第二章 基本初等函数 综合复习学案

必修一学案 第二章 基本初等函数 综合复习学案
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一、知识点归纳
1、指数与指数幂的运算
①一般地，如果，那么叫做 的次方根，其中.
②根式运算性质：
① ；
②
③我们规定： ⑴；　　⑵；
④运算性质：
⑴； ⑵； ⑶.
2、指数函数及其性质
①概念：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
②性质：
图
象
性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
（5）;
（5）;
3、对数与对数运算
①指数与对数互化式：；
②对数恒等式：.
③基本性质：，.
④运算性质：当时：
⑴；
⑵；
⑶.
⑤换底公式： .
⑥重要公式：
⑦倒数关系：.
4、对数函数及其性质
①概念：函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0,+).
②性质：
图
象
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
（5）；
（5）；
5、幂函数
①概念：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数。
②在第一象限的图象，可分为如图中的三类：


③幂函数有如下性质：
⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；
⑵定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；
⑶幂函数都是无界函数；第一象限中，当为减函数，当时为增函数；
⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；
6、函数图像变换
①平移变换：
Ⅰ、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x(h)；
Ⅱ、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)(h。
②对称变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f((x)
Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= (f(x)
Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y= (f((x)
Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
y=f(x) x=f(y)
Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
y=f(x)y=f(2a(x)。
③翻折变换：
Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

二、典型例题分析
题型一　指数、对数的运算
[例1]化简与计算：　(1)(0.027)－－－2＋－(－1)0； (2)；
[变式1]化简与计算： (3)÷×； (4)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2－24＋log23.
题型二　数的大小比较
[例2]比较下列各组数的大小：
(1)40.9,80.48，－1.5； (2)log20.4，log30.4，log40.4.
[变式2]设a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，则(　　)
A．a题型三　复合函数问题
[例3]已知a>0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝的单调性.
[变式3]讨论函数f(x)＝log0.2(3x2－2x－1)的单调性.
[例4]f(x)＝9x＋－3x＋a，x∈[1,2]的最大值为5，求其最小值．
[变式4]已知函数f(x)＝(logx)2－logx＋5，x∈[2,4]，求f(x)的值域．
题型四　幂、指数、对数函数的综合应用
[例5]已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求定义域； (2)讨论函数的单调区间．
[例6]已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，求不等式f(logax)>0(a>0且a≠1)的解集．
[例7]已知函数f(x)＝lg 在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围.
课后作业
第二章 基本初等函数测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列各式：
①＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③ ＝x＋y；④ ＝.
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．函数f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(　　)
A．(1,0) B．(1,1)
C． D．
3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是(　　)
A．y＝3－x B．y＝－2x
C．y＝log0.1x D．y＝x
4．设y1＝40.9，y2＝log4.3，y3＝1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
5．已知集合A＝{y|y＝2x，x<0}，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝(　　)
A．{y|y>0} B．{y|y>1}
C．{y|06．如果某林区森林面积每年比上一年平均增长10%，经过x年可以增长到原来的y倍，那么函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

7．已知0A．x>y>z B．z>y>x
C．y>x>z D．z>x>y
8．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)【
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
9．已知四个函数①y＝f1(x)；②y＝f2(x)；③y＝f3(x)；④y＝f4(x)的图象如下图：2-1-c-n-j-y
则下列等式中可能成立的是(　　)
A．f1(x1＋x2)＝f1(x1)＋f1(x2) B．f2(x1＋x2)＝f2(x1)＋f2(x2)
C．f3(x1＋x2)＝f3(x1)＋f3(x2) D．f4(x1＋x2)＝f4(x1)＋f4(x2)
10．设函数f(x)＝已知f(a)>1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
11．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)A．(0,10) B. C. D.∪(10，＋∞)
12．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝f，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　) com
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝的定义域是________．
14．已知函数y＝loga(x＋b)的图象如下图所示，则a＝________，b＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
15．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
16．定义区间[x1，x2](x1▲▲▲选择题答案填入此处：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
▲▲▲填空题答案填入此处：
13、 ；14、 ；15、 ；16 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各题：
(1)0.0081＋2＋()－16－0.75；
(2)(lg5)2＋lg2·lg50＋21＋log25.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(ax＋b)，若f(2)＝1，f(3)＝2，求f(5)．【出处：21教育名师】
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明f(x)在定义域内是减函数．
20．(本小题满分12分)设f(x)＝
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a>1>b>0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
第二章 基本初等函数 综合复习学案参考答案
1、解析　仅有②正确．
答案　B
2、解析　令4x－3＝1，得x＝1.又f(1)＝loga(4×1－3)＝loga1＝0，故f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(1,0)．
答案　A
3、答案　D
4、解析　因为y1＝40.9>40＝1，
y2＝log4.30y3>y2.
答案　D
5、解析　A＝{y|y＝2x，x<0}＝{y|0答案　C
6、解析　假设原来森林面积为1，则y＝(1＋10%)x＝1.1x.
答案　D
7、解析　x＝loga＋loga＝loga＝loga6，
z＝loga－loga＝loga＝loga7.
∵0loga6>loga7.
即y>x>z.
答案　C
8、解析　与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案　D
9、解析　结合图象知，A、B、D不成立，C成立．
答案　C
10、解析　当a≤0时，f(a)＝a－3>1，解得a<－2；
当a>0时，f(a)＝a>1，解得a>1.
综上a的取值范围是(－∞，2)∪(1，＋∞)
答案　B
11、解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lgx|>1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或0答案　D
12、解析　因为log0所以log因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f(log)因为f(x)是偶函数，所以
a＝f＝f(－log)＝f(log)，
b＝f＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．所以c>a>b.
答案　C
13、解析　由log (x－4)≥0得0∴4答案　(4,5]
14、解析　由图象过点(－2,0)，(0,2)知，loga(－2＋b)＝0，logab＝2，
∴－2＋b＝1，b＝a2.
∴b＝3，a2＝3.由a>0，知a＝.∴a＝，b＝3.
答案　　3
15、解析　根据题意画出f(x)的草图，由图象可知，f(x)>0的x的取值范围是－11.
答案　(－1,0)∪(1，＋∞)
16、解析　
作出函数y＝2|x|的图象(如图所示)
当x＝0时，y＝20＝1，
当x＝－1时，y＝2－1＝2，
当x＝1时，y＝21＝2，
所以当值域为[1,2]时，区间[a，b]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.
答案　1
17、解　(1)原式＝(0.34) ＋2＋2－24×(－0.75)＝0.3＋2－3＋2－2－2－3＝0.55.2·y
(2)原式＝(lg5)2＋lg2·lg(2×52)＋2·2
＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＋2
＝(lg5＋lg2)2＋2＝1＋2.
18、解　由f(2)＝1，f(3)＝2，得??∴f(x)＝log2(2x－2)，
∴f(5)＝log28＝3.
19、解　(1)∵f(x)＝－2x＝－2，
∴f(x)的定义域为[0，＋∞)．

20、解　(1)因为log2所以f＝＝.
(2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝x在(－∞，1]上是减函数，所以f(x)的最小值为f(1)＝.2
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)，
令t＝log3x，则t∈(0，＋∞)，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)＝2－，
所以f(x)的最小值为g＝－.
综上知，f(x)的最小值为－.
21、解　(1)由ax－bx>0，得x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴x>0.
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值，
∴f(x)>f(1)，只要f(1)≥0.
即lg(a－b)≥0，∴a－b≥1.
∴a≥b＋1为所求．
22、解　(1)当x<0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．