1.3.1 函数的单调性（一）同步学案

必修1学案 §1.3.1 函数的单调性（一）
班级 姓名
学习目标
1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2. 能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性；
3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
探究任务：单调性相关概念
思考：根据、的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
新知一：函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1新知二：函数的单调区间
如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.
反思：
① 图象如何反映单调增、单调减？
② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？
③ 函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
自学课本例1，完成《自学检测》
※ 自学检测
1、根据下图说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，
函数是增函数还是减函数．
※ 典型例题
例1、试用单调性定义证明函数在上是增函数.
小结：
① 比较函数值的大小问题，运用作差比较法变成判别代数式的符号；
② 用定义证明函数单调性的步骤：
第一步：取值：设x、x∈（为给定区间），且；
第二步：作差与变形： ，变形至容易判断符号；
第三步：定号：判断差的符号；
第四步：下结论：若符号为负（），则函数为增函数，若符号为正（），则函数为减函数．
变式1、试用单调性定义证明函数在上是减函数。
变式2、证明：函数f(x)＝－在定义域上是减函数．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 增函数、减函数、单调区间的定义； 2. 判断函数单调性的方法：图象法、定义法．
3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.
※ 当堂检测
1、函数的单调增区间是（ ）
A. B. C. R D.不存在
2、如果函数在R上单调递减，则（ ）
A. B. C. D.
3、在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4、函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
5、设是定义在区间上的函数．如果在区间上递减，在区间上递增，试画出的一个大致图象，从图像上可以发现是函数的一个＿＿＿＿＿＿＿．
课后作业
基础训练题
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝－x2 D．y＝x2－2x－3
2．设函数f(x)＝(1－2a)x＋b是R上的增函数，则有(　　)
A．a＜ B．a＞ C．a＜－ D．a＞－
3．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－2]时是减函数，x∈[－2，＋∞)时是增函数，则f(1)等于(　　)
A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的常数
4．函数f(x)＝在R上是(　　)
A．减函数 B．增函数 C．先减后增 D．无单调性
5、如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0
6、设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是_________________．
7．若函数y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调______函数．21世纪教育网版权所有
8．用函数单调性的定义证明函数f(x)＝－x2＋2x在上的单调递增．
9．用函数单调性的定义证明函数在上是增函数.
能力提高题
10．若函数f(x)＝在R上为增函数，求实数b的取值范围．
11．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
?

必修1学案 §1.3.1 函数的单调性（一）参考答案
1、答案：　B
解析：　画图可知，y＝x2＋1在(0，＋∞)上为增函数，从而在(0,2)上为增函数．
2、答案：　A
解析：　由f(x)＝(1－2a)x＋b是R上的增函数，得1－2a＞0，即a＜.
3、答案：　B
解析：　由题意知＝－2，∴m＝－8 ∴f(x)＝2x2＋8x＋3 f(1)＝2＋8＋3＝13.
4、答案：　B
解析： 画出函数图形得出结果
5、答案：C
解析：由增函数的定义知x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，∴A，B，D都正确，故选C.
6、答案：　(0，＋∞)
解析：　由题意得m－1＜2m－1 ∴m＞0.
7、答案　递减
解析　由已知得a<0，b<0，y＝ax2＋bx对称轴为x＝－<0，开口向下，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调递减函数．
8、解析：用定义加以证明．
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1＜x2.
则f(x1)－f(x2)＝(－x＋2x1)－(－x＋2x2)＝2(x1－x2)－(x1＋x2)(x1－x2)
＝(x1－x2)[2－(x1＋x2)]
∵x1＜x2＜1.∴x1－x2＜0，x1＋x1＜2. ∴2－(x1＋x2)＞0，
∴(x1－x2)[2－(x1＋x2)]＜0 即f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增．
9、证明：设，而，
由，得，
即，所以函数在上是增函数.
10、解　由题意得，解得1≤b≤2①
[注释]　①本题在列不等式组时很容易忽略b－1≥f(0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f(x)在整个定义域上的单调性．
[方法探究]　解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子．
11、解　在定义域内任取x1，x2，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵a>b>0，∴b－a<0，且x2－x1>0.
只有当x1当x10，则f(x1)>f(x2)．
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
函数的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)．