1.2.1 函数的概念（一）同步学案

必修1学案 §1.2.1 函数的概念（一）
班级 姓名 .
学习目标
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
2. 了解构成函数的要素；
学习过程
课前准备
复习：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、新课导学
※ 学习探究：：函数模型思想及函数概念
（预习教材P15~ P17，找出疑惑之处）
讨论：书中三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：.
新知：函数定义：
设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction），记作：.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
新知：区间的概念
{x|axb}
{x|a{x|ax{x|a区间类型
区间表示
数轴表示
自学检测
1、下图中能表示函数关系的是 ．

图中(1)(2)( 3) (4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有_____．

课堂反思：定义域与集合A的关系是 ， 值域F与集合B的关系是 ；
构成函数的三要素是 、 、 .
例1、已知函数．
（1）求函数的定义域；（2）求，的值；（3）当时，求，的值．
变式1、求下列函数的定义域：
(1)y＝； 　(2)y＝； 　(3)y＝－＋.
课堂反思：掌握几类常见函数的定义域的求解：
（1）如果是整式，那么函数的定义域是实数集；
（2）如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合；
分式：，则；
（3）如果是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
偶次根式：，则；
（4）零次幂式：，则.
（5）如果是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）；
（6）满足实际问题有意义的范围．
例2、下列函数中哪个与函数相等？答案：_______________.
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式2、下列哪一组中的两个函数相等？
（1），； （2），；
（3），； （4）和.；
（5）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数.
课后作业
基础训练题
1、函数y＝的定义域是(　　)
A．R B．{0} C．{x|x∈R，且x≠0} D．{x|x≠1}
2、下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1 C．x－2y＝6 D．x＝
3、A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)

4、下列集合A到集合B的对应f是函数的是(　　)
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
5、下列各组函数表示相等函数的是(　　)
A．y＝与y＝x＋3(x≠3) B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
6、设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是(　　)
A．? B．?或{1} C．{1} D．?或{2}
7、若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________________________________．
8、函数y＝x2－2的定义域是{－1,0,1,2}，则其值域是________________________________．
9、已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值．
10、求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；　 (2)f(x)＝＋＋4；　 (3)f(x)＝.
能力提高题
11、已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 010)＋f＋f＋…＋f.
12、已知函数y＝(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
必修1学案 §1.2.1 函数的概念（一）参考答案
1、解析：选C. 要使有意义，必有x≠0，即y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
2、解析：选A. 一个x对应的y值不唯一．
3、解析：选B.
A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
4、解析：选A.
按照函数定义，选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义，只有选项A符合函数定义．
5、解析：选C. A、B与D对应法则都不同．
6、解析：选B.
由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1,2}，则A＝{－1,1，－，}或A＝{－1,1，－}或A＝{－1,1，}或A＝{－1，，－}或A＝{1，－，}或A＝{－1，－}或A＝{－1，}或A＝{1，}或A＝{1，－}．所以A∩B＝?或{1}．
7、解析：由题意3a－1＞a，则a＞.
答案：(，＋∞)
8、解析：当x取－1,0,1,2时，y＝－1，－2，－1,2，
故函数值域为{－1，－2,2}．
答案：{－1，－2,2}
9、解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
10、解　(1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2.
∴f(x)＝的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)由，得≤x≤.
∴f(x)＝＋＋4的定义域是.
(3)由，得
∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
11、解　(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f＝＝，
f(3)＝＝，f＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1，证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知：f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，…，
f(2 010)＋f＝1，
∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋＝2 009＋＝.
12、解：函数y＝(a＜0且a为常数)．
∵ax＋1≥0，a＜0，∴x≤－，
即函数的定义域为(－∞，－]．
∵函数在区间(－∞，1]上有意义，
∴(－∞，1]?(－∞，－ ]，
∴－≥1，而a＜0，∴－1≤a＜0.
即a的取值范围是[－1,0)．