课件24张PPT。1 认识三角形第四章 三角形第1课时 三角形的边1. 由________________的三条线段__________相接所组成的图形叫做三角形，三角形有__________条边、__________个内角和__________个顶点. “三角形”用符号“__________”表示，顶点是A，B，C的三角形，可记作“__________”.
2. 三角形的任意两边之和__________第三边.
3. 三角形三个内角的和__________180°.
不在同一直线上首尾顺次三三三△△ABC大于等于
4. 直角三角形的两个锐角__________.
5. 按三角形内角的大小把三角形分为三类：_____________、_____________、______________.互余锐角三角形直角三角形钝角三角形【例1】如图4-1-1，图中有几个三角形？把它们表示出来，并写出∠B的对边.解：图中的三角形有5个：△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC；∠B的对边有：DE，AD，AC.【例2】如图4-1-3所示的图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角.
解：图中共有7个三角形，分别是△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.1. 如图4-1-2所示的图形中共有三角形 （ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 8个D2. 如图4-1-4，三角形的个数为
（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个C【例3】下列说法正确的是 （ ）
A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形
B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形D【例4】如图4-1-5中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号表示这些三角形.解：共有6个三角形.
其中锐角三角形有2个：
△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：
△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC.3. 下列说法正确的是 （ ）
A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是
等边三角形
B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三
角形
C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是
等边三角形
D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是
直角三角形D4. 三角形按边分类可分为 （ ）
A. 不等边三角形、等边三角形
B. 等腰三角形、等边三角形
C. 不等边三角形、等腰三角形、等边三角形
D. 不等边三角形、等腰三角形
D【例5】一个三角形的两边b=4，c=7，试确定第三边a的范围. 当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少？解：当一个三角形的两边b=4，c=7时，第三边a的范围为7-4＜a＜7+4，即3＜a＜11.
当各边均为整数时，第三边可能为：4，5，6，7，8，9，10. 因此共有7个三角形.
当a=4或a=7时，这个三角形为等腰三角形.其各边长分别为：4，7，4；4，7，7.【例6】三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于20，求三边的长.解：设三角形三边的长分别为x-1，x，x+1，则x-1+x＞x+1.解得x＞2.
所以x-1+x+x+1＜20.解得x＜ .
所以2＜x＜ 且x为整数.
所以x为3，4，5，6.
当x=3时，三角形三边为2，3，4；
当x=4时，三角形三边为3，4，5；
当x=5时，三角形三边为4，5，6；
当x=6时，三角形三边为5，6，7.5. 若三角形中的两边长分别为9和2，第三边长为偶数，求三角形的周长.解：设第三边长为x,则7因为x为偶数,所以x=8或10.
当x=8时,三角形周长为9+2+8=19；
当x=10时,三角形周长为9+2+10=21.
6. a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6.
（1）求c的取值范围；
（2）若△ABC的周长为18，求c的值.（2）因为△ABC的周长为18，a+b=3c-2，
所以a+b+c=4c-2=18.
解得c=5.
新知1 三角形的有关概念1. 在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD.以下图形符合上述描述的是 （ ）C2. 如图4-1-6，图中以AB为边的三角形的个数是 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A新知2 三角形的分类3. 至少有两边相等的三角形是 （ ）
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 锐角三角形
B4. 下列说法正确的有 （ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
A. ①② B. ①③④
C. ③④ D. ①②④C新知3 三角形的三边关系5.以下列各组线段为边，能组成三角形的是 （ ）
A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm，5 cm，8 cm
C. 3 cm，4 cm，5 cm D. 4 cm，5 cm，10 cm
6. 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c
-a-b|的结果为 （ ）
A. 2a+2b-2c B. 2a+2b
C. 2c D. 0
7. 一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是__________.C7或9D8. 已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足
（b-2）2+|c-3|=0，且a为方程|a-4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.解：因为（b-2）2+|c-3|=0，
所以b-2=0，c-3=0.
解得b=2，c=3.
因为a为方程|a-4|=2的解，
所以a-4=±2.
解得a=6或2.
因为a,b,c为△ABC的三边长，b+c＜6，
所以a=6不合题意，舍去.
所以a=2.
所以△ABC的周长为2+2+3=7.
所以△ABC是等腰三角形.9. 如图4-1-7，点O是△ABC内的一点，证明：
OA+OB+OC＞ （AB+BC+CA）.课件33张PPT。1 认识三角形第四章 三角形第2课时 三角形的高、中线与角平分线1. 如图4-1-8，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有__________个.2. 如图4-1-9，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为__________.633. 如图4-1-10，在△ABC中，AD,BE,CF是△ABC的高，交点为H，则△AHC的三边上的高分别为______________.HE，AF，CD4. 如图4-1-11，AD是△ABC的中线，
已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC
长6 cm，则△ACD的周长为_____cm.
5. 若一个三角形三条高的交点在这
个三角形的顶点上，则这个三角形是______三角形.19直角【例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）C【例2】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（ ）D1. 如图4-1-12，△ABC中BC边上的高是 （ ）
A. BD
B. AE
C. BE
D. CFB2. 下列各图中，正确画出AC边上的高的是 （ ）D【例3】如图4-1-13，已知△ABC的周长为24 cm，AD是BC边上的中线，AD= AB，AD=5 cm，△ABD的周长是18 cm，求AC的长.【例4】如图4-1-15，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5 cm，AB与AC的和为
13 cm，求AC的长.解：因为AD是BC边上的中线，
所以D为BC的中点，CD=BD.
因为△ADC的周长-△ABD的周长=5,
所以AC-AB=5（cm）.
又因为AB+AC=13（cm），
所以AC=9（cm）,
即AC长9 cm.3. 如图4-1-14，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长.解：因为AD是BC边上的中线，AC=2BC，
所以BD=CD.
设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，
分为两种情况：
①AC+CD=60，AB+BD=40，
则4x+x=60，x+y=40.
解得x=12，y=28.
即AC=4x=48，AB=28.
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+y=60，
解得x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16.
此时不符合三角形三边关系定理,故舍去.
综上所述,AC=48，AB=28.4. 如图4-1-16，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC=8 cm，求边AC的长.解：因为CD为△ABC的AB边上的中线，
所以AD=BD.
因为△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
所以（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3（cm）.
所以BC-AC=3（cm）.
因为BC=8 cm，
所以AC=5（cm）.
【例5】如图4-1-17，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数.【例6】如图4-1-19，△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的角平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠AEC、∠BOE的度数.5. 如图4-1-18，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线.
（1）求∠DAE的度数；
（2）指出AD是哪几个三角形的高.解：（1）因为AD⊥BC于D，
所以∠ADB=∠ADC=90°.
因为∠ABC=40°，∠C=60°，
所以∠BAD=50°，∠CAD=30°.
所以∠BAC=50°+30°=80°.
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE=40°.
所以∠DAE=50°-40°=10°.
（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高.6. 已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD,AC于点F,E，求证：∠CFE=∠CEF.新知1 三角形的高 1. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 （ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 都有可能C2. 画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是 （ ）C3. 如图4-1-21，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是 （ ）
A. △ABC中，AD是BC边上的高
B. △GBC中，CF是BG边上的高
C. △ABC中，GC是BC边上的高
D. △GBC中，GC是BC边上的高C新知2 三角形的中线4. 三角形一边上的中线把原三角形分成两个 （ ）
A. 形状相同的三角形
B. 面积相等的三角形
C. 直角三角形
D. 周长相等的三角形B5. 如图4-1-22，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，AF是BC边上的中线，则下列线段中，最短的是
（ ）
A. AB
B. AE
C. AD
D. AFC新知3 三角形的角平分线 6. 如图4-1-23，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则正确结论的个数为 （ ）
①AD平分∠BAF；
②AF平分∠DAC；
③AE平分∠DAF；
④AE平分∠BAC
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个B7. 如图4-1-24，在△ABC中，∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（ ）
A. BC是△ABE的高
B. BE是△ABD的中线
C. BD是△EBC的角平分线
D. ∠ABE=∠EBD=∠DBC
D8. 如图4-1-25，若AE是△ABC边BC上的高，AD是∠EAC的平分线交BC于D.若∠ACB=40°，则∠DAE=__________.25°9. 如图4-1-26，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数.解：因为∠CAB=50°，∠C=60°,
所以∠ABC=180°-50°-60°=70°.
又因为AD是高，所以∠ADC=90°.
所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°.
因为AE,BF是角平分线，
所以∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°.
所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°.
所以∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°.
故∠DAE=5°，∠BOA=120°.
课件26张PPT。2 图形的全等第四章 三角形1. 两个能够完全重合的图形称为__________，能够完全重合的三角形称为_____________.
2. 如果两个图形全等，那么这两个图形的形状______，大小__________.
3. 全等三角形的对应边_________，对应角_________. 记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在__________的位置上.
全等图形全等三角形相同相同相等相等对应4. 同一底片冲洗出来的两张一寸照片__________全等图形；同一底片冲洗出来的一张一寸照片和一张二寸照片__________全等图形. （两空均填“是”或“不是”）
5. 下列图形与如图4-2-1所示的图形全等的是 （ ）D是不是6. 下列结论正确的是 （ ）
A. 形状相同的两个图形是全等图形
B. 全等图形的面积相等
C. 对应角相等的两个三角形全等
D. 两个等边三角形全等
B【例1】找出七巧板（如图4-2-2）中全等的图形.解:由图4-2-2知：△ADE与△CDE，△EHK与△JCF，△ADC与△ABC，四边形AGKE与四边形CFKE，四边形AGKD与四边形CFKD是全等的图形.【例2】如图4-2-4，将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几个.1. 请在图4-2-3中把等边三角形分成2个、3个、4个全等的三角形.2. 如图4-2-5，一块土地上共有20棵果树，要把它们平均分给四个小组去种植，并且要求每个小组分得的果树组成的图形、形状大小要相同，应该怎样分？【例3】如图4-2-6，△ABD是△ABC沿AB边所在直线翻折得到的，已知∠C=100°，∠ABC=30°，则∠CAD=_____.100°【例4】如图4-2-8，△ABC与△CDA是全等三角形，则一定是一组对应边的是 （ ）
A. AB和DC
B. AC和CA
C. AD和CB
D. AD和DCB3. 如图4-2-7，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是 （ ）
A. ∠1=∠2
B. AC=CA
C. AB=AD
D. ∠B=∠DC4. 如图4-2-9，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△A
CE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是 （ ）
A. AC=CD
B. BE=CD
C. ∠ADE=∠AED
D. ∠BAE=∠CADA新知1 全等图形的定义和性质 1. 下列图形中，属于全等形的是 （ ）B2. 下列四组图形中，是全等图形的一组是 （ ）D3. 对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有 （ ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A4. 在下列每组图形中，是全等形的是 （ ）
5. 下列说法正确的是 （ ）
A. 全等三角形是指形状相同的三角形
B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形
C. 全等三角形的周长和面积相等
D. 所有等边三角形是全等三角形CC新知2 全等三角形的定义及性质6. 如图4-2-10，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是 （ ）
A. BE=EC
B. BC=EF
C. AC=DF
D. △ABC≌△DEFA7. 下列说法正确的是 （ ）
A. 两个等边三角形一定全等
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 形状相同的两个三角形全等
D. 全等三角形的面积一定相等D8. 如图4-2-11，△ABC≌△ADE，如果AB=5 cm，BC=7 cm，AC=6 cm，那么DE的长是 （ ）
A. 6 cm
B. 5 cm
C. 7 cm
D. 无法确定C9. 如图4-2-12，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC、DE相交于点F，则∠DFB的度数是
（ ）
A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
10. △ABC全等于△DEF，用式子表示为_____________.B△ABC≌△DEF11. 试在图4-2-13中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别割成两个全等的图形.12. 如图4-2-14，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案.课件23张PPT。3 探索三角形全等的条件第四章 三角形第1课时 探索三角形全等的条件（一）1. 判断对错，对的画“√”，错的画“×”.
（1）两个三角形的三个角都分别是60°，30°，90°，则这两个三角形一定全等. （ ）
（2）满足三个条件对应相等的两个三角形一定是全等三角形. （ ）
（3）有两边对应相等的两个三角形全等. （ ）
×××
（4）有两边及其一角对应相等的两个三角形全等.（ ）
（5）有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （ ）
（6）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
（ ） × ×√2. 下列说法正确的是 （ ）
A. 两个直角三角形全等
B. 两个等腰三角形全等
C. 两个等边三角形全等
D. 两条直角边对应相等的直角三角形全等D3. 如图4-3-1，AB=DB，BC=BE. 要使△ABE≌△DBC，则需补充的条件是 （ ）
A. ∠A=∠D
B. ∠E=∠C
C. ∠D=∠E
D. ∠1=∠2
D4. 如图4-3-2，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ）
A. AB=AC
B. ∠BAC=90°
C. BD=AC
D. ∠B=45°A5. 如图4-3-3，已知AC和BD相交于O，且BO=DO，AO=CO，下列判断正确的是 （ ）
A. 只能证明△AOB≌△COD
B. 只能证明△AOD≌△COB
C. 只能证明△AOB≌△COB
D. 能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
D【例1】如图4-3-4，OA=OB，AC=BC. 那么∠AOC=∠BOC，说明你的理由.
解：在△AOC和△BOC中，
OA=__________，AC=__________，
OC=__________，
所以__________≌__________（SSS）.
所以∠AOC=∠BOC （_________________________）.OBBCOC△AOC△BOC全等三角形的对应角相等【例2】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图4-3-6，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是 （ ）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AASA1. 如图4-3-5，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，试说明：△ABC≌△DCB的理由.解：在△ABC和△DCB中，
AB=DC,BC=CB,AC=DB，
所以△ABC≌△DCB （SSS）.2. 如图4-3-7，AB=AE，AC=AD，BD=CE，△ABC与△AED全等吗？试说明理由.解：△ABC≌△AED.
因为BD=CE，
所以BD-CD=CE-CD,
所以BC=ED.
在△ABC和△AED中，
AB=AE,AC=AD,BC=ED，
所以△ABC≌△AED（SSS）.
【例3】如图4-3-8，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，DF=BE. 试说明△ADE≌△CBF.解：因为AE∥CF，所以∠AED=∠CFB.
因为DF=BE，
所以DF+EF=BE+EF，即DE=BF.
在△ADE和△CBF中，
AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，
所以△ADE≌△CBF （SAS）. 【例4】如图4-3-10，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.3. 如图4-3-9，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，试说明BC=DE.解：因为∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
所以△ABC≌△ADE（SAS）. 所以BC=DE.4. 如图4-3-11，AC与BD相交于点O，AO=DO，∠1=∠2，试说明△ABC≌△DCB的理由.解：因为∠1=∠2，
所以OB=OC.
因为AO=DO，
所以AC=BD.
在△ABC和△DCB中，
AC=DB,∠1=∠2,BC=CB,
所以△ABC≌△DCB （SAS）.
新知1 三角形全等的条件——“边边边”（SSS）及其应用 1. 如图4-3-12，在△ABM和△CDN中，A，C，B，D在同一条直线上，MB=ND，MA=NC，则下列条件中能判定△ABM≌△CDN的是 （ ）
A. ∠MAB=∠NCD
B. ∠MBA=∠NDC
C. AC=BD
D. AM∥CNC2. 如图4-3-13，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是 （ ）
A. ①或②
B. ②或③
C. ①或③
D. ①或④A新知2 三角形全等的条件——“边角边”（SAS）及其应用3. 如图4-3-14，EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DFB，只要 （ ）
A. AB=CD
B. EC=BF
C. ∠A=∠D
D. AB=BCA4. 如图4-3-15，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需 （ ）
A. AB=DC
B. OB=OC
C. ∠C=∠D
D. ∠AOB=∠DOCB5. 如图4-3-16，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 （ ）
A. CB=CD
B. ∠BCA=∠DCA
C. ∠BAC=∠DAC
D. AC平分∠DABB6. 如图4-3-17，AB=AC，AE=AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是 （ ）
A. ∠B=∠C
B. ∠D=∠E
C. ∠BAC=∠EAD
D. ∠B=∠E
7. 如图4-3-18，∠ABC=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为：__________（只添加一个条件即可）.
CBC=EF8. 如图4-3-19，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：△ABD≌△AEC.9. 如图4-3-20,AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB.
求证：△EAD≌△CAB.课件27张PPT。3 探索三角形全等的条件第四章 三角形第2课时 探索三角形全等的条件（二）1. 如图4-3-21，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD.你补充的条件是_________________________（只填一个）.AC=BD（或∠CBA=∠DAB）2. 如图4-3-22，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，要证明△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是________.
3. 如图4-3-23，AB∥CD，点E是线段CD上的一点，BE交AD于点F，EF=BF，CD=10，AB=8，CE=__________.
AD=AE24. 在△ABC和△DEF 中，已知①AB=DE，②AC=DF，③∠A=∠D，④∠B=∠E，请你选择其中的三个条件，使△ABC≌△DEF，你选择的一组序号为_____________
____________.【例1】如图4-3-24，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF. AB与DC相等吗？为什么？解：AB与DC相等.
因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.
因为AF∥DE，
所以∠AFB＝∠DEC.
又因为BE＝CF，
所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∠B＝∠C，BF＝CE，∠AFB＝∠DEC，
所以△ABF≌△DCE （ASA）. 所以AB＝DC.【例2】如图4-3-26，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC.1. 如图4-3-25，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB. AC与DB相等吗？试说明理由.解：AC与DB相等.
在△ABC和△DCB中,
因为∠2=∠1，BC为公共边，
∠ABC=∠DCB，
所以 △ABC≌△DCB （ASA），
所以 AC=DB.2. 如图4-3-27，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点. △AOB与△COD全等吗？为什么？解：△AOB与△COD全等.
因为∠AOD=∠BOC，
所以∠AOD+∠DOB=∠BOC+∠BOD.
即∠AOB=∠COD.
因为O是AC的中点，
所以AO=CO.
在△AOB与△COD中，
∠A=∠C，AO=CO,∠AOB=∠COD，
所以△AOB≌△COD（ASA）.【例3】如图4-3-28，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C. 那么AB与DC相等吗？为什么？解：AB与DC相等.
因为点E，F在BC上，BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
因为∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，
所以△ABF≌△DCE （AAS）.
所以AB=DC. 【例4】如图4-3-30，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F.
求证：△BED≌△CFD.3. 如图4-3-29，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点F，且BD=CE，问：AB与AC具有什么关系？并说明理由.解：AB=AC.
理由如下：
因为CD⊥AB，BE⊥AC，
所以∠CEF=∠BDF=90°.
又因为∠1=∠2，CE=BD，
所以△CEF≌△BDF （AAS）.
所以CF=BF，EF=DF.
所以CF+FD=BF+FE，即CD=BE.
在△ABE和△ACD中，
∠A=∠A，∠BEA=∠CDA=90°，BE=CD，
所以△ABE≌△ACD （AAS）. 所以AB=AC.4. 如图4-3-31,已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，请添加一个条件：__________，使△ABC≌△ADE，并说明理由.条件：∠C=∠E（条件不唯一）
因为∠BAD=∠CAE，
所以∠BAD+∠CAD=
∠CAE+∠CAD，
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC与△ADE中，
∠C=∠E,∠BAC=∠DAE,AB=AD,
所以△ABC≌△ADE （AAS）.
新知1 三角形全等的条件——“角边角”（ASA）及其应用1. 下列说法中：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.
正确的是 （ ）
A. ①和②
B. ②和③
C. ①和③
D. ①②③C2. 根据已知条件，能画出唯一△ABC的是 （ ）
A. AC=4，AB=5，BC=10
B. AC=4，AB=5，∠B=60°
C. ∠A=50°，∠B=60°，AB=2
D. ∠C=90°，AB=5C3. 在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，分别补充下列条件中的一个条件：①AC=DF；②∠B=∠E；③∠C=∠F；④BC=EF，其中能判断△ABC≌△DEF的有
（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④A新知2 三角形全等的条件——“角角边”（AAS）及其应用4. 如图4-3-32，已知∠1=∠2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有 （ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个C5. 如图4-3-33，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≌△DAE的是 （ ）
A. AC=AE
B. BC=DE
C. ∠B=∠D
D. ∠C=∠EB6. 一定能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D
C. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D
D. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
A7. 如图4-3-34，已知B、C在线段AD上，且MB=ND，∠MBA=∠NDC，请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，你添加的条件是__________________________________.∠M=∠N或∠A=∠NCD或AM∥CN或AB=CD8. 如图4-3-35，在△ABC中，∠B=∠C，AB=10 cm，BC=8 cm，D为AB的中点，点P在线段上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线
段CA上以相同速度由点C向点A运
动，一个点到达终点后另一个点
也停止运动.当△BPD与△CQP全
等时，求点P运动的时间.9. 如图4-3-36，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点 D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°.求证：△ADC≌△CEB.课件25张PPT。4 用尺规作三角形第四章 三角形1. 判断对错，对的画“√”，错的画“×”.
（1） 只要知道三角形的三个基本元素，就可以作出唯一的三角形. （ ）
（2） 用量角器作一个角等于已知角也是尺规作图的一种. （ ）
（3） 已知两边和一角一定能作出唯一的三角形.（ ）
（4） 作一个角等于已知角是尺规作图中最常见的基本作图之一. （ ）×××√2. 用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知的条件是 （ ）
A. 三角形的两条边和它们的夹角
B. 三角形的三条边
C. 三角形的两个角和它们的夹边
D. 三角形的三个角A3. 根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是 （ ）
A. AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm
B. AB=3cm，BC=7cm，∠C=40°
C. ∠A=30°，AB=3cm，∠B=100°
D. ∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°C4. 小明在画△ABC的高时，操作如图4-4-1，CD⊥BC于点C，交AB的延长线于点D，则CD是△ABC的 （ ）
A. BC边上的高
B. AB边上的高
C. AC边上的高
D. 以上都不对D【例1】已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段a，b，c，如图4-4-2.
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.
（2） 分别以点B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于点A；（3） 连接AB，AC，则△ABC就是所求作的三角形.【例2】已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是 （ ）
A. 作已知角的平分线
B. 作已知线段的垂直平分线
C. 过一点作已知直线的高
D. 作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段D1. 如图4-4-3，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 （ ）
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个B2. 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ）
A. 作一个角等于已知角
B. 作已知直线的垂线
C. 作一条线段等于已知线段
D. 作角的平分线C新知 作图的方法1. 已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB的作法的合理顺序是 （ ）
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；
③分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C
A. ①②③ B. ②①③
C. ②③① D. ③②①C2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图4-4-4，下列叙述正确的个数为 （ ）
①OA=O′A′； ②OB=O′B′；
③CD=C′D′；④∠AOB=∠A′O′B′
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个B3. 下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高的是（ ）
B4. 如图4-4-5，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹的正确画法是 （ ）
A. 以点E为圆心，线段AP为半径的弧
B. 以点E为圆心，线段QP为半径的弧
C. 以点G为圆心，线段AP为半径的弧
D. 以点G为圆心，线段QP为半径的弧D5. 如图4-4-6，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹是 （ ）
A. 以点B为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DC为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DC为半径的弧D6. 如图4-4-7，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C=140°，则∠AHC的大小是
（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 40°A7. 如图4-4-8所示的尺规作图的痕迹表示的是 （ ）
A. 尺规作线段的垂直平分线
B. 尺规作一条线段等于已知线段
C. 尺规作一个角等于已知角
D. 尺规作角的平分线A8.“过直线外一点作已知直线的垂线”.下列尺规作图中对应的正确作法是 （ ）
C9. 如图4-4-9，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 （ ）
A. SAS
B. SSS
C. AAS
D. ASAB10. 如图4-4-10，在△ABC中，∠ACB=80°，∠ABC=60°.按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D.则∠ADB的度数为__________.100°11. 如图4-4-11，使用圆规作图，看图填空：
（1）在射线AM上________线段________=_____；
（2）以点__________为圆心，以线段__________为半径作弧交__________于点__________；
截取ABaArFBC
（3）分别以点__________和点__________为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点__________和点__________；
（4）以点__________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边______，_____于点_____，点_____.PQMNOOAOBCD12. 如图4-4-12，已知△ABC，用尺规作出BC边上的高AD（保留作图痕迹，不写作法）.13. 如图4-4-13，平面上有四个点A，B，C，D，按照以下要求完成问题：
（1）连接AB并延长AB至E，使BE=AB；
（2）作射线BC；
（3）过点C作直线AD的垂线，垂足为F；
（4）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短.（2）如答图4-4-3，射线BC为所作.（3）如答图4-4-3，CF为所作.（4）如答图4-4-3，点G为所作.课件29张PPT。5 利用三角形全等测距离第四章 三角形1. 如图4-5-1，AB∥CD，E，F是BD上的两点，且AE∥CF，BF=DE，AE=5cm，则CF=__________.5cm2. 为了测量A，B两点间的距离，小强设计了如图4-5-2所示的4种测量方案，根据小强的设计，能使CD=AB的有 （ ）
A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ③④B3. 把等腰直角三角形ABC，按如图4-5-3所示立在桌上，顶点A在桌面上，若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，垂足之间的距离DE的长为 （ ）
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 求不出来C4. 如图4-5-4，要测河岸相对两点A，B间的距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为17米. 这一作法的理论依据是 （ ）
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AASC5. 如图4-5-5，小牛利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B的距离，如要证明△CDO≌△BAO，则只需测出其长度的线段是 （ ）
A. AO
B. CB
C. BO
D. CD
D【例1】某铁路施工队在建设铁路的过程中要打通一座小山，需要测量隧道AB的长，恰好山的周围是宽阔的平地 （如图4-5-6）. 请你利用三
角形全等的知识帮助测量人员
测量出AB的长，简要说明测量
的方法，画出测量方案，说明
方案合理的理由.（2） 连接BC并延长至
点E，使EC＝BC，测量DE
的长度，即为AB的距离.
因为AC＝DC，
∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
所以△ACB≌△DCE （SAS）.
所以AB＝DE.【例2】如图4-5-8，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是 （ ）
A. AAS
B. SAS
C. ASA
D. SSSB1. 如图4-5-7，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离 （ ）
A. 大于100m
B. 等于100m
C. 小于100m
D. 无法确定B2. 如图4-5-9，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A. 边边边
B. 边角边
C. 角边角
D. 角角边
B新知 利用三角形全等测距离1. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图4-5-10所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带 （ ）
A. 第1块
B. 第2块
C. 第3块
D. 第4块B2. 如图4-5-11，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 （ ）
A. SAS
B. SSS
C. AAS
D. ASAB3. 小明沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图4-5-12，AB∥OE，OE∥CD，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，下列结论中不正确的是 （ ）
D A. ∠BOA=∠DOC
B. AB∥CD
C. ∠ABD=90°
D. 与∠AOE相等的角共有2个
4. 如图4-5-13，王老师不小心把一块教学用的三角形玻璃打破了，他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便他只要带哪一块就可以？ （ ）
A. ③
B. ②
C. ①
D. 都不行A5. 如图4-5-14，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC=35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE= （ ）
A. 60°
B. 55°
C. 65°
D. 35°B6. 如图4-5-15，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED.若量出DE=58米，则A，B间的距离为
（ ）
A. 29米
B. 58米
C. 60米
D. 116米B7. 如图4-5-16是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动. 如果∠OCA=90°，∠CAO=25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为__________.
50°8. 如图4-5-17，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF=3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 （ ）
A. 45 cm
B. 48 cm
C. 51 cm
D. 54 cmA9. 如图4-5-18，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC=∠CDE=90°，BC=DC，∠1=__________，△ABC≌__________，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为__________.∠2△EDC25米10. 某大学计划为新生配备如图4-5-19①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm，依据是_____________________
______________和__________________
____（用文字语言叙述）.11. 小明家所在的小区有一个池塘，如图4-5-20，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，
并使CE=CA，然后他测量点E到
假山D的距离，则DE的长度就是
A，B两点之间的距离.
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？12. 如图4-5-21，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接CD，BE，DE.
（1）证明：△ADC≌△ABE；
（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由.
