2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）

2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分）
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则?U（A∩B）＝（　　）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．
3．若命题p：?x0∈R，2x02+1≤2，则该命题的否定是（　　）
A．?x0∈R，2x02+1＞2 B．?x0∈R，2x02+1≥2
C．?x∈R，2x2+1≤2 D．?x∈R，2x2+1＞2
4．“a＝2”是“两直线ax+3y+2a＝0和2x+（a+1）y﹣2＝0平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知抛物线C：y2＝2x上一点P到x轴的距离为2，则P到焦点的距离为（　　）
A．2 B． C． D．3
6．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），由最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9．若已知x1+x2+x3+x4+x5＝150，则y1+y2+y3+y4+y5＝（　　）
A．75 B．155.4 C．375 D．466.2
7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：
“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）
现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A＝3，a＝1．那么在①处应填（　　）
A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？
8．如图所示，y＝f（x）是可导函数，直线l：y＝kx+3是曲线y＝f（x）在x＝1处的切线，令h（x）＝xf（x），h′（x）是h（x）的导函数，则h′（1）的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．
9．下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线必过样本数据的中心点（，）；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关性系数r＞0时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1．
其中真命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦点F（2，0）到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
11．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（　　）
A． B．﹣2 C．﹣2或 D．不存在
12．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（　　）
A．第44行第84列 B．第45行第84列
C．第44行第83列 D．第45行第83列
二、填空题（本题共4小题，每小题5分）
13．在极坐标系中，圆C：ρ＝2sinθ的圆心到点（1，0）的距离为　 　．
14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是　 　．
15．抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线x2﹣y2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝　 　．
16．曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为　 　．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知双曲线C的标准方程为 ﹣＝1．
（1）写出双曲线C的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点F1、F2的坐标；
（2）若点M（3，m）在双曲线C上，求证：MF1⊥MF2．
18．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求+++…+的值．
19．（12分）到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用3+3模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分．为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了n名学生进行调查．
（1）已知抽取的n名学生中有女生45名，求n的值及抽取的男生的人数．
（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下2×2列联表．
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
10
女生
25
总计
（i）请将列联表补充完整，并判断是否有99%以上的把握认为选择科目与性别有关系．
（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
20．（12分）已知函数f（x）＝x2（x﹣1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，F（﹣）为椭圆C的左焦点，离心率为，直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M（1，1）是弦AB的中点，P是椭圆C上一点，求△PAB的面积最大值．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣2a2lnx+x2+ax（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a＜0时，求函数f（x）在区间[1，e]的最小值．

2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分）
1．【解答】解：∵集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴A∩B＝{2}，
由全集U＝{1，2，3，4}，
∴?U（A∩B）＝{1，3，4}．
故选：A．
2．【解答】解：∵，
∴|z|＝||＝．
故选：C．
3．【解答】解：由特称命题的否定可知：
命题p的否定是“?x∈R，2x2+1＞2，
故选：D．
4．【解答】解：两直线ax+3y+2a＝0和2x+（a+1）y﹣2＝0平行的充要条件为，即a＝2或a＝﹣3，
又“a＝2”是“a＝2或a＝﹣3的充分不必要条件，
即“a＝2”是“两直线ax+3y+2a＝0和2x+（a+1）y﹣2＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
5．【解答】解：抛物线C：y2＝2x上一点P到x轴的距离为2，可得P（2，±2），
抛物线的准线方程为：x＝﹣，
则P到焦点的距离为：2+＝．
故选：C．
6．【解答】解：（1）＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9．
可得：＝0.67×30+54.8≈75．
则y1+y2+y3+y4+y5＝?n＝75×5＝375．
故选：C．
7．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．
故选：B．
8．【解答】解：由图象可知直线的切线经过点（1，2），则k+3＝2，得k＝﹣1，
即f′（1）＝﹣1，且f（1）＝2，
∵h（x）＝xf（x），
∴h′（x）＝f（x）+xf′（x），
则h′（1）＝f（1）+f′（1）＝2﹣1＝1，
故选：B．
9．【解答】解：①线性回归直线必过样本数据的中心点（，），故①正确；
②回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故②错误；
③当相关性系数r＞0时，则两个变量正相关，故③正确；
④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r就越接近于1或﹣1，故④错误．
故真命题的个数为2个，
故选：B．
10．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦点F（2，0）到渐近线的距离为，则，
∴c＝2，b＝，∴a2＝c2﹣b2＝4﹣3＝1，∴a＝1，
双曲线的离心率为：＝2．
故选：C．
11．【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，
∴f′（x）＝3x2+2ax+b，
又f（x）＝x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x＝1处取得极大值10，
∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b﹣a2﹣7a＝10，
∴a2+8a+12＝0，
∴a＝﹣2，b＝1或a＝﹣6，b＝9．
当a＝﹣2，b＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），
当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x＝1处取得极小值，与题意不符；
当a＝﹣6，b＝9时，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意；
∴＝﹣＝﹣．
故选：A．
12．【解答】解：依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，
所以2019在第45行，2019﹣442＝83，
所以2019 在第45行，第83列．
故选：D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分）
13．【解答】解：在圆C的极坐标方程两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsinθ，化为普通方程得x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，
所以，圆C的圆心为C（0，1），该圆心到点（1，0）的距离为．
故答案为：．
14．【解答】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，
②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙，
③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，
综合①②③得：会弹钢琴的是乙，
故答案为：乙
15．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y＝﹣，
准线方程与双曲线x2﹣y2＝1联立可得：x2﹣（）2＝1，
解得x＝±，
因为△ABF为等边三角形，所以＝2|x|，即p2＝3x2，
即p2＝3（），解得p＝2．
故答案为：．
16．【解答】解：曲线，可得y′＝，
所以曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为：＝e+1．
故答案为：e+1．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）由双曲线C的标准方程为 ﹣＝1，则a＝，b＝，c＝＝＝2，
则实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点F1、F2（8分）
（2）证明：：∵＝（﹣3﹣2，﹣m），＝（2﹣3，﹣m），
∴?＝（﹣3﹣2）×（2﹣3）+m2＝﹣3+m2，
由M在双曲线C上，则9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，
即?＝0，
所以MF1⊥MF2（12分）
18．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，
∴f（5）＝1+4+8+12+16＝41．
（2）∵f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，
f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，
f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，
f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，
由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）＝4n．
∴f（n）﹣f（n﹣1）＝4（n﹣1），
f（n﹣1）﹣f（n﹣2）＝4?（n﹣2），
f（n﹣2）﹣f（n﹣3）＝4?（n﹣3），
…
f（2）﹣f（1）＝4×1，
∴f（n）﹣f（1）＝4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]
＝2（n﹣1）?n，
∴f（n）＝2n2﹣2n+1．
（3）当n≥2时，＝＝（﹣），
∴+++…+＝1+（1﹣+﹣+…+﹣）＝1+（1﹣）＝﹣．
19．【解答】解：（1）由题意得解得n＝100，则抽取的男生的人数为550×＝55．
（2）（i）
选择“物理”
选择“地理”
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100
则K2＝≈8.1289＞6.635．
所以有99%以上的把握认为选送科目与性别有关．
（ii）由题意易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；
从6名学生中抽取2名，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况，
其中至少有1名男生的有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种情况，
故所求概率为．
20．【解答】解：（1）令f′（x）＝3x2﹣2x＞0，可得x＜0或x＞，
令f′（x）＜0，解得：：0＜x＜，
所以f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），递减区间为（0，）．
（2）由（1）知：x＝0，分别是f（x）的极大值点和极小值点，
所以f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f（）＝﹣，
而f（﹣1）＝﹣2，f（2）＝4，
所以f（x）最大值＝f（2）＝4，f（x）最小值＝f（﹣1）＝﹣2．
21．【解答】解：（1）∵圆C：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，F（﹣）为椭圆C的左焦点，离心率为，
∴，解得a＝2，b＝c＝，
∴椭圆C的方程为：＝1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵M（1，1）是弦AB的中点，∴直线l的斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx+1﹣k．
由联立，整理得：（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k2）﹣4＝0，
∵直线与椭圆相交，∴△＞0成立．
∴，x1x2＝，
∴＝2，∴k＝﹣，
∴直线l的方程为：x+2y﹣3＝0，x1+x2＝2，x1x2＝，
∴|AB|＝?|x1﹣x2|＝?＝＝．
要使△PAB的面积最大值，而|AB|是定值，需P点到AB的距离最大即可．
设与直线l平行的直线方程为：x+2y+m＝0，
由方程组联立，得6y2+4my+m2﹣4＝0，
令△16m2﹣24（m2﹣4）＝0，得m＝．
∵P是椭圆C上一点，
∴P点到AB的最大距离，即直线x+2y+2＝0到直线l的距离d．
而d＝＝，
此时＝＝．
∴△PAB的面积最大值为．
22．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣2lnx+x2+x，f′（x）＝（x＞0）．
∴f′（1）＝0，又f（1）＝，
∴曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝；
（2）f′（x）＝＝（x＞0）．
当a＝0时，f′（x）＝x＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＜0时，在x∈（0，﹣2a）上有f′（x）＜0，当x∈（﹣2a，+∞）上，有f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（0，﹣2a），增区间为（﹣2a，+∞）；
当a＞0时，在x∈（0，a）上有f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）上，有f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）；
（3）由（2）知，当a＜0时，f（x）的减区间为（0，﹣2a），增区间为（﹣2a，+∞），
若﹣2a≤1，即﹣＜0时，f（x）在[1，e]单调递增，；
若1＜﹣2a＜e，即，f（x）在（1，﹣2a）上单调递减，在（﹣2a，e）上单调递增，；
若﹣2a≥e，即a时，f（x）在[1，e]单调递减，．
综上，．