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第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 相似三角形的判定（一）
数学 九年级 下册 配人教版A. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__________.
1. 如图27-2-1，已知直线AB∥CD∥EF， = ，则
= _______.
成比例B. 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形______.
2. 如图27-2-2，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则 的值为_______. 相似典型例题知识点1：平行线分线段成比例定理
【例1】 如图27-2-3，l1∥l2∥l3，则下列等式错误的是 （ D ）举一反三1. 如图27-2-4，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D,E,F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF=（ ）
A. B.2
C. D. A典型例题知识点2：相似三角形的判定定理一
【例2】 如图27-2-5，DE∥BC分别交AB,AC于点D,E.
（1）写出图中的相似三角形；（2）求证： .2. 如图27-2-6，已知DE∥BC，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，∠A=45°，∠C=40°，求：
（1）∠AED和∠ADE的大小；
（2）DE的长. 举一反三解：（1）∠AED和∠ADE的大小
分别为40°，95°.
（2）DE= cm. A组
1. 如图27-2-7，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与
相等的是 ( )D2. 如图27-2-8，在△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是 ( )
A. B. 2 C. D. 3
3. 如图27-2-9，在△ABC中，
DE∥BC，且AB=8 cm，AC=6 cm，
AD=3 cm，则线段AE的长为 ____cm. C4. 如图27-2-10，AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=3，CD=6，AP=4，求DP的长. 解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PDC.
∴ .
∵AB=3，CD=6，AP=4，
∴DP=8.B组
5. 如图27-2-11，AC是 ABCD的对角线，则图中相似三角形共有 ( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
6. 如图27-2-12，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=4，则GH的长为_______. C7. 如图27-2-13，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE∶EA=2∶3，EF=4，求CD的长. 解：∵DE∶EA=2∶3，∴DE∶DA=2∶5.
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB.
∴ .
∵EF=4，∴ .∴AB=10.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10. C组
8. 如图27-2-14，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连接DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF；
(2)当点F是BC的中点时，过点F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6 cm，EF=4 cm，求CD的长.
(1)证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴△CDF∽△BGF.(2)解：由(1)知△CDF∽△BGF.
又∵点F是BC的中点，∴BF=FC.
∴△CDF≌△BGF.∴DF=GF，CD=BG.
∵AB∥DC∥EF，点F为BC中点，
∴点E为AD中点.
∴EF是△DAG的中位线.
∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2(cm).
∴CD=BG=2(cm). 故CD的长为2 cm. 课件17张PPT。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第2课时
相似三角形的判定（二）
数学 九年级 下册 配人教版A. 三边______的两个三角形相似，如图27-2-15.
∵
_______________，
∴△ABC∽△A′B′C′.
1. 在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6,DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形____(填“相似”或“不相似”)，理由是______________________________________________． 成比例相似三边成比例的两个三角形相似B. 两边_______且夹角相等的两个三角形_____，几何语言：如图27-2-15，∵ ，∠____=∠____，∴△ABC∽△A′B′C′.
2. 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝
5 cm，AB＝4 cm，∠A′＝34°，A′C′＝2 cm，A′B′＝1.6 cm，那么这两个三角形______(填“相似”或“不相似”)，理由是______________________________________________． 成比例相似AA′相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似典型例题知识点1：相似三角形的判定定理二
【例1】 如图27-2-16所示，在正方形网格上有两个三角形A1B1C1和A2B2C2 ，求证：△A1B1C1∽△A2B2C2.举一反三1. 如图27-2-17，在△ABC和△ADE中， = = ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.解：∵在△ABC和△ADE中， = = ,
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
∴∠CAE=∠BAD=20°. 典型例题知识点2：相似三角形的判定定理三
【例2】 如图27-2-18，AB与CD相交于点O，OA=3，OB=5，OD=6. 当OC=185时，求证：△OAC与△OBD相似. 2. 已知如图27-2-19，四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长. 举一反三解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，
∴ = =45.
又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA.
∴ = = .∴ = .
∴AD= .A组
1. 若一个三角形各边的长度都扩大2倍，则扩大后的三角形各角的度数都 （ ）
A. 缩小2倍
B. 不变
C. 扩大2倍
D. 扩大4倍B2. 已知△ABC如图27-2-20，则与△ABC相似的是下列图中的 ( ) C3. 如图27-2-21，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DCE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC=_____，BC=______；
(2)判断△ABC与△DCE是否相似，并证明你的结论. 135° 解：(2)相似. B组
4. 如图27-2-22，△ACD和△ABC相似需具备的条件是
( )
5. 一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为 ________时，这两个三角形相似.C6. 如图27-2-23，在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点.
（1）求证：△QCP∽△ADQ；
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠C=∠D=90°.
∵BP=3PC，Q是CD的中点，
∴CP= BC，CQ=DQ= CD.
∴CP∶DQ=CQ∶DA=1∶2.
∴△QCP∽△ADQ.（2）已知∠QPC=55°，求∠QAD的度数.（2）解：∵∠C=90°，∠QPC=55°，
∴∠CQP=90°-∠QPC=35°.
∵△ADQ∽△QCP，
∴∠QAD=∠CQP=35°.C组
7. 如图27-2-24，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，则△ADE与△ABC ( )
A. 不一定相似
B. 一定不相似
C. 相似
D. 不能确定是否相似C8. 如图27-2-25，△ABC中，AB=6 cm，BC=10 cm，AC=12 cm，D为AB上的点，E为AC上的点，AD=4 cm，当AE=________时，△ADE与△ABC相似.
8或29. 如图27-2-26，△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD=CDBD.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(1)证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∵ ,
∴△ACD∽△CBD.
(2)求∠ACB的大小. (2)解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD.
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°. 课件18张PPT。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第3课时
相似三角形的判定（三）
数学 九年级 下册 配人教版A. 两角__________的两个三角形相似.
1. 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形 _____(填“相似”或“不相似”)，理由是_______________________________． 分别相等相似两角分别相等的两个三角形相似典型例题知识点1：相似三角形的判定定理四
【例1】 如图27-2-27，如果∠BAD=∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是( )C举一反三1. 已知：如图27-2-28，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C.
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长. （1）证明：∵∠AED=∠C，∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB.
（2）∵△AED∽△ACB，
∴ = .∵AB=6，AD=4，AC=5，
∴ = .∴AE= . 典型例题知识点2：相似三角形判定定理的综合运用
【例2】 如图27-2-29，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点F，点E在BD上，且 .
（1）∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？（2）△ABE与△ACD是否相似？并说明理由.2. 如图27-2-30，在△ABC中，高BD,CE相交于点H，
求证：（1） ；
举一反三解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEH=∠CDH=90°.
∵∠BHE=∠CHD，
∴△BHE∽△CHD，
∴ .（2）△ADE∽△ABC.
解：（2）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE.
∴ . ∴ .
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.A组
1. 如图27-2-31,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有 ( )
A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对C2. 下列四组图形中，一定相似的图形是 ( )
A. 各有一个角是30°的两个等腰三角形
B. 有两边之比都等于2:3的两个三角形
C. 各有一个角是120°的两个等腰三角形
D. 各有一个角是直角的两个三角形C3. 如图27-2-32，AB，CD相交于点O，且∠C=∠B，若AC=4 cm，AO=3 cm，BD=8 cm.
（1）求证：△AOC∽△DOB；
（2）求OD的长. （1）证明：∵∠C=∠B，
∠AOC=∠DOB.∴△AOC∽△DOB.
（2）解：∵△AOC∽△DOB，
∴ ，即48=3OD.解得OD=6(cm). B组
4. 已知如图27-2-33，在平面直角坐标系中有两点A(6，0)，B(0，3)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_____________________________________时，△BOC与△AOB相似. (-1.5，0)，(1.5，0) 或(-6，0)5. 如图27-2-34，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线.
（1）△ABC与△BDC相似吗？请说明理由；
（1）解：相似. 理由如下.
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC= =72°.
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD= ∠ABC=36°.
∴∠CBD=∠A.又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC.（2）求证：AD2=AB·CD. （2）证明∵△ABC∽△BDC.
∴ .∴BC2=AC·CD.
由（1），得BC=BD=AD，
∴AD2=AB·CD. C组
6. 如图27-2-35，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.
（1）求证：△ACF∽△GCA；
（1）证明：可设正方形的边长为a，则AC= ，
∴ .
又∵∠ACF=∠GCA，
∴△ACF∽△GCA.
（2）求∠1+∠2的度数.（2）解：由（1），得△ACF∽△GCA.
∴∠1=∠CAF.
∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°.7. 如图27-2-36，△ABC为正三角形，D，E分别为AC，BC上的点（不在顶点），∠BDE=60°.
（1）求证：△BDA∽△DEC；（1）证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°.
∴∠3+∠1=120°.
∵∠BDE=60°，
∴∠3+∠2=120°.
∴∠1=∠2.
∴△BDA∽△DEC.（2）若正△ABC的边长为6，并设DC=x，BE=y. 试求y与x之间的函数关系式.（2）解：∵正三角形ABC的边长为6，
∴AB=BC=AC=6.
∵△DEC∽△BDA，
∴ .
∵AD=AC-CD，EC=BC-BE，
设CD=x，BE=y，∴ .
整理，得 .课件15张PPT。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第4课时 相似三角形的性质
数学 九年级 下册 配人教版A. 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比、周长的比都等于__________.
1. 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为______.
B. 相似三角形面积的比等于________________.
相似比8相似比的平方2. 如图27-2-37，在?ABCD中，点K是BC边上的一点，且BK∶KC=2∶3，则△ADE和△KBE的周长比为5∶2，面积比为_________________.25∶4典型例题知识点：相似三角形的性质
【例1】 如图27-2-38，△ABC∽△AED，
∠ADE=80°，∠A=60°，则∠B=_____.
1. 如图27-2-39，点B在AD上，
AB=1，AD=4，且△ABC∽△ACD，则AC=___. 2举一反三40°典型例题【例2】 若两个相似三角形的周长之比是1∶2，则它们的面积之比是 ( D )
A. 1∶2 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 1∶4
2. 两个相似三角形对应中线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为 ( )
A. 8和12 B. 9和11
C. 7和13 D. 6和14A举一反三典型例题【例3】 如图27-2-40，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少毫米？举一反三3. 如图27-2-41，AD是△ABC的高，AD=6，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR= BC时，求DE的长度. 解：∵AD⊥BC，SR⊥AD，
∴SR∥BC.
∴△ASR∽△ABC.
∴ .
解得AE=2.
∴DE=AD-AE=4. A组
1. 在一张由复印机复印出来的纸上,一个多边形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么它的周长由原来的3 cm变成 （ ）
A. 6 cm B. 12 cm
C. 24 cm D. 48 cm
2. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为_____. B2∶33. 如图27-2-42，△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC的周长是24，面积是48. 求△DEF的周长和面积. 解：∵AB=2DE，AC=2DF，
∴ ＝2.又∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，且相似比k=2.
∴△ABC的周长∶△DEF的周长=2.
∴△DEF的周长为24÷2=12.
∴△ABC的面积∶△DEF的面积=22=4.
∴△DEF的面积为48÷4=12. B组
4. 如图27-2-43,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且DE∥BC,BE交DC于点F,EF∶FB=1∶3,则S△ADE∶S△ABC的值为 ( )
A. 1∶3 B. 1∶9
C. 1∶3 D. 以上答案都不对
5. 已知：如图27-2-44，在 ABCD中，AE∶EB=1∶2，则△AEF与△CDF的周长的比为_______，
如果S△AEF=6 cm2， 则S△CDF=________.B1∶354 cm26. 如图27-2-45，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5 cm，AB=4 cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.解：∵∠ABC=∠ADB=90°，
AC=5 cm，AB=4 cm，
∴BC= =3 cm.
若△ABC∽△ADB，则 ，即 .解得AD=165(cm).
若△ABC∽△BDA，则 ，即 （cm） .
解得AD=125（cm）.
∴AD的长为 cm或 cm. C组
7. 如图27-2-46，在?ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C. ∴△ADF∽△DEC.(2)若AB=8，AD= ，AF= ，求AE的长.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，
8. 如图27-2-47，AD是△ABC的高，点Q,M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB边上，AD=60 cm，BC=40 cm，四边形PQMN是矩形.
（1）求证：△APN∽△ABC；（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC.
∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C.
∴△APN∽△ABC.（2）若PQ∶PN=3∶2，求矩形PQMN的长和宽. （2）解：∵△APN∽△ABC，
∴ .
又∵PQ∶PN=3∶2，设PQ=3x cm，则PN=2x cm，
∴ ，解得x=10.
∴PQ=30(cm)，PN=20(cm).
答：矩形PQMN的长和宽分别是30 cm和20 cm.课件18张PPT。
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第5课时 相似三角形应用举例
数学 九年级 下册 配人教版A.如图27-2-48，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂端点下降0.4 m时，长臂端点升高________m.
1. 在某一时刻，测得一根高为2 m的竹竿的影长为1 m，同时测得一栋建筑物的影长为9 m，那么这栋建筑物的高度为_____m.6.418典型例题知识点：利用三角形的相似解决测量问题
【例1】 如图27-2-49，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O，在近岸取点A,C使O,A,C三点共线，且线段OC与河岸垂直，接着在过点C且与OC垂直的直线上选择适当的点D，使OD与
近岸所在的直线交于点B. 若测得
AC=30 m，CD=120 m，AB=40 m，
求河的宽度OA.
1. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图27-2-50所示，其中木竿AB=2 m，它的影子BC=1.6 m，木竿PQ落在地面上的影子PM=1.2 m，落在墙上的影子MN=0.8 m，求木竿PQ的长度. 举一反三解：如答图27-2-2，过N点作ND⊥PQ于点D，
∴ .
又∵AB=2 m，BC=1.6 m，PM=1.2 m，NM=0.8 m，
∴ .
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m）.
答：木竿PQ的长度为2.3 m. 【例2】 如图27-2-51，要测量旗杆高CD，在B处立标杆AB=2.5 m，人在F处. 眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上. 已知BD=3.6 m，FB=2.2 m，EF=1.5 m， 求旗杆的高度.
解： 如答图27-2-1，
过点E作EH∥FD分别交AB,
CD于点G,H.
∵EF∥AB∥CD，
∴EF=GB=HD.典型例题 ∴AG=AB-GB=AB-EF=2.5-1.5=1（m），
EG=FB=2.2（m），GH=BD=3.6(m),CH=CD-1.5（m）.
解得CD= m，即旗杆的高度为 m. 2. 如图27-2-52，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在北岸边每隔50 m有一根电线杆. 小丽站在离南岸边15 m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A,B恰好被南岸的两棵树C,D遮住，并且在这两棵树之间还有
三棵树，求河的宽度.举一反三 解：过点P作PF⊥AB，交CD于点E，交AB于F，如答图27-2-3.
设河宽为x m.
∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBA，∠PCD=∠PAB.
∴△PDC∽△PBA.∴ .
∴ .
依题意CD=20 m，AB=50 m，
∴ .
解得x=22.5（m）.
答：河的宽度为22.5 m.A组
1. 如图27-2-53，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直径AB. 若OC∶OA=1∶2，量得CD=10，则零件的内孔直径AB长为 ( )
A. 30 B. 20
C. 10 D. 5B2. 如图27-2-54，网高为0.8 m，击球点到网的水平距离为3 m，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h为_______m. 1.43. 如图27-2-55，小明为了测量楼MN的高，在离MN 20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC=2 m，小明的眼睛离地面的高度BC为1.8 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度. 解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C=∠N=90°.∵∠BAC=∠MAN，
∴△BCA∽△MNA.∴ .
∴ .解得MN=18（m）.
答：楼房的高度为18 m. B组
4. 如图27-2-56是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，则拍摄点离景物有____m. 75. 如图27-2-57，一位同学想利用树影测量树高(AB)，他在某一时刻测得高为1 m的竹竿影长为0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上(CD)，他先测得留在墙上的影高(CD)为1.2 m，
又测得地面部分的影长(BC)
为2.7 m，则他测得的树高应
为多少米？解：如答图27-2-4，过点D作DE∥BC交AB于点E.设墙上的影高CD落在地面上时的长度为x m，树高为h m.
∵某一时刻测得长为1 m的竹竿影长为0.9 m，墙上的影高CD为1.2 m，
∴ .解得x=1.08(m).
∴树的影长为1.08+2.7=3.78(m).
∴ .解得h=4.2(m).
答：测得的树高应为4.2 m.C组
6. 如图27-2-58，圆桌正上方的灯泡O（看成一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影. 若桌面的半径AC=0.8 m，桌面与底面的距离AB=1 m，灯泡与桌面的距离OA=2 m，则地面上阴影部分的面积为_______m2. （结果保留π）1.44π7. 如图27-2-59，M,N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞. 工程人员为了计算工程量，必须计算M,N两点之间的直线距离，选择测量点A,B,
C，点B,C分别在AM,AN上，现测得
AM=1 km,AN=1.8 km，AB=54 m,
BC=45 m,AC=30 m，求M,N两点之
间的直线距离. 解：在△ABC与△AMN中， ，
∴ ，即 .
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ANM.
∴ ，即 .
解得MN=1 500 (m).
答：M,N两点之间的直线距离是1 500 m.
