8.2 2.不等式的简单变形
一、选择题
1． 已知a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项可能错误的是( )
A．a＞b B．a＋2＞b＋2
C．－a＜－b D．2a＞3b
2．下列不等式变形正确的是( )
A．由a>b得ac>bc
B．由a>b得－2a>－2b
C．由a>b得－a<－b
D．由a>b得a－2
3．如图1所示，不等式x－3＜1的解集在数轴上表示正确的是( )
图1
4．2018·广东不等式3x－1≥x＋3的解集是( )
A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥2
5．下列变形中，正确的是( )
A．由3x－1<2x－2，得x<－1
B．由2x＋1>3x－1，得x>－2
C．由2x＋1>x－1，得x>2
D．由x＋2<2x－2，得x<0
6．下列不等式中，解集是x>1的是( )
A．3x＞－3 B．x＋4>3
C．2x＋3>5 D．－2x＋3>5
7．若m>n，则下列不等式不一定成立的是( )
A．m＋2>n＋2 B．2m>2n
C.> D．m2>n2
8．若代数式3x＋4的值不大于0，则x的取值范围是 ( )
A．x>－ B．x≥－
C．x<－ D．x≤－
9．已知关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤2
C．m＞2 D．m＜2
二、填空题
10．用“<”或“>”填空：
(1)若x＞y，则－________－；
(2)若x＋2＞y＋2，则－x________－y；
(3)若a＜b，则1－a________1－b；
(4)若x－4＜y－4，则x________y.
11．不等式3x＋1<－2的解集是________.
12．若a＜b＜0，则1，1－a，1－b三个数之间的大小关系为____________________(用“＜”连接)．
13．若2a＋3b－1＞3a＋2b，则a，b的大小关系为________(用“＜”连接)．
三、解答题
14．利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)4x＋3＜3x；
(2)4－x≥4；
(3)－12x－6>0；
(4)－x＋2＞1.
15．用不等式表示下列各式，再利用不等式的性质解不等式，并将解集表示在数轴上．
(1)a的是正数；
(2)m的2倍与1的和小于7.
16．现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上(或都减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘以的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘以的数(或整式)为负时不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
17.已知关于x的不等式2x－m≥－3的解集如图2所示，求m的值.
图2
18．解关于x的不等式：ax－x－2>0.
1．[解析] D 根据不等式的性质即可得到a＞b，a＋2＞b＋2，－a＜－b.因此可能错误的是D.
2．[解析] C 在不等式a>b的两边同乘以－1，不等号的方向改变，即－a<－b.
3．[答案] B
4．[解析] D 3x－1≥x＋3，3x－x≥3＋1，2x≥4，x≥2.故选D.
5．[解析] A A中，3x－1<2x－2，可解得x<－1，A正确；B中，2x＋1>3x－1，可解得x<2，B错误；C中，2x＋1>x－1，可解得x>－2, C错误；D中，x＋2<2x－2，可解得x>4，D错误．
6．[解析] C ∵2x＋3>5，2x>5－3，2x>2，∴x>1.
7．[答案] D
8．[解析] D 3x＋4≤0，3x≤－4，x≤－.
9．[解析] C 解方程mx－1＝2x，得x＝(m 2)，由题意，得m－2>0，所以m>2.
10．[答案] (1)< (2)< (3)> (4)<
[解析] (1)在不等式的两边同时乘以－，不等号改变方向，即－<－.
(2)在不等式的两边同时减去2，得x>y，两边同时乘以－1，不等号改变方向，即－x<－y.
(3)在a＜b两边同时乘以－1，不等号改变方向，－a>－b，两边同时加上1，得1－a>1－b.
(4)在x－4＜y－4两边同时加上4，得x<y，再在不等式的两边同时乘以3得x11．[答案] x<－1
12．[答案] 1<1－b<1－a
[解析] 因为a＜b＜0，所以－a>－b>0，所以1－a>1－b>1，即1<1－b<1－a.
13．[答案] a[解析] 已知2a＋3b－1＞3a＋2b，由不等式的性质1，左右两边同时减去2a，
得3b－1＞a＋2b，再由不等式的性质1，左右两边同时减去2b，得b－1>a，所以a14．(1)x<－3 (2)x≤0 (3)x<－ (4)x<3 解集在数轴上表示略
15．解：(1)a>0，解得a>0.把解集表示在数轴上如下．
(2)2m＋1<7，2m<7－1，2m<6，m<3.把解集表示在数轴上如下．
16．解：(1)当a>0时，a＋a>a＋0，即2a>a；
当a<0时，a＋a(2)当a>0时，由2>1，得2·a>1·a，即2a>a；
当a<0时，由2>1，得2·a<1·a，即2a17．解：解不等式2x－m≥－3，两边都加上m，得2x≥－3＋m，两边都除以2，得x≥.由数轴知不等式的解集为x≥－2，所以＝－2，解得m＝－1.
18．解：ax－x－2>0，(a－1)x>2.
若a－1＝0，则不等式ax－x－2>0无解；
若a－1>0，则x>；
若a－1<0，则x<.
综上，当a＝1时，不等式无解；当a>1时，不等式的解集为x>；当a<1时，不等式的解集为x<.
8.2.2 不等式的简单变形
知识点 1 不等式的性质
1．若a＞3，则下列各式正确的是( )
A．a＋1＜4 B．a－3＜0
C．a－4＞－1 D．a－2＜1
2．2017·乐清市模拟若a＞b，则下列各式中一定成立的是( )
A．a＋2＜b＋2 B．a－2＜b－2
C.＞ D．－2a＞－2b
3．(1)若a＋3＞9，则a＞9－3，不等式变形的根据是______________；
(2)若a＜b，则－4a____－4b，这是根据______________．
4．若a＞b，用“＞”或“＜”填空：
(1)a－1____b－1，a＋3____b＋3，
a＋c____b＋c；
(2)－2a____－2b；
(3)____；
(4)－a－2____－b－2.
5．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图8－2－5所示，则下列关系中，正确的是( )
图8－2－5
A．ab>bc B．ac>ab
C．aba＋b
6．某同学说不等式2a＞3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2＞3这样的错误结论．你同意他的说法吗？若同意说明其依据；若不同意，说出错误的原因．
知识点 2 用不等式的性质解不等式
7．在不等式2x＋1＞0两边同时________得不等式2x＞－1，在不等式2x＞－1两边同时________，则原不等式的解集为________．
8．若代数式8－x的值大于0，则x的取值范围是________．
9. 根据不等式的性质，解下列不等式：
(1)x＞x－6；
(2)－0.3x＜－1.5.
10．把下列不等式变形为“xa”的形式，并在数轴上表示出来．
(1)x－2>3； (2)5x<4x－2；
(3)2x≥4x－3; (4)－x>.
11．若|a－3|＝－a＋3，则a的取值范围是( )
A．a≤3 B．a＜3
C．a≥3 D．a＞3
12. 关于x的不等式－2x＋a≥2的解集如图8－2－6所示，则a的值是( )
图8－2－6
A．0 B．2 C．－2 D．－4
13．若＜，则a必须满足( )
A．a≠0 B．a＜0
C．a＞0 D．a为任意数
14．下列推断中，正确结论的序号为________．
①若－a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则－a－c＜－b－c.
15．求不等式x－2≤1的所有正整数解的和．
16．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知a＞b，试比较－2019a＋1与－2019b＋1的大小．
解：因为a＞b，①
所以－2019a＞－2019b，②
故－2019a＋1＞－2019b＋1.③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
17．现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0)．
18．对于下列问题：a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2.如果结论保持不变，怎样改变条件，这个问题才是正确的？下面给出两种改法：
(1)a，b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2；
(2)a，b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2.
试利用不等式的性质说明这两种改法是否正确．
教师详解详析
1．C
2．C
3．(1)不等式的性质1 (2)＞ 不等式的性质3
4．(1)＞ ＞ ＞ (2)＜ (3)> (4)<
5．C
6．解：不同意他的说法．
∵a的值不确定，当a<0时，
∴利用不等式的性质在不等式两边同时除以a，不等号的方向发生改变，
则2<3是成立的．
7．减去1 除以2 x>－
8．x<8
9. 解：(1)原不等式的两边同时减去x，
得x＞－6.
不等式的两边同时乘以2，得x＞－12.
(2)原不等式的两边同时除以－0.3，不等号的方向改变，得x＞5.
10．解：(1)x>5.
(2)x<－2.
(3)x≤.
(4)x＜－.
11．A [解析] 由题意，得|a－3|＝－a＋3，由绝对值的定义可得a－3≤0，所以a≤3.
12. A [解析] 在不等式－2x＋a≥2的两边都加上－a，得－2x≥2－a；两边都除以－2，得x≤.由图知解集是x≤－1，∴＝－1，解得a＝0.
13．C [解析] 因为－3＞－4，所以－＜－.
又因为<，所以a>0.
14．①④⑤
15．解：不等式x－2≤1两边同时加上2，得x≤3，所以不等式的所有正整数解为3，2，1.所以不等式的所有正整数解的和为3＋2＋1＝6.
16．[解析] (1)由题意a＞b，不等式两边都乘以同一个负数，不等号改变方向，故②错误；
(2)对不等式的性质3应用错误；
(3)根据不等式的性质3(不等式两边同乘以一个负数，不等号方向要发生改变)来求解．
解：(1)②
(2)错误地运用了不等式的性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变．
(3)因为a＞b，所以－2019a＜－2019b，故－2019a＋1＜－2019b＋1.
17．解：(1)a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a；a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
(2)a＞0时，由2＞1，得2a＞a；a＜0时，由2＞1，得2a＜a.
18．[解析] 根据不等式的性质对两种改法进行逐一判断即可．
解：这两种改法都正确，理由如下：
(1)由a＞b，且a，b均为正数，利用不等式的性质2得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞b2.
(2)由a＜b，且a，b均为负数，利用不等式的性质3得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞b2.
