2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程阶段训练二（含解析）

阶段训练二
(范围：§1)
一、选择题
1．平面内一动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．圆
C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　D
解析　当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆，
当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段，
当2a<|F1F2|时，无轨迹．
2．(2018·河南平顶山高二检测)“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　
题点　
答案　A
解析　若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m2－1>3，所以m2>4.
所以“m2>5”是“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件．
3．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1(x>0)
C.＋＝1(x<0，y≠0) D.＋＝1(x>0，y≠0)
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　D
解析　由题意，得|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝2|BC|
＝4>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，且a＝2，c＝1.
又|AB|>|AC|，所以轨迹只取右半部分，
即轨迹方程为＋＝1(x>0，y≠0)．
4．(2018·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
答案　D
解析　由椭圆定义易知△AF1B的周长为4a＝12，
解得a＝3.
∵e＝＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
5．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为(　　)
A．4B．8C．12D．16
考点　
题点　
答案　B
解析　直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，
而M，N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，
由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.
6．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A.B.C.－1D．4－2
考点　
题点　
答案　C
解析　以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也必过椭圆的左焦点，以这两个焦点及A，B两点可作一个矩形，直线y＝－x的倾斜角为120°，所以矩形的宽是c，长是c，由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1.
7．若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　中点弦问题
答案　D
解析　∵椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，
则a2－b2＝4，
∴可设椭圆的方程为＋＝1，
由题意知，相交弦中点坐标为(－2,1)，
设直线y＝3x＋7与椭圆的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由中点坐标公式得
又＝3，
∵
①－②得
＋＝0，
＋＝0，
＋＝0，b2＝8，
∴椭圆方程为＋＝1.
8．已知直线l：2x＋y＝2与椭圆C：x2＋＝1交于A，B两点，P为椭圆C上的点，则使△PAB的面积S为的点P的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　
题点　
答案　C
解析　易求得|AB|＝，
∴点P到直线l的距离d＝＝，
设过点P且平行于直线l的直线l1的方程为2x＋y＋c＝0，
∴直线l1和直线l的距离d＝，
∴＝，解得c＝－1或c＝－3，
当c＝－1时，由
得8x2－4x－3＝0，
∵Δ＝(－4)2＋4×8×3＝112>0，∴有两解；
当c＝－3时，由得8x2－12x＋5＝0，
∵Δ＝(－12)2－4×8×5＝－16<0，∴无解．
综上，满足条件的点P有2个．
二、填空题
9．(2018·天津市第一中学质检)椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．
考点　
题点　
答案　－1或－
解析　原方程可化为＋＝1.
依题意，得即
所以k的值为－1或－.
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
考点　椭圆简单性质的应用
题点　求离心率的取值范围
答案　
解析　因为·＝0，所以点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x2＋y2＝c2.
由题意知，椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P(x，y)，则|OP|min＝b，
所以c因为011．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　弦长问题
答案　＋y2＝1
解析　由题意知＝，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
三、解答题
12．已知点A，B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线x－3y＋2＝0的交点，点M是AB的中点，且点M的横坐标为－.若椭圆C的焦距为8，求椭圆C的方程．
考点　椭圆简单性质的应用
题点　由椭圆的几何特征求方程
解　由已知得M，
由题意得点A，B的坐标满足
∴＋·kAB＝0，
∴－＋×＝0，∴a2＝3b2，
又∵c＝4，∴a2＝24，b2＝8，
经检验，a2＝24，b2＝8符合题意，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
13．已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
解　(1)由
消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围是[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
14．已知椭圆＋＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x＋m对称，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　直线与椭圆相交时的其他问题
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
3x＋4y＝12，①
3x＋4y＝12，②
②－①，得3(x－x)＋4(y－y)＝0，
即y1＋y2＝3(x1＋x2)，
即y＝3x，与y＝4x＋m联立得x＝－m，y＝－3m，
而M(x，y)在椭圆的内部，则＋<1，
即－15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意点，且△PF1F2面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点(点A在第一象限)，M，N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
考点　
题点　
(1)解　椭圆的离心率为，即＝，∴＝，①
△PF1F2面积的最大值为，即·2c·b＝，
∴c2b2＝3，∴(a2－b2)b2＝3，②
①②联立，解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　由已知可得A，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，联立椭圆方程可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由题意知Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
由∠MAB＝∠NAB知，kAM＋kAN＝0，
∴＋＝0，
即(x2－1)＋(x1－1)＝0，
∴2kx1x2＋(x1＋x2)＋3－2m
＝－·＋3－2m＝0，
化简得(2k－1)(2m＋2k－3)＝0，∴k＝，
故直线MN的斜率为定值．