2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程专题突破二焦点弦的性质学案（含解析）

专题突破二　焦点弦的性质
抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化．
一、焦点弦性质的推导
例1　抛物线y2＝2px(p>0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在准线上的射影为A1，B1.
证明：(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)＋＝为定值；
(5)S△OAB＝(θ为直线AB的倾斜角)；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
证明　(1)①当AB⊥x轴时，
不妨设A，B，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，
则直线AB的方程为y＝k，
代入抛物线方程y2＝2px，
消元得y2＝2p，
即y2－－p2＝0，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)当θ≠90°时，过A作AG⊥x轴，交x轴于G，
由抛物线定义知|AF|＝|AA1|，
在Rt△AFG中，|FG|＝|AF|cosθ，
由图知|GG1|＝|AA1|，
则p＋|AF|cosθ＝|AF|，得|AF|＝，
同理得|BF|＝；
当θ＝90°时，可知|AF|＝|BF|＝p，
对于|AF|＝，|BF|＝亦成立，
∴|AF|＝，|BF|＝.
(3)|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p
＝＋＝≥2p，
当且仅当θ＝90°时取等号．
故通径长2p为最短的焦点弦长．
(4)由(2)可得，
＋＝＋＝.
(5)当θ＝90°时，S△OAB＝×2p×＝，
故满足S△OAB＝；
当θ≠90°时，设直线AB：y＝tanθ，
原点O到直线AB的距离
d＝＝sinθ，
S△OAB＝|AB|＝sinθ×＝.
(6)如图：⊙M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，
则|MM1|＝＝＝，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
二、焦点弦性质的应用
例2　(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A.B.C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　D
解析　方法一　由题意可知，直线AB的方程为
y＝，
代入抛物线的方程可得4y2－12y－9＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝3，y1y2＝－，
故所求三角形的面积为
××＝.
方法二　运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，
则S△OAB＝＝＝.
(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16B．14C．12D．10
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　A
解析　方法一　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，
由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.
不妨设直线l1的斜率为k，
l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，
由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝2＋，
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，
当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
方法二　运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，
因此|AB|＋|DE|＝＋
＝＋＝＝≥16.
点评　上述两道题目均是研究抛物线的焦点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题．
跟踪训练1　(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A.B.C.D．2
考点　
题点　
答案　C
解析　方法一　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由|AF|＝3及抛物线定义可得，
x1＋1＝3，∴x1＝2，
∴取A点坐标为(2,2)，
则直线AB的斜率k＝＝2，
∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0，
则点O到该直线的距离d＝.
由消去y得，
2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝，
∴|BF|＝x2＋1＝，
∴|AB|＝3＋＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.
方法二　设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，
|AF|＝＝＝3，
∴cosθ＝，
S△AOB＝＝＝.
(2)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　
解析　方法一　设直线的倾斜角为θ，不妨设0<θ<，
∵|AB|＝＝＝，
∴sin2θ＝，
则cos θ＝＝，
又|AF|<|BF|，∴|AF|＝＝＝.
方法二　由于y2＝2x的焦点坐标为，由题干知A，B所在直线的斜率存在，设A，B所在直线的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1∴k2x2－(k2＋2)x＋＝0.
∴x1x2＝.
而|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，
∴x1＋x2＝.
∴x1＝，x2＝.
∴|AF|＝x1＋＝＋＝.
例3　已知A，B，C，D，E为抛物线y＝x2上不同的五点，抛物线的焦点为F，若＋＋＋＋＝0，则||＋||＋||＋||＋||等于(　　)
A．5B．10C.D.
考点　
题点　
答案　B
解析　抛物线y＝x2的准线方程为y＝－1，
焦点坐标为(0,1)．
设A，B，C，D，E的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，y5，
∵＋＋＋＋＝0，
∴y1－1＋y2－1＋y3－1＋y4－1＋y5－1＝0，
∴y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5，
根据抛物线的定义，可得||＋||＋||＋||＋||＝y1＋1＋y2＋1＋y3＋1＋y4＋1＋y5＋1＝10.
点评　用坐标表示向量，可以利用定义将向量的模长与坐标建立起联系．
跟踪训练2　如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点　
题点　
答案　A
解析　由题意可得＝＝＝＝.
1．已知AB是过抛物线y＝2x2的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(　　)
A．1B．2C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　D
解析　如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2，
又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
2．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若PF与FQ的长分别为p，q，则＋等于(　　)
A.B.C．2aD．4a
考点　
题点　
答案　B
解析　可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|>|BF|，则的值为(　　)
A．3B．2C.D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　A
解析　由抛物线的性质可知，
|AF|＝，|BF|＝，
∴＝＝3.
4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　)
A．4B．6C．8D．10
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　由焦点弦的性质知，
y1y2＝－4，即|y1|·|y2|＝4，
则y＋y≥2|y1|·|y2|＝8，
当且仅当|y1|＝|y2|＝2时，取等号．
故y＋y的最小值为8.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝3|BF|，且|AF|＝4，则p的值为(　　)
A. B．2
C. D.
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　设直线l的倾斜角为θ，
由焦点弦的性质知，|BF|＝，|AF|＝，
∴解得
6.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(　　)
A．等于1
B．等于4
C．最小值是1
D．最大值是4
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　A
解析　设直线l：x＝ty＋1，
代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)，D(x2，y2)，
根据抛物线的定义知，
|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，
故|AB|＝x1，|CD|＝x2，
所以|AB|·|CD|＝x1x2＝·＝，
而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.
7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
考点　抛物线中过焦点的弦长问题
题点　与弦长有关的其它问题
答案　C
解析　当cosθ>0时，|AF|＝，
|BF|＝，
∵|AF|＝3|BF|，∴＝，
∴cosθ＝，则tanθ＝，
∴l的方程为y＝(x－1)，
当cosθ<0时，|AF|＝，|BF|＝，
∵|AF|＝3|BF|，∴＝，
∴cosθ＝－，则tanθ＝－，
∴l的方程为y＝－(x－1)，
则l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
8．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
解　(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，
又AB的中点到x轴的距离为3，
∴y1＋y2＝6，∴p＝2，
∴抛物线的标准方程是x2＝4y.
(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由消去y得x2－4kx－24＝0，
∴(*)
易知抛物线在点P处的切线方程为
y－＝(x－x3)，
令y＝－1，得x＝，∴R，
又Q，F，R三点共线，∴kQF＝kFR，又F(0,1)，
∴＝，
即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，
整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，
将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，
∴直线m的方程为y＝±x＋6.