2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案（含解析）

3．1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
1．平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
2．关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二　双曲线的标准方程
1．双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x轴
y轴
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系式
a2＋b2＝c2
2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
3．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．
1．平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线．(　×　)
2．平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．(　×　)
3．在双曲线方程－＝1(a>0，b>0)中，a2＝b2＋c2.(　×　)
题型一　求双曲线的标准方程
例1　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　求双曲线方程的方法
(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．
(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论．
(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
跟踪训练1　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　(1)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
(2)椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点坐标为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型二　由双曲线的标准方程求参数
例2　方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　A
解析　由题意可知，(2＋m)(m＋1)<0，∴－2反思感悟　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
跟踪训练2　若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　C
解析　原方程化为－＝1，
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
题型三　双曲线的定义及应用
例3　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　4a＋2m
解析　由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　12
解析　由已知得2a＝2，
又由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2，
因为|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
所以|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2，
由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝0，
所以△F1PF2为直角三角形．
＝×|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
引申探究　
本例(2)中，若将“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“|PF1|·|PF2|＝24”，求△PF1F2的面积．
解　由双曲线方程为x2－＝1，
可知a＝1，b＝2，c＝＝.
因为|PF1|·|PF2|＝24，
所以cos∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
所以△PF1F2为直角三角形．
所以＝|PF1|·|PF2|＝12.
反思感悟　求双曲线－＝1中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
同理可求得双曲线－＝1中焦点三角形的面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|之间的关系．
跟踪训练3　已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．1B．4C．6D．8
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　B
解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由余弦定理得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
即m2＋n2－mn＝8，∴(m－n)2＋mn＝8，∴mn＝4，
即|PF1|·|PF2|＝4.
由双曲线的定义求轨迹方程
典例　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1 (x≤－1)．
[素养评析]　(1)定义法求双曲线方程的注意点
①注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
②当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
③求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
(2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力.
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　B
解析　因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，
由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支．
2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
考点　双曲线的标准方程
题点　已知方程判断曲线的类型
答案　A
解析　由题意知，k＋3>0且k＋2<0，
∴－33．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4B．8C．24D．48
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　C
解析　由题意得解得
又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
则＝|PF1|·|PF2|＝24.
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是________．
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　1
解析　由a>0,05．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
考点　
题点　
解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(－4将点(3，2)代入，
解得k＝4或k＝－14(舍去)，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　C
解析　将双曲线方程化成标准方程为－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，
故右焦点坐标为.
2．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为(　　)
A．17 B．22
C．2或22 D．7或17
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　C
解析　由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝10，
又|PF1|＝12，则P到F2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.
3．过点(1,1)且＝的双曲线的标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1或－x2＝1
考点　求双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　D
解析　由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1,1)点，得a2＝.此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1.
4．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A．－1－1
C．m>3 D．m<－1
答案　B
解析　依题意应有m＋1>0，即m>－1.
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
考点　双曲线的标准方程
题点　由双曲线方程求参数
答案　B
解析　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1，故选B.
6．若双曲线C：2x2－y2＝m(m>0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝4，则m的值是(　　)
A．116B．80C．52D．20
考点　双曲线与其他曲线的综合应用
题点　双曲线与其他曲线的综合应用
答案　D
解析　由抛物线y2＝16x可知其准线方程为x＝－4.
因为双曲线是轴对称图形，所以点A，B到x轴的距离均为2.不妨设点A(－4,2)．
又点A在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程2x2－y2＝m，得m＝20，故选D.
7．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为(　　)
A．9B．10C．16D．20
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　A
解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)
＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.
8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　B
解析　据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，
∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.
二、填空题
9．已知动圆M过定点B(－4,0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　－＝1
解析　设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4.亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<8＝|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4,2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，
故点M的轨迹方程是－＝1.
10．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．
考点　求双曲线的标准方程
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
答案　－＝1
解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案　2
解析　设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
所以(x＋2)2＋x2＝4c2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
三、解答题
12．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
考点　双曲线的标准方程的求法
题点　待定系数法求双曲线的标准方程
解　已知双曲线－＝1，
则c2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意知b2＝25－a2，
故所求双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在所求双曲线上，
∴－＝1，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，
不合题意，舍去，∴a2＝1，b2＝24，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且两条曲线都经过点M(2,4)．
(1)求这两条曲线的标准方程；
(2)已知点P在抛物线上，且它与双曲线的左、右焦点构成的三角形的面积为4，求点P的坐标．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　(1)∵抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(2,4)，
∴42＝2p×2，解得p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝8x，
∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，
∴双曲线的焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，
则a2＋b2＝c2＝4.
∵双曲线经过点M(2,4)，∴－＝1，
解得a2＝12－8，b2＝8－8.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设点P的坐标为，
由题意，得＝|F1F2|·|yP|＝2·|yP|＝4，
∴yP＝±2.
∵点P在抛物线上，∴xP＝，
∴点P的坐标为或.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.
考点　双曲线的定义
题点　双曲线定义的应用
答案　
解析　设A，B，C的对边分别为a，b，c.
由双曲线定义，得a－c＝10，
由正弦定理，得＝＝＝.
15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，
则解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
而cos∠MF2F1＝<0，
又因为∠MF2F1∈(0°，180°)，
所以∠MF2F1为钝角．
故△MF1F2为钝角三角形．