8.2.2 不等式的简单变形 导学案（含答案） (2)

8.2__解一元一次不等式
2.不等式的简单变形
教学目标
1．掌握不等式的三个性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形．
2．能在数轴上表示不等式的解集．
3．能利用不等式的性质解决简单的实际问题．
情景问题引入
找出班上最高的和最矮的两个同学，站在不同的位置上比高矮．
(1)请最高的同学和最矮的同学同时站在地面上；
(2)矮的同学站在椅子上，高的同学站在地面上；
(3)矮的同学站在地面上，高的同学站到楼下．
问题：怎样比才公平？
[学生用书P55]
不等式的性质
性质1：不等式的两边都加上(或减去)__同一个数或同一个整式__，不等号的__方向不变__．
符号语言：如果a＞b，那么a＋c__＞__b＋c，a－c__＞__b－c.
性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向__不变__．
符号语言：如果a＞b，并且c＞0，那么ac__＞__bc，__＞__.
性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__改变__．
符号语言：如果a＞b，并且c＜0，那么ac__＜__bc，__＜__.
[学生用书P55]
类型之一　根据不等式的性质对不等式进行变形
　(1)如果a＜b，那么a＋2__＜__b＋2，
理由：__不等式的性质1__；
(2)如果a＞0，那么a－m__＞__－m，
理由：__不等式的性质1__；
(3)如果a＞b，那么a__＞__b，
理由：__不等式的性质2__；
(4)如果m＜n，那么－5m__＞__－5n，
理由：__不等式的性质3__；
(5)如果－2x＞－2y，那么x__<__y，
理由：__不等式的性质3__．
【点悟】 (4)(5)中，不等式两边都乘(或除以)同一个负数，必须改变不等号的方向．
类型之二　逆用不等式的性质
　已知关于x的不等式(m－2)x≥m－2可化为x≤1，则m的取值范围是__m＜2__．
类型之三　利用作差法比较大小
　已知x＜y，试比较3＋2x与3＋2y的大小．
解：(3＋2x)－(3＋2y)
＝3＋2x－3－2y
＝2x－2y
＝2(x－y)．
∵x＜y，∴x－y＜0.
又∵2＞0，∴2(x－y)＜0.
∴3＋2x＜3＋2y.
【点悟】 作差法比较两数大小是比较大小最常用的方法之一．
　现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时，不等号的方向不变；乘的数(或整式)为负时，不等号的方向改变．
请解决以下两个问题：
(1)利用性质①，比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②，比较2a与a的大小(a≠0)．
解：(1)a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a；
a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a.
(2)a＞0时，由2＞1得2?a＞1?a，即2a＞a；
a＜0时，由2＞1得2?a＜1?a，即2a＜a.
【点悟】 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
[学生用书P55]
1．[2018·南宁]若m＞n，则下列不等式正确的是(　B　)
A．m－2＜n－2 B.＞
C．6m＜6n D．－8m＞－8n
【解析】 A．不等式两边同时减去一个相等的数，不等式的符号不改变，故A错误；B.不等式的两边同时除以一个相等的正数，不等式的符号不改变，故B正确；C.不等式的两边同时乘一个相等的正数，不等式的符号不改变，故C错误；D.不等式的两边同时乘一个相等的负数，不等式的符号改变，故D错误．
2．[2018·长春]不等式3x—6≥0的解集在数轴上表示正确的是(　B　)
,A) ,B)
,C) ,D)
【解析】 3x—6≥0，3x≥6，x≥2.
3．[2018·衢州]不等式3x＋2≥5的解集是(　A　)
A．x≥1 B．x≥
C．x≤1 D．x≤－1
4．[2018·广东]不等式3x－1≥x＋3的解集是(　D　)
A．x≤4 B．x≥4
C．x≤2 D．x≥2
【解析】 3x－1≥x＋3，3x－x≥3＋1，2x≥4，x≥2.
[学生用书P56]
1．[2018·本溪二模]若a＞b，则下列式子一定成立的是(　B　)
A．a＋b＞0 B．a－b＞0
C．ab＞0 D.＞0
【解析】 A．若0＞a＞b时，a＋b＜0，故错误；
B．在a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a－b＞0，故正确；
C．若a＞0＞b时，ab＜0，故错误；
D．若b＝0时，该不等式不成立，故错误．
2．[2018·涪城区模拟]以下说法正确的是(　A　)
A．若a＞|b|，则a2＞b2
B．若a＞b，则＜
C．若a＞b，则ac2＞bc2
D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
【解析】 A．若a＞|b|，则a2＞b2，故正确；
B．若a＞b，当a＝1，b＝－2时，则＞，故错误；
C．若a＞b，当c2＝0时，则ac2＝bc2，故错误；
D．若a＞b，c＞d，当a＝1，b＝－1，c＝－2，d＝－4，则a－c＝b－d，故错误．
3．[2018·嘉兴]不等式1－x≥2的解在数轴上表示正确的是(　A　)
,A) ,B)
,C) ,D)
【解析】 解不等式1－x≥2，得x≤－1，故选A.
4．用不等号或等号填空：
(1)若a－b＜0，则a__＜__b；
(2)若b＜0，则a＋b__<__a；
(3)若a＝0，则a＋b__＝__b；
(4)若b＜a＜z，则(a－z)(b－z)__＞__0；
(5)若＜0，则ab__＜__0.
5．根据不等式的性质，把下列不等式变形为“x＜a”或“x＞a”的形式．
(1)8x－7＜15；　　　　　(2)4x－＜5x＋1.
解：(1)不等式的两边都加上7，得8x＜15＋7.
合并同类项，得8x＜22.
不等式两边都除以8，不等号方向不变，得
8x÷8＜22÷8，即x＜.
(2)不等式的两边都加上，得
4x－5x＜1＋.
合并同类项，得－x＜.
不等式两边都除以－1，不等号方向改变，得
－x÷(－1)＞÷(－1)，即x＞－.
6．[2018·江汉油田]点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a、b.下列结论错误的是(　C　)
A．|b|＜2＜|a| B．1－2a＞1－2b
C．－a＜b＜2 D．a＜－2＜－b
【解析】 根据有理数的位置，在坐标轴上作出－a，－b，由数轴的概念可知a＜－2＜－b＜0＜b＜2＜－a.∵a＜0＜b，∴|a|＝－a，|b|＝b.
A．|b|＜2＜|a|，b＜2＜－a.故A正确；
B．1－2a＞1－2b，∵a＜b，∴－2a＞－2b，1－2a＞1－2b，故B正确；
C．－a＜b＜2应是b＜2＜－a，故C错误；
D．a＜－2＜－b，故D正确．
7．若x＜y，且(a－3)x＞(a－3)y，则a的取值范围是__a＜3__．
8．如图所示，请你替小键同学解答以下问题．
解：设还能买辞典x本．
依题意，有20×65＋40x≤2 000，
解得x≤17.5.
∵x为正整数，∴x的最大值为17.
答：最多还能买辞典17本．
9．根据不等式的性质1，我们可以得到比较两数大小的方法：
若A－B＞0，则A＞B;
若A－B＝0，则A＝B；
若A－B＜0，则A＜B.
这种比较大小的方法称为“作差比较法”．
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
判断4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小．
解：4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)
＝4＋3a2－2b＋b2－3a2＋2b－1
＝3＋b2.
∵b2≥0，∴3＋b2≥3＞0，
即4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＞0，
∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.