8.2 3. 第1课时 一元一次不等式及其解法
一、选择题
1．下列不等式中，为一元一次不等式的是( )
A．x＋2y＜3 B.＜2
C．x2＋x＞2 D.－1＞0
2．不等式3x＋2>－1的解集是( )
A．x>－ B．x<－
C．x>－1 D．x<－1
3．2018·南充不等式x＋1≥2x－1的解集在数轴上表示为( )
图1
4．解不等式1－＜时，下列去分母正确的是( )
A．6－x－2＜2(2x－1)
B．1－x＋2＜2(2x－1)
C．6－x＋2＜2(2x－1)
D．6－x＋2＜2x－1
5．若代数式x－4的值不大于6，则x的取值范围是( )
A．x＞15 B．x≥15
C．x＜15 D．x≤15
6．不等式>－1的正整数解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．若(k－3)x|k|－2<2是关于x的一元一次不等式，则k＝________．
8．写出一个解集为x≥1的一元一次不等式：________．
9．不等式3(x＋2)－7＜4(x－1)的解集是______．
图2
10．在有理数范围内规定新运算“△”，其运算规则是：a△b＝2a－b.已知关于x的不等式x△k≥1的解集在数轴上表示如图2所示，则k的值是________．
11．代数式1－的值不大于代数式的值，则x的取值范围是__________．
12．不等式(x－m)>3－m的解集为x>1，则m的值为________．
三、解答题
13．[2017·舟山] 小明解不等式－≤1的过程如下，请指出他的解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1，①
去括号，得3＋3x－4x＋1≤1，②
移项，得3x－4x≤1－3－1，③
合并同类项，得－x≤－3，④
两边都除以－1，得x≤3.⑤
14．2018·湖州解不等式≤2，并把它的解集表示在数轴上．
15．已知不等式5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7的最小正整数解为方程2x－ax＝3的解，求代数式4a－的值．
16．若不等式3(x－1)≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n的取值(范围)．
17．阅读理解：我们把称作二阶行列式，其运算法则为＝ad－bc，如＝2×5－3×4＝－2.如果>0，求x的取值范围．
18.已知关于x，y的方程组满足x>2y，求a的取值范围．
19 [新定义题] 定义新运算：对任意有理数a，b都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.
(1)求(－2)⊕3的值；
(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并将其在如图3所示的数轴上表示出来．
图3
教师详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D A项，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式；B项，分母中含字母x(即未知数)，因此不是一元一次不等式；C项，含未知数的项的最高次数是2而不是1，故不是一元一次不等式．
2．[答案] C
3．[解析] B x＋1≥2x－1，x－2x≥－1－1，－x≥－2，x≤2.故选B.
4．[解析] C “1”不要漏乘最小公倍数，还要记住去掉分母后分数线有括号的作用．
5．[解析] D 根据题意，得x－4≤6，解得x≤15.
6．[解析] D 解不等式>－1，得x<5，则正整数解有1，2，3，4，一共4个．
7．[答案] －3
[解析] 根据一元一次不等式的概念，知|k|－2＝1且k－3≠0，所以k＝－3.
8．[答案] 答案不唯一，如x－≥0
9．[答案] x＞3
10．[答案] －3
[解析] 根据题意，得2x－k≥1，解不等式，得x≥.由数轴知，不等式的解集为x≥－1，所以＝－1，解得k＝－3.
11．[答案] x≥
[解析] 解不等式1－≤即可．
12．[答案] 4
[解析] 去分母，得x－m>9－3m，∴x>9－2m，∴9－2m＝1，解得m＝4.
13．解：错误的是①②⑤.正确的解答过程如下：
去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6，
去括号，得3＋3x－4x－2≤6，
移项，得3x－4x≤6－3＋2，
合并同类项，得－x≤5，
两边都除以－1，得x≥－5.
14．解：去分母，得3x－2≤4.
移项、合并同类项，得3x≤6.
系数化为1，得x≤2.
把解集表示在数轴上如下：
15．解：解不等式5(x－2)＋8＜6(x－1)＋7，得x＞－3，
∴x的最小正整数的值是1，即x＝1.
把x＝1代入方程2x－ax＝3，得2－a＝3，
∴a＝－1，
∴4a－＝4×(－1)－＝10.
16．解：由一元一次不等式的概念，得
m＝0，n－3≠0，
解得n≠3.
即m＝0，n 3.
17．解：由题意得2x－(3－x)>0，2x－3＋x>0，
3x>3，所以x>1.
18．解：解方程组 得由题意得>a－1，解此不等式得a<3.
[素养提升]
解：(1)(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×
(－5)＋1＝10＋1＝11.
(2)∵3⊕x<13，
∴3(3－x)＋1<13，9－3x＋1<13，－3x<3，
∴x>－1.
将其在数轴上表示如图所示．
8.2 3. 第2课时 运用一元一次不等式解决实际问题
1．不等式1－2x＜5－x的负整数解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料种类
甲种原料
乙种原料
维生素C含量(单位/千克)
500
200
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4100单位的维生素C.若所需甲种原料的质量为x千克，则x应满足的不等式为( )
A．500x＋200(10－x)≥4100
B．200x＋500(100－x)≤4100
C．500x＋200(10－x)≤4100
D．200x＋500(100－x)≥4100
3．[2017·齐齐哈尔] 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买 ( )
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
4．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打( )
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
二、填空题
5．对一个有理数x按如图1所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个有理数x”到“结果是否大于88？”为一次操作，若只进行一次操作就停止，则x的取值范围是________．
图1
6．有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210 kg，每捆材料重20 kg，电梯最大负荷为1050 kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载________捆材料．
7．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲种饮料每瓶7元，乙种饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲种饮料．
8．某经销商销售一批电话手表，第一个月以600元/块的价格售出60块，从第二个月起降价，以550元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.8万元．这批电话手表至少有________块．
9．2018·山西2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为________ cm.
三、解答题
10．小红读一本500页的科普书，计划10天内读完，但前5天只读了100页，则从第六天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完？
11．为实现区域教育均衡发展，某市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．已知改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？
12．2018·葫芦岛某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用．修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．
(1)修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？
(2)该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场．
13．[2017·山西] “春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一.2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg.请解答下列问题：
(1)求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩；
(2)2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？
图2
14 [方案探究] 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元(x>300)．
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠，并说明理由．
1．[解析] B 解不等式1－2x＜5－x，得x>－，负整数解有－1，－2.
2．[解析] A 因为所需甲种原料的质量为x千克，所以所需乙种原料的质量为(10－x)千克，由题意，得500x＋200(10－x)≥4100.
3．[解析] A 设购买篮球x个，则购买足球(50－x)个，由题意得80x＋50(50－x)≤3000，
解得x≤，∴篮球最多可购买16个．
4．[解析] B 设可打x折，则有1200x×0.1≥800×(1＋0.05)，解得x≥7.故选B.
5．[答案] x＞49
[解析] 第一次的结果为2x－10，
由题意得2x－10>88，解得x>49.
故x的取值范围是x>49.
6．[答案] 42
7．[答案] 3
[解析] 设小宏买了x瓶甲种饮料，则小宏买了(10－x)瓶乙种饮料，
根据题意，得7x＋4(10－x)≤50，
解得x≤，x取最大正整数3.
8．101 [解析] 设这批电话手表有x块，根据题意，得600×60＋(x－60)×550＞58000，
解得x＞100，∴这批电话手表至少有101块．
9．55 [解析] 设符合此规定的行李箱的长为8x cm，高为11x cm，由题意可得20＋8x＋11x≤115，
解得x≤5，
∴11x≤55，
即符合此规定的行李箱的高的最大值为55 cm.
10．解：设从第六天起，平均每天要读x页，
根据题意，得
100＋5x≥500，
解得x≥80.
答：从第六天起平均每天至少要读80页，才能按计划读完．
11．解：(1)设改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别为a万元和b万元．
根据题意，得解得
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别为60万元和85万元．
(2)设该县有A，B两类学校分别为m所和n所．
根据题意，得60m＋85n＝1575，得m＝－n＋.
∵A类学校不超过5所，
∴－n＋≤5，
解得n≥15.
答：B类学校至少有15所．
12．解：(1)设修建一个足球场需x万元，修建一个篮球场需y万元．
根据题意，得解得
答：修建一个足球场需3.5万元，修建一个篮球场需5万元．
(2)设修建足球场a个，则修建篮球场(20－a)个．
根据题意，得3.5a＋5(20－a)≤90，
解得a≥.
答：至少可以修建7个足球场．
13．解：(1)设我省2016年谷子的种植面积为x万亩，
由题意得x＋(2000－x)＝150，
解得x＝300.
答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．
(2)设我省今年应再多种植y万亩的谷子，
由题意得(300＋y)≥52，
解得y≥25.
答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．
14 解：(1)在甲超市购物所付的费用：
300＋0.8(x－300)＝(0.8x＋60)元；
在乙超市购物所付的费用：
200＋0.85(x－200)＝(0.85x＋30)元．
(2)当0.8x＋60＝0.85x＋30时，解得x＝600.
∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x＋60>0.85x＋30时，解得x<600，而x>300，∴300即当顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市购物更优惠；
当0.8x＋60<0.85x＋30时，解得x>600，即当顾客购物超过600元时，到甲超市购物更优惠．
