初高中数学衔接学案
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初高中数学衔接学案
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初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1、绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:；或
2、乘法公式：
⑴平方差公式：
⑵立方差公式：
⑶立方和公式：
⑷完全平方公式：，
⑸完全立方公式：
3、分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4、一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论
①当时，方程有唯一解；②当，时，方程无解
③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5、二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6、不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7、一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有两根同号 ③方程有两根异号
④韦达定理及应用：
,
8、函数 （1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当0， O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0， 0时，则经1、3、4象限；当0， 0时，则经1、2、3象限。
④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。
（4）二次函数：
①一般式：()，对称轴是顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值。
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值。
9、图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10、平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做轴或横轴，铅直的数轴叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设，是直角坐标系内的两点，
①若和关于轴对称，则有。②若和关于轴对称，则有。
③若和关于原点对称，则有。④若和关于直线对称，则有。
⑤若和关于直线对称，则有或。
典型例题
一、乘法公式
【例1】计算：．
【例2】已知，，求的值．
二、二次根式
【例3】将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
【例4】试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
【例5】化简：（1）； （2）．
【例6】已知，求的值 ．
三、分式
【例7】若，求常数的值．
【例8】 （1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【例9】设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
四、因式分解
【例10】分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
▲【例11】分解因式：
（1）； （2）．
五、根的判别式
【例12】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3）x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
六、根与系数的关系（韦达定理）
【例13】已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
【例14】已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
【例15】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
七、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
【例16】求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
【例17】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
【例18】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
【例19】求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
八、二次函数的最值
【例20】求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
【例21】当时，求函数的最大值和最小值．
【例22】当时，求函数的取值范围．
【例23】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
【例24】当时，求函数的最小值(其中为常数)．
课后作业 班级 姓名
一、选择题：
1、下列叙述正确的是（ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
2、若是一个完全平方式，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
4、等式成立的条件是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5、若，则＝ （ ）
（A）１ （B） （C） （D）
6、若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
7、计算等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、多项式的一个因式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
10、若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
11、已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
12、下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
13、关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
14、若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
▲15、如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
▲16、已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
17、把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（ ）
（A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）
18、函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（ ）
（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11
二、填空题
19、若，则x=_________；若，则x=_________.
20、如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
21、（1）（ ）；
（2） ；
（3） ．
22、（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
23、比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
24、对任意的正整数n， ()；
25、（1），，则____ ____；
（2）若，则__ __；
26、（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
▲▲▲选择题答案填入此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
▲▲▲填空题答案填入此处：
19、 ； 。
20、 ； 。
21、（1） ；（2） ；（3） 。
22、（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
23、 。
24、 。
25、（1） ；（2） 。
26、（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
三、解答题
27、正数满足，求的值．
28、计算．
29、已知：，求的值．
30、分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）；
▲31、分解因式：x2＋x－(a2－a)．
32、试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
33、已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．
▲34、若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．
35、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
36、如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．
37、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求出对应的二次函数的关系式．
38、设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．
39、已知函数在上的最大值为4，求的值．
▲40、求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．
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参考答案
【例1】解法一：原式===．
解法二：原式===．
【例2】解： ．
【例3】解： （1）； （2）；
（3）．
【例4】解： （1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又 4＞2， ∴＋4＞＋2，
∴＜.
【例5】解：（1）原式
．
（2）原式=，∵，∴， 所以，原式＝．
【例6】解： ∵，
，
∴．
【例7】解： ∵，
∴
解得 ．
【例8】（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）证明：∵＝＝，
又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数，
∴＜．
【例9】解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0， ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
【例10】解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得 ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
【例11】解：（1）==
=．
或
＝＝＝
＝
＝．
（2）=
==．
或
=
=
=．
【例12】解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
， ．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．
（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以，①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
【例13】分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
【例14】分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
【例15】解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4， 由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．
【例16】解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
【例17】分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴，解得a＝－．
∴二次函数的解析式为，即y＝．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
【例18】解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)， ∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
【例19】解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线
x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
【例20】解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，
所以抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
因为二次函数中的二次项系数-1＜0，
所以抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为=，
所以当时，函数有最大值．
【例21】解：作出函数的图象．当时，，当时，．
说明：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
、
【例22】解：作出函数在内的图象．
可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．
【例23】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
【例24】分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．
综上所述：
选择题：
1、D 2、D 3、A 4、C 5、B 6、D 7、C 8、B 9、C
10、D 11、C 12、B 13、C 14、C 15、C 16、B 17、D 18、D
二、填空题：
19、； 20、；或 21、（1）； （2） （3）
22、（1）； （2）； （3） ；（4）． 23、＞ 24、
25、（1） （2）或－ 26、（1）2 （2） （3）6 （4）
三、解答题：
27、解：
28、解：
29、解：4．
30、解：（1）(x＋2)(x＋4) （2）
（3） （4）
31、解：
32、解：当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．
33、解：（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
34、解：设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．
35、解：（1）在的图象上，， 又在的图象上，，即 ，解得：，， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，
（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。
36、解：D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
37、解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
38、解：．
39、解：或．
40、解：当时，，此时；当时，，此时．
班级 姓名
初中数学与高中数学衔接紧密的知识点
1、绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:；或
2、乘法公式：
⑴平方差公式：
⑵立方差公式：
⑶立方和公式：
⑷完全平方公式：，
⑸完全立方公式：
3、分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4、一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论
①当时，方程有唯一解；②当，时，方程无解
③当，时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5、二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6、不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7、一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有两根同号 ③方程有两根异号
④韦达定理及应用：
,
8、函数 （1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当=0时，称是的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当0， O，则经2、3、4象限；当0，0时，则经1、2、4象限；当0， 0时，则经1、3、4象限；当0， 0时，则经1、2、3象限。
④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。
（4）二次函数：
①一般式：()，对称轴是顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值。
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值。
9、图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
10、平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做轴或横轴，铅直的数轴叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设，是直角坐标系内的两点，
①若和关于轴对称，则有。②若和关于轴对称，则有。
③若和关于原点对称，则有。④若和关于直线对称，则有。
⑤若和关于直线对称，则有或。
典型例题
一、乘法公式
【例1】计算：．
【例2】已知，，求的值．
二、二次根式
【例3】将下列式子化为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）．
【例4】试比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和.
【例5】化简：（1）； （2）．
【例6】已知，求的值 ．
三、分式
【例7】若，求常数的值．
【例8】 （1）试证：（其中n是正整数）；
（2）计算：；
（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有．
【例9】设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
四、因式分解
【例10】分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）．
▲【例11】分解因式：
（1）； （2）．
五、根的判别式
【例12】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3）x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
六、根与系数的关系（韦达定理）
【例13】已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
【例14】已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
【例15】若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
七、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
【例16】求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
【例17】已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
【例18】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
【例19】求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
八、二次函数的最值
【例20】求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
【例21】当时，求函数的最大值和最小值．
【例22】当时，求函数的取值范围．
【例23】已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
【例24】当时，求函数的最小值(其中为常数)．
课后作业 班级 姓名
一、选择题：
1、下列叙述正确的是（ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
2、若是一个完全平方式，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
3、不论，为何实数，的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
4、等式成立的条件是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5、若，则＝ （ ）
（A）１ （B） （C） （D）
6、若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
7、计算等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、多项式的一个因式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9、方程的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
10、若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
11、已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
12、下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
13、关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
14、若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为 （ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
▲15、如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
▲16、已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
17、把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（ ）
（A）（－1，4） （B）（－1，－4） （C）（1，－4） （D）（1，4）
18、函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（ ）
（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1
（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜11
二、填空题
19、若，则x=_________；若，则x=_________.
20、如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
21、（1）（ ）；
（2） ；
（3） ．
22、（1）＝__ ___；
（2）若，则的取值范围是_ _ ___；
（3）__ ___；
（4）若，则______ __．
23、比较大小：2－ －（填“＞”，或“＜”）．
24、对任意的正整数n， ()；
25、（1），，则____ ____；
（2）若，则__ __；
26、（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
▲▲▲选择题答案填入此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
▲▲▲填空题答案填入此处：
19、 ； 。
20、 ； 。
21、（1） ；（2） ；（3） 。
22、（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
23、 。
24、 。
25、（1） ；（2） 。
26、（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
三、解答题
27、正数满足，求的值．
28、计算．
29、已知：，求的值．
30、分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）；
▲31、分解因式：x2＋x－(a2－a)．
32、试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
33、已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．
▲34、若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．
35、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
36、如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．
37、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求出对应的二次函数的关系式．
38、设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．
39、已知函数在上的最大值为4，求的值．
▲40、求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．
初高中数学衔接学案
参考答案
【例1】解法一：原式===．
解法二：原式===．
【例2】解： ．
【例3】解： （1）； （2）；
（3）．
【例4】解： （1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又 4＞2， ∴＋4＞＋2，
∴＜.
【例5】解：（1）原式
．
（2）原式=，∵，∴， 所以，原式＝．
【例6】解： ∵，
，
∴．
【例7】解： ∵，
∴
解得 ．
【例8】（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）证明：∵＝＝，
又n≥2，且n是正整数， ∴一定为正数，
∴＜．
【例9】解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0， ∴e＝＜1，舍去；或e＝2． ∴e＝2．
【例10】解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得 ＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
【例11】解：（1）==
=．
或
＝＝＝
＝
＝．
（2）=
==．
或
=
=
=．
【例12】解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
， ．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．
（4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以，①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
， ；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
【例13】分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－．
由 （－）＋2＝－，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
【例14】分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
【例15】解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4， 由②得 a＜．
∴a的取值范围是a＜4．
【例16】解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
【例17】分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上， 所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴，解得a＝－．
∴二次函数的解析式为，即y＝．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
【例18】解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1． 又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)， ∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
【例19】解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线
x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．
由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．
【例20】解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，
所以抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
因为二次函数中的二次项系数-1＜0，
所以抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为=，
所以当时，函数有最大值．
【例21】解：作出函数的图象．当时，，当时，．
说明：二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
、
【例22】解：作出函数在内的图象．
可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．
【例23】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
【例24】分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数的对称轴为．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：
当时，．
综上所述：
选择题：
1、D 2、D 3、A 4、C 5、B 6、D 7、C 8、B 9、C
10、D 11、C 12、B 13、C 14、C 15、C 16、B 17、D 18、D
二、填空题：
19、； 20、；或 21、（1）； （2） （3）
22、（1）； （2）； （3） ；（4）． 23、＞ 24、
25、（1） （2）或－ 26、（1）2 （2） （3）6 （4）
三、解答题：
27、解：
28、解：
29、解：4．
30、解：（1）(x＋2)(x＋4) （2）
（3） （4）
31、解：
32、解：当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．
33、解：（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．
（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．
34、解：设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．
35、解：（1）在的图象上，， 又在的图象上，，即 ，解得：，， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，
（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。
36、解：D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
37、解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
38、解：．
39、解：或．
40、解：当时，，此时；当时，，此时．