答案为：5．
14．【解答】解：方程两边同乘以（x﹣3）（x﹣1），
得x（x﹣1）＝（x﹣3）（x+1），
解得x＝﹣3，
将x＝﹣3代入（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
所以原方程的解为：x＝﹣3．
15．【解答】解：根据题意，节省了140×（1﹣80%）＝28元．
16．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8，
∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．
故答案为：（3，﹣8）．
17．【解答】解：
∴一共有12种情况，有2种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是 ＝．
故答案为．
18．【解答】解：∵l＝，
∴n＝，
故答案为：160°．
19．【解答】解：①当点D在△ABC外部时，如图1．
将线段BD绕点B逆时针旋转60°到BD'，连接DD'，AD'，DD'与BC交于点G．
∵∠D'BD＝60°，BD＝BD'，
∴△BDD'为等边三角形，
∴BD＝BD'＝DD'＝2，∠BD'D＝∠D'BD＝BDD'＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝D'BD，
∴∠ABD'＝∠CBD，
∴△ABD'≌△CBD（SAS），
∴∠AD'B＝∠CDB＝120°，AD'＝CD＝4，
∴∠AD'B+BD'D＝180°，
∴点A、D'、D在同一直线上，
∵∠D'BD+∠BDC＝180°，
∴BD'∥CD，
△BD'G∽△CDG，
∴，
∴D'G＝DG，
∵DD'＝2，
∴D'G＝，DG＝，
∴AG＝AD'+D'G＝4+＝，
在△ABG与△ADB中，∠ABG＝∠ADB＝60°，∠BAD＝GAB，
∴△ABG∽△ADB，
∴，
AB2＝AD?AG＝（AD'+DD'）?AG＝（4+2）×＝28，
∴AB＝2，AC＝BC＝
在△BCE与△BDC中，
∠BCE＝∠BDC＝120°，∠BEC＝∠BCD，
∴△BCE∽△BDC，
∴，，
∴CE＝4，
∴AE＝AC+CE＝2+4＝6
②当点D在△ABC内部时，如图2．
将线段BD绕点B逆时针旋转60°到BD'，连接DD'、AD'．
∵∠D'BD＝60°，BD＝BD'，
∴△BDD'为等边三角形，
∴BD＝BD'＝DD'＝2，∠BD'D＝∠D'BD＝BDD'＝60°，
∴∠BDC+BDD'＝180°，
∴点B、D、E在同一直线上，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝D'BD，
∴∠ABD'＝∠CBD，
∵BD'＝BD＝2，BA＝BC
∴△ABD'≌△CBD（SAS），
∴∠AD'B＝∠CDB＝120°，AD'＝CD＝4，CD'＝CD+DD'＝4+2＝6，
∴∠AD'B+∠D'BD＝180°，
∴BD∥AD'，
∴△CDE∽△CD'A，
∴，
，DE＝，
∴BE＝BD+DE＝2+＝，
在△EDC与ECB中，
∵∠EDC＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°＝∠ECB，∠DEC＝∠CEB，
∴△EDC∽ECB，
∴，
EC2＝ED?EB＝＝，
EC＝，
∵DE∥AD'，
∴，
，
∴AE＝．
故答案为．
20．【解答】解：作AE⊥BC于E，AH⊥CD于H，作∠PAB＝∠DCB，∠PBA＝∠DBC，PG⊥BD，
∵AB＝2，tan∠ABC＝2，
∴tan∠ABC＝＝2，
∴AE＝2BE，
∵AB2＝AE2+BE2，即（2）2＝5BE2，
∴BE＝2，
∴AE＝4，EC＝BC﹣BE＝3﹣2＝1，
∴AC＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，DH＝HC＝DC，
∵tan∠ADC＝，
∴tan∠ADC＝＝，
∴DH＝2AH，
∵AD2＝AH2+DH2，即17＝5AH2，
∴AH＝，
∴DC＝4AH＝，
作∠PAB＝∠DCB，∠PBA＝∠DBC，PG⊥BD，
∴△PAB∽△DBC；
∴
∴，
∴PA＝，
∵tan∠ABC＝2，tan∠ADC＝，
∴∠ABC+∠ADC＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝270°，，
∴∠PAD＝360°﹣270°＝90°，
∴PD＝＝，
∵∠PAB＝∠DCB，
∴∠PAD＝∠ABC，
∴，
∴△PBD∽△ABC，
∴；
∴，
∴BD＝
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25题-27题各10分，共60分）
21．【解答】解：÷﹣
＝
＝
＝，
当x＝2tan60°﹣4sin30°＝2﹣4×＝2时，原式＝．
22．【解答】解：
23．【解答】解：读图可知：
（1）A级有20人，占25%，则共抽查了：20÷25%＝80（人）；
B级占1﹣25%﹣30%﹣5%＝40%；
（2）C级占30%，有80×30%＝24（人）．如图：
（3）80人中，有20+37+24＝76（人）达标，据此可推测九年级共有400名同学，应有400×＝380（人）达标．
24．【解答】（1）证明：∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴?ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∵点E和点F分别为边AB和边BC的中点，
∴AB＝CD＝2AE，AD＝BC＝2CF，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△AEG∽△CDG，△CFH∽△ADH，
∴，＝＝，
∴＝＝，S△CDH＝2S△CHF，
∴AG＝GH＝CH，
∴S△ADG＝S△DGH＝S△CDH，
在△ABG与△CDH中，，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴S△ABG＝S△CDH，
∴S△ADG＝S△DGH＝S△CDH＝S△ABG＝2S△CHF，
∴面积是△FHC面积的2倍的所有三角形是△ADG，△DGH，△CDH，△ABG．
25．【解答】解：（1）设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为（x﹣25）元，由题意得：
＝×2，
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原分式方程的解，
x﹣25＝100﹣25＝75，
答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
（2）设购进A品牌的服装a套，则购进B品牌服装（2a+4）套，由题意得：
（130﹣100）a+（95﹣75）（2a+4）＞1200，
解得：a＞16，
答：至少购进A品牌服装的数量是17套．
26．【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵∠DGF＝∠CAB，∠DGF＝∠BGE，
∴∠BGE＝∠CAB，
∴∠BGE+∠CBA＝90°，
∴∠GEB＝90°，
∴DE⊥AB；
（2）如图2，连接OD交BC于H，连接BD，
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DE⊥AB，OD＝OB，
∴S△OBD＝OD×BH＝OB×DE，
∴BH＝DE，
∴BC＝2DE．
（3）如图3，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，
∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，
∴△BFR∽△BAC，
∴，
∵AC＝，
∴FR＝，
∴CF＝FR＝，
∴AF＝，tan∠FAR＝tan∠FAC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则AF＝AS+SF＝3t＝，t＝，
∴OF＝t＝．
27．【解答】解：（1）设A（a，0）（a＜0）
∴OB＝2OA＝﹣2a，即B（0，﹣2a）
∵直线y＝kx+2k过点A、B
∴ 解得：
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4
（2）过点E作EH⊥x轴于点H，
由（1）可得A（﹣2，0）
∵E在线段AB上，xE＝t
∴﹣2＜t＜0，OH＝﹣t，EH＝yE＝2t+4
∵在Rt△CEH中，tan∠DCO＝
∴CH＝3EH＝6t+12
∴CO＝CH+HO＝6t+12﹣t＝5t+12
CA＝CO﹣AO＝5t+12﹣2＝5t+10
∴S＝AC?EH＝（5t+10）（2t+4）＝5t2+20t+20
（3）过G作GM⊥y轴于点M，过E作EN⊥GM于点N，过E作EP∥x轴
∴∠PEC＝∠DCO，∠PEN＝90°
∵EG⊥CD
∴∠CEG＝90°，即∠CEG＝∠PEN
∴∠CEG﹣∠PEG＝∠PEN﹣∠PEG
即∠PEC＝∠GEN＝∠DCO
∴tan∠DCO＝tan∠GEN＝
∵S＝5时，5t2+20t+20＝5，解得：t1＝﹣1，t2＝﹣3（舍去）
∴E（﹣1，2），CO＝5t+12＝7
∴C（﹣7，0）
∵CF∥AB，设直线CF解析式为y＝2x+b
2×（﹣7）+b＝0 解得：b＝14
∴直线CF解析式为y＝2x+14
设G（m，2m+14）（﹣7＜m＜0）
∴GN＝﹣1﹣m，NE＝2m+14﹣2＝2m+12
∴
解得：m＝﹣3
∴G（﹣3，8）