2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程阶段训练三（含解析）

阶段训练三
(范围：§1～§3)
一、选择题
1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点　抛物线的标准方程
题点　求抛物线方程
答案　B
解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以点P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为，故选B.
2．曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(5A．焦距相同 B．离心率相等
C．准线相同 D．焦点相等
考点　双曲线的简单性质
题点　由双曲线的方程研究简单性质
答案　A
解析　由＋＝1(m<6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，
由＋＝1(53．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则可令F(c,0)，B(0，b)，直线FB：bx＋cy－bc＝0与渐近线y＝x垂直，所以－·＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，所以e＝或e＝(舍去)．
4．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)
A.B．2C.D．4
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
答案　C
解析　∵抛物线方程为y2＝x，
∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∴直线AB过抛物线焦点，
∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，
∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.
5．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．x2＝4y D．y2＝8x
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交弦中点问题
答案　A
解析　依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，
∵P(2,2)为AB的中点，∴y1＋y2＝4，
由得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，
∴2p＝(y2＋y1)＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
6．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　D
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D.
7．椭圆＋＝1与双曲线－x2＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　)
A．4B．5C．5D．3
考点　双曲线性质的应用
题点　双曲线与椭圆结合的有关问题
答案　D
解析　由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,4)和F2(0，－4)，不妨设|PF1|>|PF2|，
由椭圆与双曲线的定义可得
所以|PF1|＝5＋，|PF2|＝5－.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
＝＝，
且∠F1PF2是三角形的内角，于是sin∠F1PF2＝.
因此△PF1F2的面积S＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×(5＋)×(5－)×＝3.
8．一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的一点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为(　　)
A.B.C.D.
考点　抛物线的定义
题点　由抛物线定义求最值
答案　B
解析　由题意知动圆的圆心轨迹为以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x，
设抛物线上的一点P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，
由抛物线的定义知，d1＝|PF|，所以d1＋d2＝|PF|＋d2，
|PF|＋d2的最小值为点F到直线x＋y＋4＝0的距离＝.故选B.
二、填空题
9．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　
解析　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
则双曲线的焦距为2，则有
解得∴mn＝.
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　2
解析　双曲线的离心率e＝＝＝2，
解得＝，联立得y＝，
所以S△OAB＝×＝，将＝代入解得p＝2.
11．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　(－2，－1]
解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，
则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，∴a＞－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
∴|AB|＝＝≤8，
即≤1.
又a＞－2，∴－2＜a≤－1.
三、解答题
12．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知，双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1.
13．斜率为k的直线l经过抛物线y＝x2的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程；
(2)求直线的斜率k.
考点　抛物线的焦点弦问题
题点　与焦点弦有关的其他问题
解　(1)化y＝x2为标准方程x2＝4y，
由此，可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线的定义知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
于是|AB|＝y1＋y2＋2，
又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，
由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，
所以直线l的方程为y＝kx＋1，
所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，
由直线l的方程与抛物线方程联立得kx＋1＝，
即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，
代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.
14．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为(　　)
A．－3B．3C．2D．－2
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
答案　D
解析　由题意知，＝－1，
∴＝－1，则y1＋y2＝－1，
∵y1y2＝－1，∴x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，
∴两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为，代入y＝x＋b，可得b＝－2.
15.如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°，
(1)证明：直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
考点　直线与抛物线的位置关系
题点　直线与抛物线相交时的其他问题
(1)证明　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得或
即A点的坐标为.
同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
所以AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2,0)．
(2)解　由于AB所在直线过定点P(2,0)，
所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x并整理，
得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0.
所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝
＝＝
＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)
＝|OP|·|y1－y2|
＝×2×2＝2.
所以当m＝0时，△AOB的面积取得最小值4.