2020版高中数学新人教B版必修5章末检测试卷（一）第一章 解直角三角形（含解析）

章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(2，3) C．(，3) D．(2，3)
答案　C
解析　由cosC＝<0，得c2>a2＋b2＝5.
∴c>，又c2．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)
A.B.C.D.
答案　B
解析　由正弦定理，得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.
3．(2018·连云港期末)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝bsinA，则角B的大小为(　　)
A.B.C.D.
答案　A
解析　∵a＝bsinA，
∴由正弦定理可得，sinA＝sinBsinA，
∵sinA>0，
∴sinB＝，
∴由B为锐角，可得B＝.
4．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
答案　C
解析　∵a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴5＝15＋c2－2×c×，
化简得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.
5．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于(　　)
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
答案　D
解析　由＝，
得sinB＝＝.
又a6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2tanA＝a2tanB成立，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　D
解析　由已知及正弦定理可得tanAsin2B＝tanBsin2A，
∴·sin2B＝·sin2A，
又sinA≠0，sinB≠0，
∴sinBcosB＝sinAcosA，
即sin2A＝sin2B.
又∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
∴A＝B或A＋B＝，
即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
7．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于(　　)
A. B.
C. D．3
答案　C
解析　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.
又a＝，cos A＝＝，解得c＝2，b＝4.
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于(　　)
A.B.C．2D.
答案　A
解析　由·＝1可得2||cos(180°－B)＝1，
即2||cosB＝－1，
由余弦定理可得32＝BC2＋22－2×2BCcosB，
把2BCcosB＝－1代入，得9＝BC2＋4＋2，
解得BC＝.
9．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案　D
解析　由已知lg＝lg2，
∴＝2.
sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝2cosBsinC，
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
即sin(B－C)＝0，
∵B，C为三角形内角，
∴B－C＝0，B＝C.
10．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围是(　　)
A．[－2,2] B．[0,2] C．(0,2] D．(，)
答案　D
解析　由题意得
?由正弦定理得＝，AC＝2cosA.
∵A∈，∴AC∈(，)．
11.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD是(　　)
A．100mB．100mC．100mD．50m
答案　A
解析　依题意，∠CAB＝30°，AB＝600m，
∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，得
BC＝·sin∠CAB＝×sin30°＝300，
∴CD＝BCtan∠CBD＝300×tan30°＝100(m)．
12．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
答案　D
解析　△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，
则△A1B1C1是锐角三角形，
若△A2B2C2是锐角三角形，
由得
那么A2＋B2＋C2＝，矛盾，
若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝，
则cosA1＝sinA2＝1，A1＝0，矛盾．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在等腰三角形ABC中，已知sinA∶sinB＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是_______．
答案　50
解析　由正弦定理，得BC∶AC＝sinA∶sinB＝1∶2，
又底边BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20，
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
14．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________.
答案　
解析　由正弦定理得＝，
∴sinC＝，且C为锐角(A＝120°)．
∴cosC＝.
∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)
＝cosC－sinC＝×－×＝.
15．(2018·江苏改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则＋＝________.
答案　1
解析　依题意有S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，
即acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，
ac＝a＋c，∴＋＝1.
16．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.
答案　
解析　如图，
∠CAB＝15°，
∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，
AB＝1km.
在△ABC中，由正弦定理，得
＝，
∴BC＝×sin15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin75°＝×＝(km)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.
(1)求A；
(2)求AC边上的高．
解　(1)在△ABC中，因为cosB＝－，
所以sinB＝＝.
由正弦定理得sinA＝＝.
由题设知所以∠A＝.
(2)在△ABC中，
因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
所以AC边上的高为asinC＝7×＝.
18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.
(1)求a和sinC的值；
(2)求cos的值．
解　(1)在△ABC中，由cosA＝－，
可得sinA＝.
由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24.
又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.
由＝，得sinC＝.
(2)cos＝cos2A·cos－sin2A·sin
＝(2cos2A－1)－×2sinA·cosA＝.
19．(12分)(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin∠ADB＝.
由题意知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝＝.
(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.
20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
(1)证明　∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解　由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(ab＝－1舍去)，
∴S△ABC＝absinC＝×4×sin＝.
21．(12分)如图，已知A，B，C是一条直路上的三点，AB与BC各等于1km，从三点分别遥望塔M，在A处看见塔在北偏东45°方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC的最短距离．
解　由题意得∠CMB＝30°，∠AMB＝45°，
∵AB＝BC＝1，∴S△MAB＝S△MBC，
即MA×MB×sin45°＝MC×MB×sin30°，
∴MC＝MA，在△MAC中，由余弦定理，得
AC2＝MA2＋MC2－2MA×MC×cos75°，
∴MA2＝，
设M到AB的距离为h，则由△MAC的面积得
MA×MC×sin75°＝AC×h，
∴h＝×sin75°＝××sin75°
＝(km)．
∴塔到直路ABC的最短距离为km.
22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＋＝2cosA.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．
解　(1)根据二倍角公式及题意得2cos2A＋＝2cosA，
即4cos2A－4cosA＋1＝0，
∴(2cosA－1)2＝0，∴cosA＝.
又∵0(2)根据正弦定理，＝＝，
得b＝sinB，c＝sinC.
∴l＝1＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)，
∵A＝，∴B＋C＝，
∴l＝1＋
＝1＋2sin，
∵0∴