2.3 幂函数 同步学案

必修一学案 第二章 §2.3 幂函数
班级 姓名
学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
学习过程
新知：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数，x为自变量．
练习1：判断下列函数是幂函数的有 ，
； ②； ③； ④； ⑤ .
练习2：已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 ．
幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
小结：幂函数的性质及图象变化规律：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 ；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是单调递 ．
特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是单调递 ．
在第一象限内：
当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，
当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
※ 典型例题
例1、如果函数是幂函数，求满足条件的的值．
例2、作出下列函数图像.
（1）； （2）； （3）； （4）．
例3、利用单调性判断下列各组值的大小．
（1） （2）
变式3、设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
例4、证明幂函数在上是增函数.
课后作业
基础训练题
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1
2．下列是y＝的图象的是(　　)

3．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(log216)＝(　　)
A．2 B. C. D.
4．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是(　　)2
A．a5．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
6．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是________．
9．下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．
①y＝x；②y＝x4；③y＝x－2；④y＝－x.
10．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
11．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．
能力提高题
12．函数y＝xα与y＝αx(α∈{－1，，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个(　　)

13．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是(　　)21·世纪*教育网
A．0 B．2 C．3 D．4
14．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，
有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)必修一学案 第二章 §2.3 幂函数参考答案
1、[答案]　C　
[解析]　根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，
选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．
2、[答案]　B　
[解析]　y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝＝f(x)，
即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．
3、[答案]　A
[解析]　设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝，f(log216)＝f(4)＝＝2，故选A.
4、[答案]　C
[解析]　∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，
又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故选C.
5、[答案]　A
[解析]　函数y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，
函数y＝x和y＝x3的定义域为R且为奇函数．21
6、[答案]　B
[解析]　作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的。
7、[答案]　④
[解析]　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；
当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；
幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8、[答案]　[0，＋∞)
[解析]　由已知得a＝1，∴y＝x，∴y≥0，值域为[0，＋∞)．
9、[答案]　③
[解析]　①中函数y＝x不具有奇偶性；
②中函数y＝x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；
③中函数y＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；
④中函数y＝－x是奇函数．故填③.
10、解　由题意，得3m－7<0. ∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
11、解　(1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
12、[答案]　C
[解析]　直线对应函数y＝x，曲线对应函数为y＝x－1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x，2≠.故B错；直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2,2＝2.故C对；直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3，－1≠3.故D错．
13、[答案]　B　[因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
14、解　设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1