1.3.1 函数的单调性（二）同步学案

必修1学案 §1.3.1 函数的单调性（二）

班级 姓名
学习目标
1、简单复合函数单调性的判断方法； 2、单调函数的简单性质．
学习过程
一、课前准备
复习1：回顾增函数、减函数的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1① 都有＿＿＿＿＿＿＿，那么就说f(x)在区间D上是增函数
② 都有＿＿＿＿＿＿＿，那么就说f(x)在区间D上是减函数
复习2：判断函数单调性的方法有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
复习3：回顾证明函数单调性的方法和步骤．
二、新课导学
新知一：复合函数的单调性
1、复合函数的定义：对于两个函数和，通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称它为函数和的复合函数，记作. 例如由与复合.
2、判断复合函数单调性的步骤：
① 求函数定义域；
② 根据“同增异减”原则写出复合函数单调区间和相应的单调性
※ 典型例题
例1、讨论函数的单调性．
变式1、求函数的单调区间和单调性．
新知二：函数单调性的应用
例2、已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
变式2、已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[－4，4]上单调，求实数a的取值范围．
新知三：函数单调性的简单应用
例3、已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)三、总结提升
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义；
2. 判断函数单调性的方法：图象法、定义法．
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.
课后作业
基础训练题
1、已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)C．f(2)2、下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为(　　)
A．y＝2x－7 B．y＝－
C．y＝－x2＋4x＋1 D．y＝x2－4x－3
3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，40] B．[40,64] C．(－∞，40]∪[64，＋∞) D．[64，＋∞)
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
5．写出下列函数的单调区间．
(1)y＝|x|＋1 增区间：________ ________；减区间： .
(2)y＝－x2＋ax增区间：________ ________；减区间： .
(3)y＝|2x－1|增区间：________ ________；减区间： .
(4)y＝－增区间：________ ________；减区间： .
6．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)21世纪教育网版权所有
7、函数y＝－x2－10x＋11在区间[－1,2]上的最小值是________．
8、求函数y＝的单调区间．
能力提高题
9、函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
10、已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)证明函数f(x)为增函数． (2)求f(x)的最小值．
必修1学案 §1.3.1 函数的单调性（二）参考答案
1、 答案 B
解析　因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．
又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
故f(1)2、答案　C
3、答案：C
解析：只需f(x)＝4x2－kx－8的对称轴x＝相应值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8，
∴k≤40或k≥64.
4、答案　D
解析　结合图象，由f(x)在[1,2]上为减函数知a≤1，
由g(x)在[1,2]上是减函数知a>0.∴05、答案　(1)增区间[0，＋∞)，减区间(－∞，0]；
(2)增区间(－∞，]，减区间[，＋∞)；
(3)增区间[，＋∞)，减区间(－∞，]；
(4)增区间 (－∞，－2)和(－2，＋∞)，无减区间．
6、答案　－1≤x<
解析　由题设得，即－1≤x<.
7、答案　－13
解析　函数y＝－x2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36在[－1,2]上为减函数，当x＝2时，ymin＝－13.
8、解　函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．
当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，
所以(－∞，－1)是y＝的递增区间；
当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，
所以(－1，＋∞)是y＝的递减区间．
综上知，函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．
9、A　[该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
10、解　将函数式化为：f(x)＝x＋＋2
①任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－)．
∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0，
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
②当x＝2时，f(x)有最小值.