2020版高中数学新人教B版必修5章末检测试卷（三）第三章 不等式（含解析）

章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2018·广东中山纪念中学期末)若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．＞B．a2＜abC．aa＞baD．＜
答案　D
解析　当a＝－2＜b＝－1＜0时，＝，aa＝＜ba＝1，所以选项A，C都不一定成立．又a＜b＜0，所以a2＞ab，所以选项B不成立．又－＝＝＜0，所以＜，故选D.
2．不等式<的解集是(　　)
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案　D
解析　由<，
得－＝<0，
即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　)
A．M>NB．M≥NC．M答案　A
解析　∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.
∴M>N.
4．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则(　　)
A．3x0＋2y0>0B．3x0＋2y0<0C．3x0＋2y0<8D．3x0＋2y0>8
答案　D
解析　设f(x，y)＝3x＋2y－8，则由题意，得f(x0，y0)·f(1,2)<0，得3x0＋2y0－8>0.
5．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
答案　B
解析　方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，
且4a<－3a，故不等式的解集为{x|4a6．已知m＝a＋(a＞2)，n＝(x＜0)，则m，n的大小关系为(　　)
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
答案　A
解析　因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4，当且仅当a＝3时等号成立，n＝＜＝4，所以m＞n.
7．(2018·湖南衡阳八中月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
答案　B
解析　当x＝0时，x2＋a|x|＋1＝1≥0成立．
当x≠0时，a|x|≥－(x2＋1)，a≥－恒成立．
∵|x|＋≥2，∴－≤－2.∴a≥－2.
8．(2018·全国Ⅰ改编)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为(　　)
A．－3B．6C．－20D．20
答案　B
解析　作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域(含边界)，
作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2,0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6.
9．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3B．6C．9D．12
答案　C
解析　因为x＞0，y＞0，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时，等号成立，故选C.
10．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集是(　　)
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
答案　A
解析　由f(x)≥x2，可得或
解得或
即或
∴－1≤x≤0或011．在满足对任意的x，不等式f(x)≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作f(x)的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B．
C． D．－4
答案　A
解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
12．(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0答案　B
解析　由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0<＋<1，得0<<1.又a>0，b<0，所以ab<0，所以ab二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围为____________．
答案　
解析　当a2－4＝0时，a＝±2.若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a≠±2时，要使不等式的解集为空集，则
解得－2综上，实数a的取值范围为.
14．函数f(x)＝的最小值为________．
答案　
解析　＝＝＋，因为≥2，所以根据对勾函数y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增的性质，可知当＝2，即x＝0时，取得最小值.
15．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
答案　5
解析　∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．
16．(2018·贵州铜仁一中月考)已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是________．
答案　
解析　由题意，可知x1，x2是方程x2－4ax＋3a2＝0的两个根，则x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，所以x1＋x2＋＝4a＋≥，当且仅当a＝时，等号成立．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解　(1)由题意知，1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，则解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即为x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，原不等式的解集为{x|2②当c<2时，原不等式的解集为{x|c③当c＝2时，原不等式无解．
综上知，当c>2时，原不等式的解集为{x|2当c<2时，原不等式的解集为{x|c当c＝2时，原不等式的解集为?.
18．(12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)若f(x)在[m，n]上的值域是[m，n]，求a的取值范围，并求相应的m，n的值；
(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解　(1)因为f(x)＝－(a>0，x>0)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
那么当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，所以
即m，n是方程－＝x相异的两实根，
由－＝x，得x2－x＋1＝0，
由题设知所以0此时，m＝，n＝.
(2)若－≤2x在(0，＋∞)上恒成立，
那么a≥恒成立．
令g(x)＝(x>0)．
所以g(x)≤＝.
故a≥.
19．(12分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
解　(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p，
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，
因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立．
20．(12分)(2018·烟台检测)已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解　由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得
(1)因为x＞0，y＞0，
所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
所以3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
所以(3＋1)(－1)≥0，
所以≥1，所以xy≥1，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
所以xy的最小值为1.
(2)因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＋1＝3xy≤3·2，
所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
所以x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以x＋y的最小值为2.
21．(12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
解　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x＞25时，a≥＋＋有解．
由于＋≥2＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22．(12分)已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)解不等式f(x)>；
(2)若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
解　(1)设2x＝t>0，则2－x＝，∴t＋>，
即2t2－5t＋2>0，解得t<或t>2，
即2x<或2x>2，∴x<－1或x>1.
∴f(x)>的解集为{x|x<－1或x>1}．
(2)f(x)＝2x＋2－x，
令t＝2x＋2－x，则t≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)．
又f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，
故f(2x)≥mf(x)－6可化为t2－2≥mt－6，
即m≤t＋，
又t≥2，t＋≥2＝4
(当且仅当t＝2，即x＝0时等号成立)．
∴m≤min＝4.即m的最大值为4.