2018-2019学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（理科）

2018-2019学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，是z的共轭复数，则＝（　　）
A． B． C．1 D．2
2．如果用反证法证明“数列{an}的各项均小于2”，那么应假设（　　）
A．数列{an}的各项均大于2
B．数列{an}的各项均大于或等于2
C．数列{an}中存在一项ak，ak＞2
D．数列{an}中存在一项ak，ak≥2
3．函数f（x）＝x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任意一点x0∈[﹣5，5]，使f（x0）≤0的概率是（　　）
A．0.1 B． C．0.3 D．
4．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．，则f′（x0）等于（　　）
A．2 B．1 C． D．0
6．曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）
A．2e B．e C．2 D．1
7．林管部门在每年植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是（　　）
A．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐
B．甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗的高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐
C．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐
D．乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗的高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐
8．从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是（　　）
A．至少有一个红球，至少有一个白球
B．恰有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，都是白球
D．至多有一个红球，都是红球
9．给出50个数，1，2，4，7，11，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和处理框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能（　　）
A．i≤50；p＝p+i B．i＜50；p＝p+i C．i≤50；p＝p+1 D．i＜50；p＝p+1
10．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（　　）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
11．已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：
甲：
88
100
95
86
95
91
84
74
92
83
乙：
93
89
81
77
96
78
77
85
89
86
则下列结论正确的是（　　）
A．，s甲＞s乙 B．，s甲＜s乙
C．，s甲＞s乙 D．，s甲＜s乙
12．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．
13．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步假设n＝2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证n＝　 　时，命题亦真．
14．若二进制数10b1（2）和三进制数a02（3）相等，a，b为正整数，则2a+b＝　 　．
15．已知f（x）＝xex，g（x）＝﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是　 　．
16．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程为，那么下面说法正确的序号　 　．
（1）直线必经过点（2）直线至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个
（3）直线的斜率为为为
（4）回归直线方程，最能代表样本数据中x，y之间的线性关系，b大于0时x与y正相关，b小于0时x与y负相关．
注：相关数据
．其中＝xi，＝yi．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知复数z＝3+bi，b为正实数，且（z﹣2）2为纯虚数
（1）求复数z；
（2）若，求复数w的模|w|．
18．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．
19．（12分）某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；
（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？
20．（12分）某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x2+bx+b）?（b∈R）．
（1）当b＝4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a＝1，函数g（x）＝（x﹣m）f（x）﹣e2x+x2+x在区间（0，+∞）上为增函数，求整数m的最大值．

2018-2019学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：由可得．
另解：
故选：A．
2．【解答】解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{an}的各项均小于2”的否定为：“数列{an}中存在一项ak，ak≥2”，
故选：D．
3．【解答】解：由f（x0）≤0，
得到x02﹣x0﹣2≤0，
解得：﹣1≤x0≤2，
∴使f（x0）≤0的概率是：
P＝＝＝0.3，
故选：C．
4．【解答】解：若输入的a值为1，则k＝0，b＝1，a＝，不满足退出循环的条件，故k＝1；
a＝﹣2，不满足退出循环的条件，故k＝2；
a＝1，满足退出循环的条件，
故输出的k值为2，
故选：B．
5．【解答】解：∵，
∴＝f′（x0）＝
故选：C．
6．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝ex﹣1+xex﹣1＝（1+x）ex﹣1，
当x＝1时，f′（1）＝2，
即曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′（1）＝2，
故选：C．
7．【解答】解：由茎叶图中的数据得，甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：
甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37
乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47
由已知得：甲的中位数是×（25+29）＝27，
乙的中位数是×（27+30）＝28.5；
且甲的数据分布比较集中，乙的数据分布较为分散，
∴乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．
故选：D．
8．【解答】解：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球．
易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；
而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立．
故选：B．
9．【解答】解：由于要计算50个数的和，
故循环要执行50次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为50
即①中应填写i≤50；
又由第1个数是1；
第2个数比第1个数大1；
第3个数比第2个数大2；
第4个数比第3个数大3；…
故②中应填写p＝p+i
故选：A．
10．【解答】解：20组随机数中，
表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：
191，271，932，812，393，共5个，
∴估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P＝＝0.25．
故选：B．
11．【解答】解：由表中数据，计算＝×（88+100+95+86+95+91+84+74+92+83）＝88.8，＝×（93+89+81+77+96+78+77+85+89+86）＝85.1，
∴＞，
∵甲的极差为100﹣74＝26，乙的极差为96﹣77＝19，
∴甲的波动比乙大，
∴s2甲＞s2乙，
∴s甲＞s乙，
故选：A．
12．【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）＝，则f′（x）＝＝﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．
13．【解答】解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除
用数学归纳法证明时候，第二步假设n＝2k﹣1时命题为真，进而需要验证n＝2k+1．
故答案为：2k+1．
14．【解答】解：∵10b1（2）＝1×23+0×22+b×21+1×20＝8+0+2b+1＝9+2b，（b＝0，1），
a02（3）＝a×32+0×31+2×30＝9a+2，（a＝0，1，2），
∴根据题意，可得：9+2b＝9a+2，
∴解得：a＝1，b＝1，
∴2a+b＝3．
故答案为：3．
15．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，
f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x＝﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min＝f（﹣1）＝﹣；
当x＝﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max＝g（﹣1）＝a，
所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．
故答案为：a≥．
16．【解答】解：线性回归直线一定经过样本中心点，故（1）正确；
线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，它是最能体现这组数据的变化趋势的直线，故（2）不正确；
由最小二乘法求回归直线方程知（3）正确；
根据线性回归直线的意义及两个变量的相关性知（4）正确．
故答案为：（1）（3）（4）．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．【解答】解：（1）（1+bi）2＝1﹣2bi﹣b2，
∴1﹣b2＝0，．又b为正实数，
∴b＝1．
∴z＝3+i．
（2），
∴．
18．【解答】解：（I）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，
∴，
∴f（1）＝1，f'（1）＝2，
所以切线方程为2x﹣y﹣1＝0，
（II ）∵，
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；函数f（x）无极值；
当a＜0时，由f′（x）＝0，解得x＝﹣a．
又当x∈（0，﹣a）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x＝﹣a处取得极小值，且极小值为f（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a），无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a﹣alna，无极大值．
19．【解答】解：（Ⅰ）由（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）×20＝1，
得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5．
（Ⅱ）理科综合分数的众数是＝230，
∵（0.002+0.009 5+0.011）×20＝0.45＜0.5，
∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a，
则（0.002+0.009 5+0.011）×20+0.012 5×（a﹣220）＝0.5，
解得a＝224，即中位数为224．
（Ⅲ） 理科综合分数在[220，240）的学生有0.012 5×20×100＝25（位），
同理可求理科综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位，（10分）
故抽取比为＝，
∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×＝5人．
20．【解答】解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L＝（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．
（2）L′（x）＝（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）＝（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）＝（12﹣x）（18+2a﹣3x）．
令L′（x）＝0得x＝6+a或x＝12（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．
在x＝6+a两侧L′的值由正值变负值．
所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，
Lmax＝L（9）＝（9﹣3﹣a）（12﹣9）2＝9（6﹣a）；
当9＜6+a≤，即＜a≤5时，
Lmax＝L（6+a）＝（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2
＝4（3﹣a）3，
即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）＝9（6﹣a）万元；
当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）＝4（3﹣a）3万元．
21．【解答】解　（1）当b＝4时，f′（x）＝，
由f′（x）＝0得x＝﹣2或x＝0．当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）在x＝﹣2处取极小值f（﹣2）＝0，在x＝0处取极大值f（0）＝4．
（2）f′（x）＝，因为当x∈（0，）时，＜0，
依题意，当x∈（0，）时，有5x+（3b﹣2）≤0，从而+（3b﹣2）≤0．
所以b的取值范围为：（﹣∞，]．
22．【解答】解：（Ⅰ）定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）＝e2x﹣a，
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；…（2分）
当a＞0时，由f′（x）＝0得，且当时，f′（x）＜0，
当时f′（x）＞0，
所以f（x）在为减函数，在为增函数．…（4分）
（Ⅱ）当a＝1时，，
若g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，
则g′（x）＝（x﹣m）（e2x﹣1）+x+1≥0在（0，+∞）恒成立，
即在（0，+∞）恒成立，
令，x∈（0，+∞）；…（6分）
，x∈（0，+∞）；令L（x）＝e2x﹣2x﹣3，
可知，L（1）＝e2﹣5＞0，
又当x∈（0，+∞）时L′（x）＝2e2x﹣2＞0，
所以函数L（x）＝e2x﹣2x﹣3在x∈（0，+∞）只有一个零点，…（8分）
设为a，即e2a＝2a+3，且；
由上可知当x∈（0，a）时L（x）＜0，即h′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时L（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以，x∈（0，+∞），有最小值，…（10分）
将e2a＝2a+3代入上式可得h（a）＝，又因为a，所以h（a），
由于m≤h（x）恒成立，所以m≤h（a），又因为m为整数，
所以m≤1，所以整数m的最大值为1．…（12分）