1.3.2 函数的奇偶性（一）同步学案

必修1学案 §1.3.2 函数的奇偶性（一）

班级 姓名
学习目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义；
2、学会判断函数的奇偶性；
3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.
学习过程
一、课前准备
复习1：指出下列函数的单调区间及单调性并填空：
（1）； （2） （3）； （4）


图1 图2 图3 图4
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
2
…
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
思考1：观察图1和图2的函数图像有什么共同特征？如何用解析式来描述这个特征？
二、新课导学
※探究任务：奇函数、偶函数的概念（预习教材P33~ P36，找出疑惑之处）
新知：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，
都有，那么函数叫偶函数（even fun_ction）.
思考2：观察图1和图2的函数图像有什么共同特征？如何用解析式来描述这个特征？
试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd fun_ction）的定义.：
一般地，对于函数定义域内的任意一个x，
都有 ，那么函数叫 （odd fun_ction）
※反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.
自学检测
1、已知是偶函数，是奇函数，试将下图补充完整.

2、判别下列函数的奇偶性：
（1）； （2）； （3）； （4）.
小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算，并与进行比较.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；
2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.
3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.
※ 知识拓展
定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.
当堂检测
1、已知是定义上的奇函数，且在上是减函数. 下列关系式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2、下列说法错误的是（ ）.
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数
3．判别下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝ （2）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； （3）f(x)＝x, x∈[—2,3].
课后作业
课时基础训练题
1、已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
2、下列命题中错误的是(　　)
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y轴一定相交
④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数
A．①②　　 　B．③④ C．①④ D．②③
3、已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．－15 B．15 C．10 D．－10
4、设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上(　　)
A．为减函数，最大值为3 B．为减函数，最小值为－3
C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为3
5、下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝|x—1|
6、若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．不存在
7、若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性为________．
8、如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________.
9、①f(x)＝x2(x2＋2)； ②f(x)＝x|x|； ③f(x)＝＋； ④f(x)＝.
以上函数中的奇函数是______________．
10、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
能力提高题
11、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式。
12、已知奇函数f(x)＝.
(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y＝f(x)的图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
必修1学案 §1.3.2 函数的奇偶性（一）参考答案
1、[答案]　B　 [解析] F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．]
2、[答案]　D [解析]　f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．
3、[答案]　A [解析]　
解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，
∴f(3)＝－15.
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，
∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
4、[答案]　D [解析]　∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3.
5、[答案]　C [解析]　由偶函数，排除A，D；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.
6、[答案]　B [解析]　解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，
∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1.
7、[答案]　奇函数
[解析]　由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，因此g(x)＝ax3＋cx，
∴g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)是奇函数．
8、[答案]　8
[解析]∵f(x)是[3－a,5]上的奇函数，
∴区间[3－a,5]关于原点对称，∴3－a＝－5，a＝8.
9、[答案]　②④
[解析] (1)∵x∈R，∴－x∈R，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R，又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]
即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
10、解　(1)f(－x)＝3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7
＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时f(x)＝x2－1，
此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
11、解：f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，
由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，
f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
12、解　(1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知f(x)
＝，
由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，
解得1