第1课时 抛物线的简单性质
学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一 抛物线的简单性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
通径
过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A，B，线段AB叫抛物线的通径，长度|AB|＝2p
知识点二 焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
1．抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径．( √ )
2．当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程．( × )
3．抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同．( × )
4．焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状．( √ )
题型一 抛物线的简单性质
例1 已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
解 (1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
则|OF|＝|OM|.
因为F(2,0)，
所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)．
故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；
所以m＝2或m＝－2，
所以A(3,2)，B(3，－2)，
所以|OA|＝|OB|＝，
所以△OAB的周长为2＋4.
反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2B．4p2C．2p2D．p2
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
由方程组得或
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.
题型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
解 因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y，得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.
反思感悟 1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪训练2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
解 由题意可知，焦点F.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不合题意，
故直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k.
联立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝·
＝2p＝p，
解得k＝±2，
∴AB所在直线方程为y＝2或y＝－2.
题型三 与抛物线有关的最值问题
例3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．
于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.
因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线的定义知，|P1Q|＝|P1F|.所以|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( )
A.B．2C.D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
答案 A
解析 如图，由抛物线的定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，
则当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．
又A(0,2)，F，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝＝.
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 C
解析 设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
由题意将x＝或x＝－分别代入y2＝2px和y2＝－2px，得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
即抛物线方程为y2＝±8x.
2．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 D
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设A，B，a>0.S△AOB＝×2a×＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
3．已知抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为( )
A．1B．2C．3D．4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 B
解析 由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.
4．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 16
解析 由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)，
由此直线方程为y＝x－2，
由联立得x2－12x＋4＝0，
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程知x1＋x2＝12，
∴弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
5．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合应用
解 如图△OAB为正三角形，
设|AB|＝a，则OD＝a，
将A代入y2＝2px，
即＝2p×a，
解得a＝4p.
∴正三角形的边长为4p.
1．讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．
一、选择题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
考点 抛物线的简单性质
题点 焦点、准线、对称性的简单应用
答案 D
解析 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线距离的取值范围是[3，＋∞)．
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求点坐标
答案 B
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
3．已知抛物线y＝2px2(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为( )
A.B.C.D.
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 由P在抛物线上，得p＝，故抛物线的标准方程为x2＝4y，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，
∴|FM|＝2，|PQ|＝1＋＝，|MQ|＝1，
则四边形PQMF的面积为××1＝.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2B．3C.D.
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求最值
答案 A
解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝2x
C．y2＝6x D．y2＝4x
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 知抛物线焦点弦长求方程
答案 A
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝3，即x1＋x2＝6.
又|PQ|＝x1＋x2＋p＝10，
即p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝－2
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案 A
解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋.代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系，得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
7．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为( )
A．18B．24C．36D．48
考点 抛物线的简单性质
题点 抛物线性质的综合问题
答案 C
解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，|y|＝p，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝|AB|·p＝×12×6＝36.
8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.B.C.D.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 抛物线焦点弦的其他问题
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为F，
因此直线AB的方程为y＝.
即4x－4y－3＝0.
联立直线和抛物线方程，并化简得x2－x＋＝0，
故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.
二、填空题
9．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝3，则|BF|＝________.
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 与焦点弦有关的其他问题
答案
解析 由题意知F(1,0)，且AB与x轴不垂直，
则由|AF|＝3，知xA＝2.
设lAB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以xA·xB＝1，故xB＝，
故|BF|＝xB＋1＝.
10．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则这条抛物线的方程为________．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 y2＝±3x
解析 由题意设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
当a>0时，弦的端点坐标为(1，±)，代入抛物线方程得y2＝3x，
同理，当a<0时，弦的端点坐标为(－1，±)，代入抛物线方程得y2＝－3x.
11．已知正三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，另外两个顶点在抛物线上，那么满足条件的正三角形的个数为________．
考点
题点
答案 2
解析 根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线只有两个交点，所以正三角形的个数为2.
三、解答题
12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3.
∵|AM|＝，∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，得
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
13．已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线l：y＝x＋1交抛物线C于A，B两点，求△AOB的面积．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长与中点弦的问题
解 (1)∵抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)，
∴抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)联立得x2－4x－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2),
则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，
∴|AB|＝＝8.
又O(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，
∴△AOB的面积为S＝×|AB|×d
＝×8×＝2.
14.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝3x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝x
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
答案 A
解析 作AM，BN分别垂直准线于点M，N，
则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.
又|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，∴|AC|＝2|AM|＝2|AF|＝6.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|BF|＝x，
则2x＋x＋3＝6，得x＝1，而x1＋＝3，x2＋＝1，
且x1x2＝，
∴＝，∴p＝，
得抛物线方程为y2＝3x.
15．已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线的定义求最值
解 (1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，
则|PA|2＝2＋y2
＝2＋2x
＝2＋.
∵x∈[0，＋∞)，且在此区间上函数是增加的，
故当x＝0时，|PA|min＝，
故距离点A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝＝，
∴点P的坐标为.
第2课时 抛物线简单性质的应用
学习目标 1.进一步认识抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点 直线与抛物线的位置关系
1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )
2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.( × )
3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题型一 直线与抛物线的位置关系
例1 已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数
解 由方程组
消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
反思感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练1 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数
答案 C
解析 准线方程为x＝－2，Q(－2,0)．
设l：y＝k(x＋2)，
由
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1,1]．
题型二 弦长与中点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦中点问题
解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，
设所求方程为y－1＝k(x－4)．由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k＝0时，y＝1，显然不成立．
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝＝.
方法二 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
故所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝
＝·＝.
反思感悟 中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练2 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 由抛物线弦长求解相关问题
解 设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝＝3，
即5＝45，
∴a＝4或a＝－36，满足Δ>0.
∴所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
题型三 抛物线中的定点(定值)问题
例3 已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
(1)解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明 因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
反思感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
证明 设kAB＝k(k≠0)．
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
即直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
∴4xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝.
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值.
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点的个数问题
答案 B
解析 当斜率不存在时，过P(0,1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点．
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
由
得k2x2＋(2k－1)x＋1＝0，
当k＝0时，符合题意；
当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
得k＝.
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条．
2．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )
A.B.C.D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 由抛物线的弦长求解相关问题
答案 A
解析 线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
3．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1B．0C．1D．2
考点
题点
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y＝x＋b代入y＝x2，
化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.
又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，
经检验当b＝0时，不符合题意，故b＝2.
4．过M(2,0)作斜率为1的直线l交抛物线y2＝4x于A，B两点，则|AB|＝________.
考点
题点
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知l的方程为y＝x－2，与y2＝4x联立得，
x2－8x＋4＝0，则x1＋x2＝8，x1x2＝4，
所以|AB|＝|x2－x1|＝＝4.
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上任意一点，若·＝－4，求点A的坐标．
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
解 由题意知F(1,0)，设A，则＝，
＝，由·＝－4，可得y0＝±2，
所以A(1，±2)．
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.
一、选择题
1．过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )
A．2B.C.D．1
考点 抛物线的焦点弦问题
题点 求抛物线的焦点弦长
答案 B
解析 抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，焦点坐标为，当y＝时，x＝±，
∴过抛物线y＝2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为.
2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
考点 直线与抛物线位置关系
题点 求抛物线中的直线方程
答案 D
解析 设直线方程为2x－y＋m＝0，
由得x2－2x－m＝0，
Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，
∴直线方程为2x－y－1＝0.
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．3
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦中点问题
答案 C
解析 联立消去y
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，Δ＝[－(4k＋8)]2－16k2>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，
即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，
∴k＝2或－1，
经判别式检验知k＝2符合题意．
4．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线公共点个数问题
答案 C
解析 ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)，
又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
5．经过点P(－2,1)且斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的取值范围为( )
A．{0，－1} B.
C. D.
考点
题点
答案 D
解析 经过点P(－2,1)且斜率为k的直线l的方程可设为y＝k(x＋2)＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，(*)
直线与抛物线只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根．
当k＝0时，y＝1符合题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，
整理得2k2＋k－1＝0，解得k＝或k＝－1.
综上可得，k＝或k＝－1或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点，
故k∈.
6．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2B．2C．2D．2
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长问题
答案 B
解析 由直线方程为y＝－2(x－1)，
联立方程
得y2＋4y－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y1＋y2＝－4，y1y2＝－8，
∴|AB|＝·＝2.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案 B
解析 抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
8．已知直线l：y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是( )
A.B.C．2D.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 综合应用
答案 D
解析 设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.
直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，
如图，
过A，B分别作AM⊥m于M，BN⊥m于N.
由|AM|＝2|BN|，
得点B为AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，
∴点B的坐标为(1,2)．
把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，
解得k＝，故选D.
二、填空题
9．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 综合应用
答案 0或1
解析 由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，
当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，由Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，得k＝1，
∴k＝0或1.
10．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 弦长问题
答案 x2＝－20y或x2＝4y
解析 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由得x2－x－a＝0.
设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－a，
|AB|＝·
＝·＝5，
得a＝－20或4，经检验，a＝－20或4都符合题意．
∴抛物线方程为x2＝－20y或x2＝4y.
11.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
答案 48
解析 由消去y，得x2－10x＋9＝0，
设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
三、解答题
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线的综合应用
(1)证明 如图所示，
由
消去x得，ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1y2＝－1，y1＋y2＝－.
因为A，B在抛物线y2＝－x上，
所以y＝－x1，y＝－x2，
所以y·y＝x1x2.
因为kOA·kOB＝·
＝＝＝－1，
所以OA⊥OB.
(2)解 设直线与x轴交于点N，显然k≠0，
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON|·|y1－y2|，
所以S△OAB＝·1·
＝.
因为S△OAB＝，
所以＝，
解得k＝±.
13．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点M(2，y0)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABF面积的最小值．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
解 (1)抛物线的准线方程为x＝－，
∴M(2，y0)到焦点的距离为2＋＝3，
∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设AB的方程为x＝my＋3，由
得y2－4my－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－12，
∴|y1－y2|＝＝，
∴S△ABF＝|FD||y1|＋|FD||y2|＝|y1|＋|y2|
＝|y1－y2|＝≥4，
∴当m＝0时，S△ABF取得最小值4.
14.如图，过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1于点A，B，C，D，则|AB|·|CD|的值是( )
A．8 B．4
C．2 D．1
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求距离
答案 D
解析 方法一 特殊化(只要考查直线y＝1时的情形)．
方法二 抛物线焦点为F(0,1)，
由题意知，直线的斜率存在，
设直线为y＝kx＋1，
与x2＝4y联立得y2－(4k2＋2)y＋1＝0，
由于|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yD，
所以|AB|·|CD|＝yAyD＝1.
15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
考点 直线与抛物线的位置关系
题点 直线与抛物线相交时的其他问题
解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
又·＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线l过定点(2,0)．
