2020版高中数学北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程专题突破三离心率的求法学案（含解析）

专题突破三　离心率的求法
一、以渐近线为指向求离心率
例1　已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
思维切入　双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．
考点　
题点　
答案　2或
解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．
　　
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或.
又b2＝c2－a2，所以＝3或，
所以e2＝4或，所以e＝2或.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，
所以＝或，亦可得到e＝或2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
点评　双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．
跟踪训练1　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A.B.C.D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为
y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一　设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.
方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
二、以焦点三角形为指向求离心率
例2　如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
思维切入　连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　＋1
解析　方法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
则|AF1|＝|F1F2|＝c，
|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，
从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
方法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，
β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，
于是离心率
e＝＝＝
＝＝＋1.
点评　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．
跟踪训练2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
考点　
题点　
答案　－1
解析　方法一　如图，
∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝|OF2|＝c，
∴|NF1|＝＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，∴a＝，
∴e＝＝＝－1.
方法二　注意到焦点三角形NF1F2中，
∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
则由离心率的三角形式，
可得e＝
＝＝＝－1.
三、寻求齐次方程求离心率
例3　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
思维切入　通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　2
解析　如图，由题意知|AB|＝，
|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．
点评　求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
考点　椭圆的离心率问题
题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率
答案　
解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，
|AF|＝a＋c.
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝.
因为0四、利用直线与圆锥曲线的位置关系求离心率的取值范围
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
思维切入　画图，通过图像找出直线l与双曲线渐近线斜率的关系，利用e＝求解．
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　[2，＋∞)
解析　由题意知≥，即2≥3，
∴e＝≥2，
故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
点评　(1)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e＝得到离心率的取值范围．
(2)当直线与双曲线有两个公共点时，可联立方程组应用判别式Δ>0，从而可得的范围，再利用e＝即可得离心率的取值范围．
跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)
A. B．(，＋∞)
C. D.∪(，＋∞)
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　D
解析　由消去y并整理得
(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
由于直线与双曲线相交于两个不同的点，
则1－a2≠0?a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2，
所以a2∈(0,1)∪(1,2)．
另一方面，e＝，则a2＝，
从而e∈∪(，＋∞)．
五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围
例5　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
思维切入　
→
答案　(－1,1)
解析　在△PF1F2中，由正弦定理知
＝，
因为＝，
所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.①
又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.
将①代入得|PF2|＝，
又a－c<|PF2|同除以a得，1－e<<1＋e，
又0点评　圆锥曲线上一点到焦点的距离叫做该点的焦半径．
(1)椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]．
(2)双曲线的焦半径：
①点P与焦点F位于y轴同侧时，其取值范围为[c－a，＋∞)；
②点P与焦点F位于y轴异侧时，其取值范围为[c＋a，＋∞)．
跟踪训练5　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A.B.C．2D.
考点　双曲线的简单几何性质
题点　求双曲线的离心率
答案　B
解析　∵P在双曲线的右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF1|＝4|PF2|，
∴4|PF2|－|PF2|＝2a，
即|PF2|＝a，
根据点P在双曲线的右支上，
可得|PF2|＝a≥c－a，
∴a≥c，又∵e>1，∴1∴此双曲线的离心率e的最大值为.
1．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是(　　)
A.B．3C．2D．4
考点　
题点　
答案　C
解析　不妨设双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，
所以＝b＝c，
所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，
所以双曲线的离心率e＝＝2.
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(1,2] C．(1，) D．(1，]
考点　双曲线的离心率与渐近线
题点　双曲线离心率的取值范围
答案　D
解析　由题意可得，双曲线渐近线的斜率≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，]．
3.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)
A.－1B．2－C.D.
考点　椭圆的离心率问题
题点　由a与c的关系式得离心率
答案　A
解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
∴椭圆离心率e＝＝－1.
4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞)
C．(1，＋1) D．(1，)
考点　双曲线的几何性质
题点　求双曲线离心率的取值范围
答案　B
解析　由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，
只要∠AF2B为钝角即可．
由题设可得AF1＝，
所以有>2c，即2ac解得e∈(1＋，＋∞)．
故选B.
5．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
考点　
题点　
答案　2＋
解析　由双曲线的对称性，不妨设直线方程为y＝(x－c)．
由得x＝.由＝2a，e＝，
解得e＝2＋(e＝2－舍去)．
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为________．
考点　
题点　
答案　
解析　因为|MF2|＝7|MF1|，所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，
即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，
即e＝≤，
当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立．
故此双曲线离心率的最大值为.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是________．
考点　直线与椭圆的位置关系
题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题
答案　
解析　如图，连接PF1，OQ，
由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|.
由圆x2＋y2＝b2，
可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.
由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a－2b.
又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，
即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，
即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，
化简得2a＝3b，即b＝a.
∴c＝＝a，则e＝＝.
∴＝＝≥×2＝，
当且仅当a＝，即a＝时等号成立，
所以的最小值为.