2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程学案（含解析）

2．1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．
知识点一　抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．
2．焦点：定点F叫作抛物线的焦点．
3．准线：定直线l叫作抛物线的准线．
知识点二　抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)

x＝－
y2＝－2px(p>0)

x＝
x2＝2py(p>0)

y＝－
x2＝－2py(p>0)

y＝
特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．
(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；
若y是一次项，负时向下正向上；
若x是一次项，负时向左正向右．
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
2．抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定．(　×　)
3．方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线．(　×　)
题型一　求抛物线的标准方程
例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟　求抛物线的标准方程的方法
定义法
根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法
设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法
建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
跟踪训练1　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线的方程
解　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
题型二　抛物线定义的应用
命题角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程)
例2　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
考点　
题点　
解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
反思感悟　解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
跟踪训练2　已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
解　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
命题角度2　利用抛物线定义求最值或点的坐标
例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P(x0，y0)是抛物线上一点．
(1)若|PF|＝x0，求x0；
(2)已知点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
考点　求抛物线的最值问题
题点　根据抛物线定义转换求最值
解　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－，根据抛物线的定义可得，x0＋＝|PF|＝x0，解得x0＝2.
(2)如图，作PQ⊥l于Q，
由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x0＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
引申探究
若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.
反思感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3　已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A.B.C．2D.－1
考点　求抛物线的最值问题
题点　根据抛物线定义转换求最值
答案　D
解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
设点P到直线l的距离为d，
由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，
所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.
易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d＋|PF|的最小值为＝，
所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
抛物线的实际应用问题
典例　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．
[素养评析]　首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：
(1)建系：建立适当的坐标系．
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求解：求出需要求出的量．
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
1．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(1,0) B.C.D．(0,1)
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的焦点坐标
答案　C
解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝y，
则焦点坐标为，故选C.
2．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
考点　抛物线的简单性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　A
解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4B．6C．8D．12
考点　抛物线的几何性质
题点　与准线、焦点有关的简单几何性质
答案　B
解析　由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
4．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，则动点P的轨迹方程是________．
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程
答案　y2＝16x
解析　∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，
∴点P到直线x＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
∴＝4，∴动点P的轨迹方程为y2＝16x.
5．若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点的横坐标是________．
考点　
题点　
答案　2
解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，
即|AF|＝x1＋＝x1＋.
同理|BF|＝x2＋＝x2＋.
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝5，
即x1＋x2＝4，得＝2.
故线段AB的中点的横坐标是2.
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．
2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解.
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点　抛物线的标准方程
题点　与准线、焦点有关的问题
答案　B
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为，故选B.
2．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为(　　)
A．x＝1B．x＝C．y＝－1D．y＝－
考点　求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点　求抛物线的准线方程
答案　C
解析　因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(　　)
A．2B．3C．4D．5
考点　
题点　
答案　D
解析　抛物线的准线为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，
又∵点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，
∴距离为5.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－B．－1C．－D．－
考点　
题点　
答案　C
解析　∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　C
解析　由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2B．2C．2D．4
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求点坐标
答案　C
解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而纵坐标yP＝±2.
∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.
7．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于(　　)
A.B．6C.D．3
考点　
题点　
答案　D
解析　F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，
若＋＋＝0，则F为△ABC的重心，
∴A，B，C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，
即等于，
∴||＋||＋||＝＋＋＝3.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝2，则a＝________.
考点　抛物线的标准方程
题点　与准线、焦点有关的问题
答案　－
解析　抛物线方程化为标准形式为x2＝y.
其准线方程为y＝－＝2，所以a＝－.
9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
答案　9
解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
10．一抛物线形拱桥，当桥顶离水面2米时，水面宽4米，若水面下降2米，则水面宽为________米．
考点　抛物线的标准方程
题点　抛物线方程的应用
答案　4
解析　以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由桥顶离水面2米时，水面宽4米可得图中点A的坐标为(2，－2)，
所以4＝－2p×(－2)，解得p＝1.
所以抛物线的方程为x2＝－2y.
当水面下降2米，即当y＝－4时，
可得x2＝－2×(－4)＝8，解得x＝±2，
因此水面宽为4米．
三、解答题
11．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y2＝a2x(a≠0)．
考点　抛物线的简单性质
题点　与准线、焦点有关的简单性质
解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为y＝.
(3)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.
12．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的直接应用
解　设焦点为F，M点到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即9＋＝10，∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.
∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
13．(2018·潍坊联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点　
题点　
答案　－1
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝－1.
14．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
解　(1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.