第一章 集合与函数的概念复习学案

必修1学案 第一章 集合与函数的概念复习

班级 姓名
一、集合
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．
(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b?A.
(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
(4)常用数集及其记法．
非负整数集(或自然数集)，记作N；
正整数集，记作N*或N＋；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
2．集合的包含关系．
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作A?B(或B?A)．
集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A?B且B?A，则称A等于B，记作A＝B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB.
(2)简单性质：①A?A；②??A；③若A?B，B?C，则A?C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)．
3．全集与补集．
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.
(2)若S是一个集合，A?S，则?SA＝{x|x∈S且x?A}称S中子集A的补集．
(3)简单性质：
①?S(?SA)＝A；②?SS＝?；③?S?＝S.
4．交集与并集．
(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
5．集合的简单性质．
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；
(2)A∪?＝A，A∪B＝B∪A；
(3)(A∩B)?(A∪B)；
(4)A?B?A∩B＝A；A?B?A∪B＝B；
(5)?S(A∩B)＝(?SA)∪(?SB)，
?S(A∪B)＝(?SA)∩(?SB)．
二、函数
1．函数的概念．
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．21教育名师原创作品
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
3．两个函数的相等．
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
4．区间．
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
5．映射的概念．
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．
6．常用的函数表示法．
(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．
(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
7．分段函数．
若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
8．复合函数．
若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．
三、函数性质
1．单调性．
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：
①若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数．
②若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数．
(4)判断函数单调性的方法步骤．
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形(通常是因式分解和配方)；
④定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；
⑤下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性]．
(5)简单性质．
①奇函数在其对称区间上的单调性相同．
②偶函数在其对称区间上的单调性相反．
③在公共定义域内：
增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数；
减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数；
增函数f(x)－减函数g(x)是增函数；
减函数f(x)－增函数g(x)是减函数．
2．最值．
(1)定义．
最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)是最小值．
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法．
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值．
②利用图象求函数的最大(小)值．
③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：
如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．
如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．
3．奇偶性．
(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．
(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
②确定f(－x)与f(x)的关系．
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
(3)简单性质．
①图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．
②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
典例分析
题型一　集合学习中的注意点剖析
1．注意正确理解、运用集合语言
[例1](1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________；

(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝(　　)
A．(0,1)，(0,2)　　B．{(0,1)，(0,2)} C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
2．注意元素的互异性
[例2]已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．
3．注意空集的特殊性
[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B，求实数p的取值范围．
题型二　对函数三要素的考查
[例4]下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
① ②
③
[例5](1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)
A．(－∞，) B．(，1) C．(－，) D．(－∞，)∪(，1)
(2)已知函数y＝f(x＋1)定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　)
A．[0，] B．[－1,4] C．[－5,5] D．[－3,7]
[例6]求下列函数的值域
①y=3x+2(-1x1) ② ③ ④
题型三　分段函数
[例7]已知f(x)＝，则f()＋f()＝(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．－ B． C． D．－
[例8]函数f(x)＝若f[f(x)]＝1，求x的取值范围．
题型四　函数单调性的证明
[例9]已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
题型五　函数单调性与奇偶性的综合应用
[例10]若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(3)＝0，则xf(x)＜0的解集是(　　)2-1-c-n-j-y
A．{x|－3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜－3或0＜x＜3}
C．{x|x＜－3或x＞3} D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}
题型六　二次函数的单调性
[例11]已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围．
(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；
(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．
题型七 数形结合思想解题
[例12]已知函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数f(x)的值域．
题型八　二次函数的区间最值
[例13]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，求f(x)在[－5,5]上的最大值与最小值．
课后作业
第一章　集合与函数的概念章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．很小的实数可以构成集合 B．集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
C．自然数集N中最小的数是1 D．空集是任何集合的子集
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，则M∩(?UN)等于(　　)
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
3．下列集合不同于其他三个集合的是(　　)
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1}
4．设A＝{x|1A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有(　　)
A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．不能确定
6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
7．已知函数y＝x2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是(　　)
A．[1,2] B． C．[－2，－1] D．[－2，－1]∪{1}
8．已知函数f(x)＝，则f(f(－2))的值是(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－4
9．若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f(－3)＝1，则不等式f(x)<1的解集为(　　)2-1-c-n-j-y
A．{x|x>3或－3C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－310．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象可以是(　　)

11．已知函数f(x)＝，则有(　　)
A．f(x)是奇函数，且f()＝－f(x) B．f(x)是奇函数，且f()＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f()＝－f(x) D．f(x)是偶函数，且f()＝f(x)
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是(　　)
A．最大值为3，最小值－1 B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值 D．既无最大值，又无最小值有
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝＋的定义域为______．
14．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式是____________________．
15．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[－4,4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是________．21教育网
16．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)＋g(x)＝x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝________(填函数解析式)．21cnjy.com
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R．
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
18．(12分)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A?B？若存在，求出对应的a；若不存在，试说明理由；
(2)若A?B成立，求出对应的实数对(a，b)．
19．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．21jy·com
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
21．(12分)为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)．采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0．57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0．5元计算．
(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；
(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：
月份
一月
二月
三月
合计
交费金额
76元
63元
45．6元
184．6元
问小明家第一季度共用电多少度？
22．(12分)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
必修1学案 第一章 集合与函数的概念复习参考答案
1．D
2．D　[?UN＝{1,3,4}，M∩(?UN)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
3．C　[A、B、D都表示元素是1的集合，C表示元素为“x＝1”的集合．]
4．A　[如图所示，
∴a≥2．]
5．C　[如果x＝2与函数y＝f(x)有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x＝2不在y＝f(x)的定义域内．]
6．D　[∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴＝<0，
即或
因为f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，
故f(x)在(－∞，0)上是增函数．
由f(1)＝0知f(－1)＝0，
∴可化为
∴0可化为
∴－17．B
8．C　[∵x＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4．]
9．C　[由于f(x)是偶函数，
∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴当x>0时，f(x)<1即为f(x)∴x>3，当x<0时，f(x)即f(x)∴x<－3，故选C.]
10．A　[由图象可知函数y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数．
f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，F(x)＝f(x)·g(x)＝[－f(－x)]·[－g(－x)]＝F(－x)．
所以函数F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数．
注意到函数y＝f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，
而函数y＝g(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.]
11．C　[由1－x2≠0，得x≠±1，定义域关于原点对称，
f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，
∴f()＝＝＝－f(x)．]
12．B　[作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
]
13．[－1,2)∪(2，＋∞)
解析　由题意知，
∴x≥－1且x≠2．
14．f(x)＝
解析　由题意，得?
∴f(x)＝
15．a≥5或a≤－3
解析　由f(x)的对称轴为x＝1－a，
∴1－a≤－4或1－a≥4
解得a≥5或a≤－3．
16．x　1
解析　由已知f(x)＋g(x)＝x＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝－x＋1，
即－f(x)＋g(x)＝－x＋1．②
由①－②，得f(x)＝x，由①＋②，得g(x)＝1．
17．解　(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵?UA＝{x|x<2或x>8}，
∴(?UA)∩B＝{x|1(2)∵A∩C≠?，∴a<8．
18．解　(1)设存在实数a，使得对任意的实数b，都有A?B，则当且仅当1、2都是A中的元素．
∵A＝{a＋4，a－4}，∴，
这都不可能，∴这样的实数a不存在．
(2)因为A?B成立，于是有
或或或，
解得或或或．
∴实数对为(5,9)、(6,10)、(－3，－7)、(－2，－6)．
19．解　(1)已知f(x)＝ax2＋bx．
由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，
即2a＋b＝0．①
方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等实根，且a≠0，
∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－．
∴f(x)＝－x2＋x．
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋．
显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，ymax＝，x＝2时，ymin＝0．
∴x∈[1,2]时，函数的值域是[0，]．
(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)
＝(－x2＋x)－
＝2x，
∴F(x)是奇函数．
证明如下：
∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，
∴F(x)＝2x是奇函数．
20．解　∵f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2．
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±．
∵a≤0，∴a＝1－．
②当0<<2，即0f(x)min＝f()＝－2a＋2．
由－2a＋2＝3，得a＝－?(0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18．
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±．
∵a≥4，∴a＝5＋．
综上所述，a＝1－或a＝5＋．
21．解　(1)当0≤x≤100时，y＝0．57x；
当x>100时，y＝0．5×(x－100)＋0．57×100＝0．5x－50＋57＝0．5x＋7．
∴所求函数式为
y＝
(2)据题意，
一月份：0．5x＋7＝76，∴x＝138(度)，
二月份：0．5x＋7＝63，∴x＝112(度)，
三月份：0．57x＝45．6，∴x＝80(度)．
所以第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)．
答　小明家第一季度共用电330度．
22．解(1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．