1.3.1 函数的最值 同步学案

必修1学案 §1.3.1 函数的最值
班级 姓名 .
学习目标
理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.
会求一些简单函数的最大(小)值
学习过程
一、课前准备
（预习教材P30~ P32，找出疑惑之处）
复习1：函数的最小值为多少？
函数的最大值为多少？
复习2：回顾增函数、减函数的定义及判别方法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数
最高点
最低点
最大值
最小值
,
,
讨论体现了函数值的什么特征？
新知：【课本第30页】设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
① 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
② 存在x0∈I，使得f(x0) = M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.
试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
反思：
一些什么方法可以求最大（小）值？
※ 典型例题
1、利用函数的单调性求函数的最值
例1、已知函数，求函数的最大值和最小值．
【小结】函数最值与函数单调性的关系：
(1) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
(2) 若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为_______．
总之，函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值中，图象的最高点处取到＿＿＿＿，最低点处取到＿＿＿＿．
变式1、【选讲】求的最大值和最小值.
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值
例2、已知函数f(x)=2x2-5x+5，写出函数在下列区间上的最大值与最小值.
(1) [-2,1] (2) [3,6] (3) [1,3]
3、利用图象求函数的最大（小）值
例3、求函数的最值。
【小结】先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.
三、总结提升
※ 学习小结
1、函数最大（小）值定义；.
2、求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法.
当堂检测
1、函数的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2、函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3、函数的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4、已知函数的图象关于y轴对称，且在区间上，当时，有最小值3，则在区间上，当 时，有最 值为 .
5、函数的最大值为 ，最小值为 .
课后作业
基础训练题
1．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是(　　)
A．1 B．0 C. D．不存在
2．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．不存在
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B. C. D．－
4．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________．
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
8．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．
9．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大、最小值．
10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
能力提高题
11．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
必修1学案 §1.3.1 函数的最值参考答案
1、解析：选B.由函数f(x)＝x2在[0,1]上的图象(图略)知，
f(x)＝x2在[0,1]上单调递增，故最小值为f(0)＝0.
2、解析：选A.因为函数y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.对称轴为x＝1，开口向下，故在[1,2]上为单调递减函数，所以ymax＝－1＋2＝1.
3、解析：选B.函数y＝在[2,3]上为减函数，
∴ymin＝＝.
4、解析：选C.设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元，故选C.
5、解析：选C.f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，
∴f(0)＝－2，即a＝－2.
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
6、解析：∵x∈N*，∴x2≥1，
∴y＝2x2＋2≥4，
即y＝2x2＋2在x∈N*上的最小值为4，此时x＝1.
答案：4
7、解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，
又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴1答案：(1,3]
8、解析：∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2, 4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
答案：　
9、解：方法一：数形结合，画出函数的图像，由图像得出函数最大值和最小值；（略）
方法二：利用分段函数单调性的求法如下：
当－≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；
当1＜x≤2时，由f(x)＝，得f(2)≤f(x)＜f(1)，
即≤f(x)＜1.
综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.
10、解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12.
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50，
整理得
f(x)＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以，当x＝4050时， f (x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．
11、解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a＜0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a＜1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a＞2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上所述，当a＜0时，f (x) min＝－1，f(x)max＝3－4a；
当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；
当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；
当a＞2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.