2020版高中数学新人教B版选修1-1第二章圆锥曲线与方程微专题突破二离心率的求法课件
文档属性
| 名称 | 2020版高中数学新人教B版选修1-1第二章圆锥曲线与方程微专题突破二离心率的求法课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-29 15:35:56 | ||
图片预览
文档简介
课件41张PPT。专题突破二 离心率的求法第二章 圆锥曲线与方程一、以渐近线为指向求离心率
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________.思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可.解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为√二、以焦点三角形为指向求离心率
例2 如图，F1和F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得 的值.√解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∵|PF1|＋|PF2|＝2a，方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，三、寻求齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E： (a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是____.思维切入 通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，
再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.2|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去).点评 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得 的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解.跟踪训练3 已知椭圆 (a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为_______.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围[2，＋∞)故离心率e的取值范围是[2，＋∞).√由于直线与双曲线相交于两个不同的点，
则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，
所以a2∈(0,1)∪(1,2).五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.又a－c<|PF2|(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c].
(2)双曲线的焦半径：
①点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞).√解析 ∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，根据点P在双曲线的右支上，12345√针对训练ZHENDUIXUNLIAN67123456712345√67123453.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为√6712345解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，6712345√6712345解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可.故选B.675.过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.123456712345676.已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为____.12345解析 因为|MF2|＝7|MF1|，
所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，
即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立.677.已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则 的最小值是________.1234567解析 如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，由圆x2＋y2＝b2，
可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
即|PF2|＝2a－2b.
又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，12345671234567
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________.思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可.解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为√二、以焦点三角形为指向求离心率
例2 如图，F1和F2分别是双曲线 (a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解.解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，方法二 如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得 的值.√解析 方法一 如图，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∵|PF1|＋|PF2|＝2a，方法二 (特殊值法)：
在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，三、寻求齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E： (a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是____.思维切入 通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，
再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.2|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去).点评 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得 的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解.跟踪训练3 已知椭圆 (a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为_______.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围[2，＋∞)故离心率e的取值范围是[2，＋∞).√由于直线与双曲线相交于两个不同的点，
则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，
所以a2∈(0,1)∪(1,2).五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.又a－c<|PF2|
(2)双曲线的焦半径：
①点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞).√解析 ∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，根据点P在双曲线的右支上，12345√针对训练ZHENDUIXUNLIAN67123456712345√67123453.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为√6712345解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，6712345√6712345解析 由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可.故选B.675.过双曲线C： (a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.123456712345676.已知双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为____.12345解析 因为|MF2|＝7|MF1|，
所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，
即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立.677.已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则 的最小值是________.1234567解析 如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，由圆x2＋y2＝b2，
可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，
即|PF2|＝2a－2b.
又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，12345671234567