2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程章末复习学案（含解析）

第二章 圆锥曲线与方程章末复习
学习目标　1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合
平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合
标准方程
＋＝1
或＋＝1(a>b>0)
－＝1
或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px
或x2＝2py
或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，
且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
2.椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan.
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
3．双曲线及渐近线的设法技巧
(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，
即y＝±x.
(2)当双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
4．抛物线的焦点弦问题
抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论．
(1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p.
(2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p.
(3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p.
(4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p.
5．三法求解离心率
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、简单性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
6．直线与圆锥曲线位置关系
(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(　×　)
2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(　×　)
3．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(　√　)
题型一　圆锥曲线定义的应用
例1　设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　圆锥曲线定义的应用
解　曲线C1：＋＝1与曲线C2：－y2＝1的焦点重合，两曲线共有四个交点，
不妨设P为第一象限的交点，则|PF1|＋|PF2|＝2，
|PF1|－|PF2|＝2，
解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
又|F1F2|＝4，
在△F1PF2中，由余弦定理可求得
cos∠F1PF2＝
＝＝.
反思感悟　(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决．(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题．(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解．
跟踪训练1　(1)(2018·江西师大附中模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0A.B．1C.D.
考点　圆锥曲线定义的应用
题点　圆锥曲线定义的应用
答案　C
解析　(1)|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4，
|AF2|＋|BF2|＝4－(|AF1|＋|BF1|)＝4－|AB|，
又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，
所以2|AB|＝|AF2|＋|BF2|.
于是3|AB|＝4，∴|AB|＝.
(2)抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)
A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列
考点　抛物线的定义
题点　抛物线定义的其他应用
答案　A
解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，
由抛物线定义知，
|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，
∴2＝x1＋＋x3＋，即2x2＝x1＋x3.
题型二　圆锥曲线的性质及其应用
例2　(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
考点　圆锥曲线的综合问题
题点　圆锥曲线的综合问题
答案　A
解析　a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，
C1的离心率为，
双曲线C2的方程为－＝1，C2的离心率为.
∵C1与C2的离心率之积为，
∴·＝，∴2＝，＝，
∴C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
考点　圆锥曲线的综合问题
题点　圆锥曲线的综合问题
答案　
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，
于是c＝＝.
故e＝＝.
反思感悟　求解离心率的方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法；
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
跟踪训练2　(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
考点　椭圆几何性质的应用
题点　求椭圆离心率的值
答案　
解析　由可得B，C.
又由F(c,0)，得＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，
故e＝.
(2)已知抛物线x2＝8y的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x2＝8y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为________．
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案　－y2＝1
解析　抛物线焦点为F(0,2)，准线为y＝－2，
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，
依题意可得＝，
即＝，
又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y＝－2的距离之和的最小值为3，
所以|PF|＋|PF2|≥|FF2|＝3，
在Rt△FOF2中，|OF2|＝＝，
所以c＝，所以a＝2，b＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
题型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；
(3)在(2)的条件下，求△OAB面积的最大值．
考点　转化与化归思想的应用
题点　转化与化归思想的应用
(1)解　因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，
所以所以a＝，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程，
消元可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0.
所以x1x2＋y1y2＝0，
即(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)－km×＋m2＝0，
所以4m2＝3(k2＋1)，
所以原点O到直线的距离为d＝＝.
当直线AB斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知x1＝x2，y1＝－y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x－y＝0，
因为x＋3y＝3，所以|x1|＝|y1|＝，
所以原点O到直线的距离为d＝|x1|＝，
综上，点O到直线AB的距离为定值．
(3)解　当直线AB的斜率存在时，由弦长公式可得
|AB|＝|x1－x2|
＝
＝≤＝2，
当且仅当k＝±时，等号成立，
所以|AB|≤2.
当直线AB斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|＝<2，
所以△OAB的面积＝|AB|d≤×2×＝，
所以△OAB面积的最大值为.
反思感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2)设(1)中定点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标．
(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
当x1≠x2时，由
①－②得＝－·.
设线段PQ的中点为N(1，n)，
∴kPQ＝＝－，
∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A.
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.
(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，
故点B.
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，
∴x1＝2－x2∈[0,2]，
|PB|2＝2＋y＝(x1＋1)2＋≥，
当x1＝0时等号成立，
∴|PB|min＝，此时点P的坐标为(0，±)．
题型四　圆锥曲线中参数范围和最值问题
例4　(1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
考点　
题点　
答案　－1
(2)若抛物线x2＝2y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 B．0C．a≤1 D．a≤0
考点　
题点　
答案　C
反思感悟　圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练4　(1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
考点　
题点　
答案　
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；
②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围．
考点　
题点　
解　①∵(a＋b)⊥(a－b)，
∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴a2－3b2＝0，
∴x2＋3y2＝3，
即点M(x，y)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
②由
得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，
∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，
即3k2－m2＋1>0.①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
线段PQ的中点N(x0，y0)，
则
∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.
设kAN表示直线AN的斜率，
又k≠0，∴kAN·k＝－1.
即·k＝－1，
得3k2＝2m－1.②
∵3k2>0，∴m>.
将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，
解得0∴m的取值范围为.
圆锥曲线中的存在性问题
典例　已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分．
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由．
考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题
题点　直线与圆锥曲线的综合问题
解　(1)由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0.
设直线AB：x－2＝m(y－2)，
代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.
判别式Δ＝(－8m)2－4(16m－16)＝64(m2－m＋1)>0恒成立．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y1＋y2＝8m，
由8m＝4，得m＝.
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
(2)假设C，D两点存在，
则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，
消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0，
其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，
则n>－4.(*)
又xC＋xD＝4(n＋8)，
所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程，
得n＝－，不满足(*)式．
所以满足题意的C，D两点不存在．
[素养评析]　(1)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．
(2)按照逻辑推理的形式与规则，探索论证结论的存在性，有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神.
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆的标准方程
题点　求椭圆的标准方程
答案　A
解析　∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，
∴2c＝×2a＝6，∴c＝3，
又b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题
答案　D
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
又渐近线过点(2，)，所以＝，即2b＝a，①
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，
由已知，得＝，即a2＋b2＝7，②
联立①②解得a2＝4，b2＝3，
所求双曲线的方程为－＝1，故选D.
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2B.C.D.
考点　双曲线的简单性质
题点　求双曲线的离心率
答案　C
解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.
依题意·＝－1，故＝1.
所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.
4．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为________．
考点　圆锥曲线的综合应用
题点　椭圆与抛物线的综合应用
答案　＋＝1
解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，
∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.
5．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
考点　抛物线的简单性质
题点　抛物线与其他曲线结合有关问题
答案　6
解析　如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，
所以B点坐标为.
又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．