课件30张PPT。第1课时 抛物线的几何性质第二章 2.3.2 抛物线的几何性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 抛物线的几何性质x≤0y≤0(0,0)1知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1.椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形.( )
2.抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关.( )
3.抛物线只有一条对称轴和一个顶点.( )
4.抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2题型探究PART TWO例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.题型一 由抛物线的几何性质求标准方程解 由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，所以|AB|＝2|m|.引申探究
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2√解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.所以点A的坐标为(2p,2p)，同理可得B(2p，－2p)，反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆 短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程.∴抛物线的对称轴为x轴.
设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，∴抛物线的方程为y2＝20x或y2＝－20x.例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；题型二 抛物线的焦点弦问题解 因为直线l的倾斜角为60°，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.所以|AB|＝5＋3＝8.(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.引申探究
本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.解 由抛物线定义|AA1|＝|AF|，得∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，
∴∠OFA1＝∠AA1F，
∴∠OFA1＝∠AFA1，
同理得∠OFB1＝∠BFB1，
∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°.反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.跟踪训练2 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________________.x＋y－1＝0或x－y－1＝0解析 因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意.
所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1).所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.3达标检测PART THREE1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y解析 设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.√123452.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为12345√3.已知过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为____.解析 由y2＝8x，得p＝4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，10123454.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________.(要求填写合适条件的序号)②⑤12345解析 由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，
所以②符合.设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也符合.
而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意.
所以应填②⑤.123455.求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；12345因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴.12345故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
3.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.课堂小结KETANGXIAOJIE课件53张PPT。第2课时 抛物线的几何性质的应用第二章 2.3.2 抛物线的几何性质学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握抛物线的几何特性.
2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点 直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线的位置关系与公共点个数有两个或一个有且只有一个无2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线
公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.两一没有平行或重合一1.若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切.( )
2.直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝ ·|x1－x2|＝x1＋x2＋p. ( )
3.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×2题型探究PART TWO例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？题型一 直线与抛物线的位置关系消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2).
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1).
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点.(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点.
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点.反思感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪训练1 平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；解 x2＝4y.(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；当x0＝2时，取得最小值，此时P(2,1).(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.
所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点.例2 已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程；题型二 与弦长中点弦有关的问题所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)求直线AB的方程.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率.跟踪训练2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4).当k＝0时，y＝1，显然不成立.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0. ①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∵P1P2的中点为(4,1)，∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).∴所求直线的斜率k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题
例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；题型三 抛物线性质的综合应用多维探究解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.(2)求证：直线AB过定点.所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，即直线AB过定点(2p,0).反思感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.证明 方法一 设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.
把直线AB的方程y－2＝k(x－4)与y2＝x联立得
y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一个解，∵kAC＝－k，由题意得kAB＝－kAC，命题角度2 对称问题
例4 在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.解 因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，
所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把直线AB的方程代入抛物线方程，得y2＋4ky－4m＝0，
设AB的中点坐标为M(x0，y0)，因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，
所以Δ＝16k2＋16m>0，解得－1则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.因为该点在直线x＋y＝0上.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN与抛物线有关的最值问题典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，素养评析 (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决.
二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得.
(2)探究运算思路，选择运算方法，能提升数学运算能力，同时促进数学思维发展，形成良好的数学运算素养.3达标检测PART THREE1.过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点.
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.√12345消去y，得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.2.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于12345√解析 如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，3.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为12345√∴抛物线C：y2＝8x.
设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2， ①
将①与y2＝8x联立，得y2－8ky＋24k＋16＝0， ②
令Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0，12345123454.过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_____.1612345同理可得N的横坐标x2＝4k2，可得x1x2＝16.5.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝ ，求此抛物线的方程.1234512345解 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.12345∴a＝4或a＝－36.
∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.课堂小结KETANGXIAOJIE
