2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案（含解析）

3．2　双曲线的简单性质
学习目标　1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系．
知识点一　双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴和虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e＝，其取值范围是(1，＋∞)．e越大，双曲线的张口越大．
知识点三　双曲线的相关概念
1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y＝±x.
1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　×　)
2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　√　)
3．双曲线x2－y2＝m(m≠0)的离心率为，渐近线方程为y＝±x.(　√　)
4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．(　√　)
5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝.(　√　)
题型一　由双曲线方程研究其简单性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
引申探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
反思感悟　由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线
解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
题型二　由双曲线的简单性质求标准方程
例2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的简单性质求方程
解　(1)方法一　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由题意可设所求双曲线方程为－＝1(mn>0)．
由题意，得解得
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)方法一　由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　(1)根据双曲线的某些简单性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧．
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的几何性质求方程
解　(1)由题意知，2b＝8，＝，
又c2＝a2＋b2，∴a＝3，b＝4，
故双曲线方程为－＝1.
(2)由题意知，2a＝6,2c＝4a＝12，
又b2＝c2－a2，∴a2＝9，b2＝27，
∴双曲线方程为－＝1或－＝1.
(3)∵＝，∴双曲线为等轴双曲线，
则可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，
将点(5,4)代入双曲线方程，得λ＝9，
∴双曲线方程为－＝1.
题型三　与双曲线有关的离心率问题
例3　设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A.B.C.D．3
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率的值
答案　B
解析　考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，
两式等号左右两边平方后相减，得
|PF1|·|PF2|＝.
又已知|PF1|·|PF2|＝ab，
∴ab＝，得＝(负值舍去)．
∴该双曲线的离心率
e＝＝＝＝.
引申探究
若本例条件“|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab”改为“若PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°”，结果如何？
解　作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上．
∵PF1⊥PF2，|F1F2|＝2c，
且∠PF1F2＝30°，
∴|PF2|＝c，|PF1|＝c.
又点P在双曲线的右支上，
∴|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
反思感悟　求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e＝求解．
跟踪训练3　双曲线－＝1(0考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率的值
解　依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0，解得＝或＝3.
又∵0题型四　直线与双曲线的位置关系
例4　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(－3,2)．
(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值．
考点　
题点　
解　(1)由题意可知，双曲线的焦点为(－2,0)和(2,0)，
根据定义有
2a＝
＝2，
∴a＝1，由以上可知，a2＝1，c2＝4，b2＝3，
∴所求双曲线C的方程为x2－＝1.
渐近线方程为y＝±x.
(2)由得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意．
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝0得k＝±，
此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意．
综上所述，符合题意的k的所有取值为，－，，－.
引申探究
本例条件不变，若直线y＝2x＋m被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值．
解　设直线y＝2x＋m与双曲线C的交点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2＋4mx＋m2＋3＝0，
Δ＝16m2－4(m2＋3)>0，得m<－1或m>1，
x1＋x2＝－4m，x1x2＝m2＋3，
|AB|＝·
＝·＝2，
解得m＝±，适合m<－1或m>1，故m＝±.
反思感悟　(1)直线与双曲线位置关系的判定方法
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考查方程的判别式．
①当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
②当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
③当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
(2)双曲线的弦长公式
与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样．设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝.
跟踪训练4　已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
考点　
题点　
解　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意可知c＝，
∴方程可以化为－＝1，
将直线y＝x－1代入，
得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
∵MN的中点的横坐标为－，
∴×＝－，解得a2＝2，
此时Δ>0，∴曲线的方程为－＝1.
存在性问题需验证
典例　已知双曲线2x2－y2＝2，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由．
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的其他问题
解　由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，
则x1≠x2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
由
两式相减并变形得＝2，
若存在，则直线l为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
联立得2x2－4x＋3＝0，
而Δ＝－8<0，方程无实根，
即直线与双曲线无交点，
故不存在满足条件的直线．
[素养评析]　(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证．
(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
1．双曲线－y2＝1与椭圆＋＝1的(　　)
A．焦点相同 B．顶点相同
C．实轴与长轴相同 D．短轴与虚轴相同
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其性质
答案　A
解析　－y2＝1的焦点坐标是(±4,0)，＋＝1的焦点坐标为(±4,0)，故选A.
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4B．－3C．2D．1
考点　双曲线性质的应用
题点　以离心率或渐近线为条件的简单问题
答案　A
解析　∵方程表示双曲线，∴a<0，标准方程为－＝1，
∴渐近线方程为y＝±x，∴＝，
解得a＝－4.
3．双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．0或1或2
考点　
题点　
答案　C
解析　由双曲线－＝1，得a＝3，b＝2，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
当m＝0时，直线y＝－x与双曲线没有公共点；
当m≠0时，直线y＝－x＋m与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个公共点．
综上，双曲线－＝1与直线y＝－x＋m(m∈R)的公共点的个数为0或1.
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
考点　双曲线的简单性质
题点　由条件求渐近线方程
答案　y＝±x
解析　由条件知2b＝2,2c＝2，
∴b＝1，c＝，a2＝c2－b2＝2，即a＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
3．直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系.
一、选择题
1．双曲线25x2－9y2＝225的实轴长、虚轴长、离心率分别是(　　)
A．10,6， B．6,10，
C．10,6， D．6,10，
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
答案　B
解析　双曲线25x2－9y2＝225即为－＝1，可得a＝3，b＝5，c＝＝，则实轴长为2a＝6，虚轴长为2b＝10，离心率e＝＝.
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2B．2C.D．1
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线方程研究其性质
答案　B
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F(4,0)到x－y＝0的距离为＝2.
3．已知双曲线x2－＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是(　　)
A．－4B.C．－D．4
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的性质求方程
答案　D
解析　∵双曲线x2－＝1的虚轴长和实轴长分别为2和2，∴2＝4，∴m＝4.
4．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l(　　)
A．4条B．3条C．2条D．1条
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线的位置关系
答案　B
解析　因为双曲线方程为x2－＝1，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．
5．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
考点　双曲线的简单性质
题点　由条件求渐近线方程
答案　A
解析　由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5,0)和(5,0)，焦点是(－3,0)，(3,0)，
由此可知，双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，
顶点为(－3,0)，(3,0)，所以双曲线方程为－＝1，
所以渐近线方程为4x±3y＝0.
6．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　依题意得，c＝3，e＝，
所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.
7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12B．－2C．0D．4
答案　C
解析　∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，
即双曲线方程为x2－y2＝2.
当x＝时，y＝1.
又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)
＝－1＋y＝－1＋1＝0.
故选C.
8．点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4B．5C．6D．7
考点　双曲线的定义
题点　双曲线的焦点三角形
答案　D
解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①
又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②
①2－②得－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.
又因为△F1PF2的面积是9，所以mn＝9，
所以c2－a2＝9.又因为双曲线的离心率＝，
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
二、填空题
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________________．
考点　双曲线性质的应用
题点　由双曲线的性质求方程
答案　－＝1
解析　∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，
∴＝1，解得a＝2.∵＝，∴b＝.
∴双曲线方程为－＝1.
10.如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率的值
答案　＋1
解析　由题意知A点坐标为，
又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，
得－＝1.①
又∵b2＝c2－a2，②
由①②，得e＝＋1.
11．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________.
考点　直线与双曲线的位置关系
题点　直线与双曲线相交弦长与三角形的面积
答案　3
解析　易得双曲线的左焦点F1(－2,0)，
∴直线AB的方程为y＝(x＋2)，
与双曲线方程联立，得8x2－4x－13＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝×＝3.
三、解答题
12．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
考点　
题点　
解　由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．
∵点A(2，－3)在双曲线E上，
∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
由题意知所求双曲线M的标准方程为－＝1.
13．已知双曲线E：－＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围．
考点　双曲线的几何性质
题点　由双曲线的方程研究几何性质
解　(1)当m＝4时，
双曲线方程化为－＝1，
所以a＝2，b＝，c＝3，
所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，
渐近线方程为y＝±x.
(2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，
所以<1＋<2，
解得5所以实数m的取值范围是(5,10)．
14．若在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A．e> B．1C．e>2 D．1考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　双曲线离心率的取值范围
答案　C
解析　由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝.依题意，在双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.
15．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线的离心率
解　(1)设双曲线的方程为－＝1(λ>0)，
则2λ＝4，解得λ＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由(1)知F(2，0)，于是a＝2.
设A(x0，y0)，则x0＝y0.①
∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，
∴AF的斜率为－1，故＝－1，②
由①②解得x0＝，∴A(，)，
代入椭圆方程得＋＝1，
解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝8－＝，
得c＝，∴椭圆E的离心率e＝＝＝.