【小升初复习专题】圆柱圆锥常见题型方法总结

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圆柱圆锥题型方法总结
1、 考纲解读
（1） 理解并探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程；能在方格纸上画出简单图形运动后的图形；了解确定物体位置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法；初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用。
（2） 根据观察、操作认识圆柱、圆锥的基本特征；认识圆柱的底面、侧面、高；认识圆锥的底面和高；掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式。
（3） 会利用公式计算体积及解决一般实际问题，提高空间想象和动手操作能力，拓展学生的思维空间。
常考题型：求圆柱体的侧面积，表面积，体积，底面周长，底面积、高；求圆锥的体积，底面积，底面周长、高；圆柱与圆锥关系的转换；横截面的问题；浸水体积问题；等体积转换问题等
占分比重：以上几种题型中，求圆柱、圆柱各部分的面积、体积等题型出现频率较高，圆柱圆锥关系转换以及由此衍生出的浸水体积、等体积转换等是常考题型，占比较高。
二、考点梳理（命题特点）&考试趋势
2.1. 基本公式运用.
2.2. 切割问题，表面积增加或减少.
2.3. 放入或拿出物体，水面上升或下降.
2.4. 高增加或减少，侧面积增加或减少问题.
2.5. 抓住体积不变类题型.
2.6. 圆锥圆柱的转换关系
三、题型讲解
3.1解题技巧归纳（提分秘笈）
3.1.1归纳1
例1一个圆柱的高减少2厘米侧面积就减少50.24平方厘米，它的体积减少多少立方厘米？
答案 ：
100.48立方厘米
解析:
减少的侧面积即是以底面周长为长，以2厘米为宽的长方形的面积，底面周长为50.24÷2=25.12厘米，由此进一步求出底面半径，r=25.12÷（2×3.14）=4厘米，根据体积公式求出减少的体积即可。
【注意事项】
此题需明确减少的侧面积是一个长方形，依据长方形面积等于50.24，进一步求出圆柱的底面半径及长方形的长。
例2一个圆柱的侧面展开是一个正方形。如果高增加2厘米，表面积增加12.56平方厘米。原来这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？
答案 ：
39.4384平方厘米
解析:
增加的侧面积是长方形，即长方形的面积是12.56平方厘米，宽是2厘米，即长是12.56÷2=6.28厘米，即底面周长是6.28，那么圆柱的侧面积是底面周长×高，又因为侧面是正方形，即底面周长等于=高，得出圆柱的侧面积是 6.28×6.28=39.4384平方厘米
3.1.2归纳2
例1把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，表面积增加48平方分米。原来这个圆柱的体积是多少立方分米？??
答案：
底面直径：48÷2÷6=4分米
体积=3.14×4×6=75.36平方分米
解析：
由题意可知：增加的部分是两个长和宽分别为底面直径和高的长方形，于是即可求出底面直径，进而利用圆柱的体积公式即可得解。
【注意事项】
此题需注意沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，则增加的部分是两个长和宽分别为底面直径和高的长方形，根据题目已知信息解决。
例2把两个完全一样的半个圆柱合并成一个圆柱，底面半径是3厘米，表面积减少72平方厘米现在这个圆柱的侧面积是多少平方厘米？????
答案 ：
72÷2÷6=6厘米
3.14×3×2×6=113.04平方厘米
解析：
根据题干可知，把两个完全一样的半个圆柱合并成一个圆柱，表面积减少了两个边长分别等于底面直径和高的长方形的面积，据此可得出拼成的圆柱的高是6厘米，再根据圆柱的侧面积公式，即可列式解答。
3.1.3归纳3
例1一个正方体棱长是4分米，把它削成一个最大的圆柱，削去的体积是多少？?
答案：

4×4×4=64立方厘米
底面半径为4÷2=2厘米，圆柱体积为3.14×4×4=50.24立方厘米
削去部分的体积是64-50.24=13.76立方厘米
解析：
一个正方体的棱长是4分米，把它削成一个最大的圆柱，也就是说这个最大的圆柱体的底面直径是4分米，高也是4分米，先根据正方体体积公式，先求出正方体的体积，再根据圆柱的体积公式求出圆柱体的体积，最后相减即可得出答案。
【注意事项】
要在正方体中削成一个最大的圆柱，也就是说这个圆柱的底面直径是这个正方体的底面边长，圆柱体的高是这个正方体的棱长，再根据正方体体积减去圆柱体体积即可得出答案。
例2一个长方体，长10分米，宽8分米，高6分米。把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积为多少立方分米？??

答案
（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高
体积为301.44立方分米
（2）以6分米为底面直径，10分米为高
体积为282.66立方分米
（3）以6分米为底面直径，以8分米为高
体积为301.44立方分米
解析：
根据长方体切割出最大的圆柱的特点可知，有三种切割方式，（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高
，（2）以6分米为底面直径，10分米为高，（3）以6分米为底面直径，以8分米为高。由此可利用圆柱体的体积公式求出各自对应的体积，最后比较大小即可。

3.1.4归纳4
例1一个直角三角形，两条直角边分别是6厘米和9厘米，沿一条直角边旋转一周后，得到一个圆锥体，求圆锥体的体积是多少？?
答案
（1）×3.14×92×6，
=3.14×162，
=508.68（立方厘米）；
（2）×3.14×62×9，
=3.14×108，
=339.12（立方厘米）；
答：得到的圆锥体是508.68立方厘米或339.12立方厘米
解析:
假设6厘米的直角边为轴旋转一周，则得到一个底面半径为9厘米，高为6厘米的圆锥，再假设以9里面的直角边为轴，则得到一个底面板金为6厘米，高为9厘米的圆锥，利用圆锥的体积公式求解即可。
【注意事项】
在旋转的过程中，所形成的圆锥的底面半径是直角边的两倍。
例2如图，将三角形以斜边为轴旋转一周，计算所得立体图形的体积。（单位：厘米）


答案:
（1）设大直角三角形直角边为x，则：
x2+x2=62，
2x2=36，
x2=18，
则斜边上的高为：18÷6=3（厘米），

×3.14×r2×6，
=×3.14×32×6，
=56.52（立方厘米）；
（2）斜边的高为：3×4÷5=2.4（厘米），
×3.14×2.42×5，
=×3.14×5.76×5，
=30.144（立方厘米）．
解析：
（1）根据圆锥的展开图特点可得，图1绕斜边旋转一周后所得到的是两个以斜边的高为直径，高的和为6厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可；
（2）先做出斜边上的高，然后根据3×4÷5=2.4（厘米）求出斜边上的高，然后根据图2绕斜边旋转一周后得所得到的是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用体积公式切得体积之和即可。


3.1.5归纳5
例1自来水管的内半径是2cm，管内水的流速是每秒20cm。一位同学打开水龙头洗手，走时忘了关，5分钟后被另一名同学发现才关上，请你算一算，大约浪费了多少升水???????

答案：
5分钟=300秒，
3.14×2?2?×20×300，
=3.14×4×20×300，
=75360（立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)），
=75.36（升）；
答：大约浪费了75.36升水．
解析：
根据题意，自来水管每秒流出的水量为3.14×2×2×20立方厘米，那么5分钟等于300秒，流出的水量再乘以300即可解决问题。

【注意事项】
将生活实际与数学相联系，把自来水管的水柱看做一个较长的圆柱体，根据体积公式求解即可。

例2小明有一个百宝箱，上部是一个圆柱的一半，下部是一个长50cm，宽40cm，高20cm的长方体，小明这个百宝箱的表面积和体积分别是多少??


答案：
3.14×（40÷2）2+3.14×40×50÷2+50×40+50×20×2+40×20×2，
=1256+3140+2000+2000+1600，
=9996（平方厘米），
答：百宝箱的表面积是9996平方厘米
解析：
观察图形可知，百宝箱的表面积等于直径40厘米的圆的面积与底面直径40厘米，高50厘米的圆柱的侧面积的一半，再加上长50厘米，宽40厘米，高20厘米的长方体的表面积（去掉长方体的上部50×40的面）的和，据此利用圆柱与长方体的表面积公式计算即可解答。

3.1.6 归纳6
例1如图,想想办法,你能否求出它的体积?(?单位:分米)

答案：
3.14×（2÷2）2×3+3.14×（2÷2）2×（4-3）÷2
=3.14×3+3.14÷2
=9.42+1.57
=10.99（立方分米）
答：它的体积是10.99立方分米．
解析：
由题意可知：这个图形的体积就等于底面直径为2分米，高为3分米的圆柱的体积，再加上底面直径为2分米，高为4-3=1分米的圆柱的体积的一半，据此即可求解。
【注意事项】
针对这类规则图形的体积，可以适当的给它填补上另一半，使之变为规则图形，再把体积除以2即可。
例2一个圆柱形物体的底面直径是6分米，被斜截后，如图，最低处高是8分米，最高处高是10分米。被截后的物体体积是多少立方分米？

答案：
3.14×（6÷2）2×8+3.14×（6÷2）2×（10-8）÷2，
=3.14×9×（8+1），
=3.14×81，
=254.34（立方分米），
答：被截后的物体体积是254.34立方分米．
解析：
根据圆柱的体积公式V=sh，分别算出底面直径是6分米，高是8分米的圆柱的体积和底面积是6分米，高是10-8=2分米的圆柱的体积的一半，再相加即可。

3.1.7 归纳7
例1一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24立方厘米。如果圆锥体的底面半径是2厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？??????
答案：
圆锥体积：50.24÷（3-1），
=50.24÷2，
=25.12（立方厘米），
高：25.12×3÷（3.14×22），
=75.36÷12.56，
=6（厘米），
答：圆锥的高是6厘米

解析：
一个圆柱体和圆锥体等底等高，圆柱体体积是圆锥体体积的3倍，则圆柱体体积比圆锥体体积多2倍，根据他们的体积差50.24立方厘米，可求出圆锥的体积，进而根据体积公式求出圆锥的高。

【注意事项】
对于等底等高是，圆锥圆锥体积是3倍关系；等高等体积时，圆柱圆锥的底面积是3倍关系；等底面积等体积时，圆柱圆锥的高是3倍关系。
例2一个圆柱体体积与一个圆锥体的体积相等，它们底面积的比是3：5，圆柱的高8厘米，那么圆锥的高是多少厘米？??????
答案：
底面积的比3：5，可看成3（厘米）：5（厘米）
圆柱体体积：3×8=24立方厘米，
圆锥体积也是24立方厘米，
因 底×高÷3=圆锥体积
圆锥的高=圆锥体积×3÷高
圆锥的高：24×3÷5=14.4厘米

解析：
根据圆柱及圆锥的体积公式，设圆柱的底面积为3，圆锥的底面积为5，将数据代入公式解答即可。

3.1.8 归纳8
例1一段长宽高的比是5：4：3的长方体木材，棱长总和是96厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？??????
答案：
5+4+3=12，
长：96?÷4×?=10（厘米），
宽：96?÷4×?=8（厘米），
高：96?÷4×?=6?（厘米），
?×3.14×（8÷2）?2?×6
=?×3.14×16×6
=100.48（立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)）；
答：这个圆锥的体积是100.48立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)．

解析：
先根据长、宽、高的比是5：4：3，棱长总和是96厘米，可求出长方体木材的长、宽。高；削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径等于长方体的高，圆锥的高等于长方体的宽的时候体积最大，再根据圆锥的体积公式，代入数值求解即可。


【注意事项】
此题涉及到按比分配，考察对知识的综合运用，先求出长方体木材的长、宽、高之后，再根据多种设想得出体积最大的切割方式。
例2 在长5厘米、宽2厘米、高3厘米的长方体中切一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方厘米？
答案
3.14×（2÷2）2×5，
=3.14×1×5，
=15.7（立方厘米）；
答：这个圆柱的体积最大是15.7立方厘米．
解析
根据题意，要削成一个最大的圆柱，那必须用长宽高当中最短的棱长作圆柱的直径，最长的棱长作圆柱的高，所以圆柱的底面积是2厘米，高是5厘米，根据体积公式求解即可。

3.1.9 归纳9
例1在一只底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高15厘米的一块铁块。?
（1）如果把铁块横放在水中水面上升多少厘米？????
（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米？???
答案：
（1）如果横放在水里
铁块的体积＝8x8x15=960立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
容器的底面积＝3.14x10x10=314立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
所以上升的高度=960/3.14=3.06厘米
（2）竖摆
容器的底面积＝3.14x10x10=314立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
铁块的底面积＝8x8=64立方厘米
铁块放进去以后,水的截面积为玻璃容器的底面积减去铁块的底面积
水的高度＝314x8/(314-64)=10.05厘米
水上升的高度=10.05-8=2.05厘米

解析
放入铁块前后的水的体积不变，根据水深8厘米，可以先求的水的体积，那么放入铁块之后，容器的底面积变小了，由此可以得出此时水的深度，减去原来没放入铁块的水深就是上升的高度，横放时升高部分的水的体积就等于铁块的体积。
【注意事项】
这类属于浸没问题，分完全浸没和部分浸没，完全浸没时，上升或者下降的那部分水的体积就是物体的体积，针对部分浸没时把握住不变量，即水的体积不会发生改变，改变的只是容器的底面积，底面积变小，才导致水面上升。
例2 在一只底面半径为20厘米的圆柱形玻璃容器中，水深15厘米，要在容器中放入长和宽都是15厘米，高20厘米的一块铁块。
（1）如果把铁块横放在水中水面上升多少厘米？????
（2）如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米？????
答案：
（1）如果横放在水里
铁块的体积＝20x15x15=4500立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
容器的底面积＝3.14x20x20=1256立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
所以上升的高度=4500/314=14.33厘米
（2）竖摆
容器的底面积＝3.14x20x20=1256立方厘米 (?https:?/??/?www.baidu.com?/?s?wd=%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%8E%98%E7%B1%B3&tn=SE_PcZhidaonwhc_ngpagmjz&rsv_dl=gh_pc_zhidao" \t "_blank?)
铁块的底面积＝15x15=225立方厘米
铁块放进去以后,水的截面积为玻璃容器的底面积减去铁块的底面积
水的高度＝1256×15/(1256-225)=18.27厘米
水上升的高度=18.27-15=3.27厘米
解析：
放入铁块前后的水的体积不变，根据水深15厘米，可以先求的水的体积，那么放入铁块之后，容器的底面积变小了，由此可以得出此时水的深度，减去原来没放入铁块的水深就是上升的高度，横放时升高部分的水的体积就等于铁块的体积。










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