1.3.2 函数的奇偶性（二）同步学案

必修1学案 §1.3.2 函数的奇偶性（二）
班级 姓名
学习目标：掌握函数的奇偶性的定义，证明及其简单应用。
学习过程
知识点梳理
1、函数的奇偶性
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个：
① 都有，那么就说f(x)为奇函数
② 都有，那么就说f(x)为偶函数
2、函数奇偶性的性质：
（1）奇、偶函数的定义域都关于原点对称；
（2）奇函数的图象关于原点对称，且在原点两侧的单调性相同；
（3）偶函数的图象关于轴对称，且在原点两侧的单调性相反；
（4）图象关于原点对称的函数为奇函数，图象关于轴对称的函数为偶函数；
（5）在公共定义域内：
① 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
② 两个偶函数的和、积都是偶函数；
③ 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
典型例题
题型一：函数奇偶性的运用
例1、设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如右下图所示，则不等式f(x)<0的解集是____________．
变式1、（1）已知函数是定义在上的奇函数，则＿＿．
（2）若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A.  B.  C.  D．1
题型二：分段函数奇偶性的应用
例2、设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且x0时，f(x)＝x2＋x+1，求f(x)．
变式2、已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，求f(x).
题型三：函数奇偶性与单调性综合应用
例3、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
变式3、已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式； （2）用定义证明上是增函数．
课后作业
基础训练题
1、设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)2、已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
3、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
4、f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．2x－1 B．－2x＋1
C．2x＋1 D．－2x－1
5、偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小关系(　　)
A．f(a－2)C．f(a－2)>f(b＋1) D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定
6、已知f(x)为奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x＋2，则f(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－2) B．(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
7、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，3)∪(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．(3，＋∞) D．(－3,3)
8、函数f(x)＝x3＋ax， f (1)＝3，则f(－1)＝________.
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.
10、已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2) ＝________.
11、设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．

能力提高题
12、若f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时f(x)＝x－1，则f(x－1)＜0的解集是_______．
13、设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)必修1学案 §1.3.2 函数的奇偶性（二）
1、[答案] A　[解析]　∵f(x)是偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(π)>f(－3)>f(－2)．
2、[答案] D　[解析]　∵f(－3)＝f(3)，
∴f(3)∴函数f(x)在x∈[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)，故选D.
3、[答案]　D
[解析]　奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，
＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
4、[答案]　D
[解析]　x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.
5、[答案]　A
[解析]　由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，
因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)6、[答案]　C
[解析]　如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，
其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，
∴f(x)>0时，－22.
7、[答案]　D
[解析]　∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，
故03时，f(x)>0，故使f(x)<0成立的x∈(－3,3)．
[点评]　此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．
8、[答案] －3
[解析]　显然f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
9、[答案] －1
[解析]　∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，
且f(2)＝22－3＝1.
∴f(－2)＝－f(2)＝－1，
∴f(－2)＋f(0)＝－1.
10、[答案] －10
[解析]　令F(x)＝f(x)＋4＝ax3＋bx，显然F(x)＝ax3＋bx为奇函数，F(－2)＝f(－2)＋4＝6，F(2)＝f(2)＋4＝－6，f(2)＝－10.
11、解：由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0.
12、[答案] {x|0＜x＜2}
[解析]　偶函数的图象关于y轴对称，先作出f (x)的图象，
如图所示，由图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x＜1}，
∴f(x－1)＜0的解集为{x|0＜x＜2}．
13、解　由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
∵2a2＋a＋1＝2(a＋)2＋>0，
2a2－2a＋3＝2(a－)2＋>0，
且f(2a2＋a＋1)∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，
即3a－2>0，解得a>.