课件32张PPT。第1课时 等差数列的前n项和公式第二章 2.2.2 等差数列的前n项和学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.
3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等差数列的前n项和
1.定义：对于数列{an}，一般地，称 为数列{an}的前n项和.
2.表示：常用符号Sn表示，即Sn＝ .
知识点二 等差数列前n项和公式
等差数列的前n项和公式a1＋a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋a3＋…＋an知识点三 a1，d，n，an，Sn知三求二两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.
2.依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”.知识点四 数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，S1Sn－Sn－1特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.1.若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.( )
2.若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.( )
3.等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法.( )
4.1＋2＋3＋…＋100＝ .( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√√2题型探究PART TWO题型一 等差数列前n项和公式的基本运算例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；解 方法一 由已知条件得∴a1＋a10＝42，(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.∴a4＝6.∴n＝20.反思感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用.
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.跟踪训练1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.题型二 由数列{an}的前n项和Sn求an例2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋ n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，
当n≥2时，解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1反思感悟 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.
当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.题型三 等差数列在实际生活中的应用例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).反思感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？解 设n分钟后两人第1次相遇，由题意，解得n＝7，n＝－20(舍去).
所以第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？整理得n2＋13n－420＝0.
解得n＝15，n＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.3达标检测PART THREE123451.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于
A.2 300 B.2 400 C.2 600 D.2 500√解析 由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，123452.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于
A.2 B.3 C.6 D.7√方法二 由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，
所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.123453.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.190＝19a10＝19×10＝190.123454.已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和.若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.72解得a1＝d＝2，123455.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝_______________.3(n＋1)(n∈N＋)解析 由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)， ①
当n≥2，n∈N＋时，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)， ②
①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)
＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，
∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋).
又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，
∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.课堂小结KETANGXIAOJIE1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.
2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量.若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋).
3.由Sn与an的关系求an主要使用an＝课件39张PPT。第2课时 等差数列前n项和的性质第二章 2.2.2 等差数列的前n项和学习目标XUEXIMUBIAO1.会利用等差数列性质简化求和运算.
2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等差数列{an}的前n项和Sn的性质思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案 (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)
＝3d＋3d＋3d＝9d，
(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.
∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列.知识点二 等差数列{an}的前n项和公式的函数特征二次最大2.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，最大最小最小1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.( )
2.等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU4.数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列.( )×√√√2题型探究PART TWO即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.题型一 等差数列前n项和的性质的应用例1 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；解 方法一 在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列.
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.反思感悟 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.跟踪训练1 一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和.解 设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，题型二 求等差数列前n项和的最值问题例2 在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值.解 方法一 ∵S9＝S17，a1＝25，解得d＝－2.＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
方法三 同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法四 同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝ ＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用②运用二次函数求最值.跟踪训练2 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；解 由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋).(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解 方法一 由(1)知，a1＝9，d＝－2，∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二 由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值.题型三 求数列{|an|}的前n项和例3 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn反思感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}.若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和.跟踪训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋).①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG用数形结合思想求解数列中的参数问题典例 在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时
Sn取得最大值，则d的取值范围为____________.解析 方法一 由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9＜0，3达标检测PART THREE123451.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于
A.13 B.35 C.49 D.63√123452.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12 B.13 C.14 D.15√解析 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.123453.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A.63 B.45 C.36 D.27√解析 ∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.123454.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为
A.5 B.6 C.7 D.8√解析 由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，又a9>a5，所以d>0，a1<0.取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.123455.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.20∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.课堂小结KETANGXIAOJIE1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.2.求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
