2020版高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用课件(40张PPT)

课件40张PPT。3.3.3　导数的实际应用第三章 导数及其应用学习目标XUEXIMUBIAO1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点　生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
3.解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模1.生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.(　　)
2.解决应用问题的关键是建立数学模型.(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√2题型探究PART TWO题型一　几何中的最值问题例1　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′>0，得0所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，反思感悟　面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.跟踪训练1　现需设计某次期中考试的数学试卷，该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为720 cm2，四周空白的宽度为4 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2 cm，设试卷的长和宽分别为x cm，y cm.
(1)写出y关于x的函数解析式，并求该函数的定义域；解　由题意知试卷的长和宽分别为x cm，y cm，(2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位：cm)，才能使试卷的面积最小？令S′＝0，得x＝40(负数舍去)，
∴函数在(10,40)上单调递减，在(40，＋∞)上单调递增，
∴当x＝40时，S取得最小值，
故当试卷的长为40 cm，宽为32 cm时，可使试卷的面积最小.题型二　实际生活中的最值问题命题角度1　利润最大问题
例2　某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元.(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；解　由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12).多维探究(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？当4≤x≤6时，y′≥0，函数在[4,6]上为增函数；
当6≤x≤12时，y′≤0，函数在[6,12]上为减函数，
所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，
最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝96ln 6－78(万元).反思感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3<
x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解　由(1)可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.命题角度2　用料(费用)最省问题
例3　某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800 来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？令g′(x)＝0，得x＝8，当1≤x<8时，g′(x)<0，g(x)为减函数；当80，g(x)为增函数，
所以当x＝8时，函数取得极小值，且为最小值.
故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省.反思感悟　费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；且C(0)＝8，故k＝40，设建造费用为C1(x)，则C1(x)＝6x.(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0≤x<5时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当50，f(x)为增函数.故当隔热层修建厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70 万元.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO损耗最少问题典例　已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为
8 千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(80)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，令y′＝0，解得v＝16.
若v0≥16，当v∈(8,16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数.
故当v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省.
若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数.
故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省.
综上可得，若v0≥16，则当v＝16 千米/时时，全程燃料费最省；
若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省.素养评析　(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解.
(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升.3达标检测PART THREE1234解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.5√12342.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为
A.2 m3 B.3 m3 C.4 m3 D.5 m35√1234从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去).故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3).53.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产
A.9 千台 B.8 千台 C.6 千台 D.3 千台√1234解析　利润y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3(x>0)，
求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去).
所以当生产6 千台时，利润最大.512344.容积为256的方底无盖水箱，它的高为 时最省材料.4解析　设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，当08时，S′>0，512345.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解　设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).
由已知条件，得24＝k×22，于是k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].5(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解　由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值.
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).
(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.