课件38张PPT。第1课时 等比数列的概念及通项公式第二章 2.3.1 等比数列学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等比数列的概念
等比数列的概念和特点.
1.文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0).3.等比数列各项均 为0.2前比同一公比不能知识点二 等比中项的概念
等比中项与等差中项的异同，对比如下表：等比等比两相反数xy＞0知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝ (n∈N＋).a1qn－11.若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列.( )
2.任何两个数都有等比中项.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU4.常数列既是等差数列，又是等比数列.( )××√×2题型探究PART TWO题型一 等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列多维探究例1 判断下列数列是否为等比数列.
(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；解 记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，….∴数列为等比数列，且公比为3.(2)－1，1，2，4，8，…；解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，∴此数列不是等比数列.(3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，
显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：
①从第二项起.②要判定每一项，不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是
①1，－2，4，－8；②－ ，2，－2 ，4；
③x，x2，x3，x4； ④a－1，a－2，a－3，a－4.
A.①② B.①②③
C.①②④ D.①②③④√解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∴数列{an＋1}是等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列.
∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.跟踪训练2 数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.
解 由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.题型二 等比数列基本量的计算例3 在等比数列{an}中.解 设等比数列的公比为q，解 设等比数列{an}的公比为q.∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.反思感悟 已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项.跟踪训练3 在等比数列{an}中：
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；解 由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解 设等比数列的公比为q，所以an＝a1qn－1＝5×2n－1，n∈N＋.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝ 时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？当q＝－2时，a＝－4，
所求四个数依次为2，－4，8，－16.
当q＝－ 时，a＝8，
所求四个数依次为－16，8，－4，2，
综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.素养评析 (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.3达标检测PART THREE1.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为
A.4 B.8 C.6 D.32√解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1 ， 2n－1＝32，所以n＝6.1234562.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于
A.64 B.81 C.128 D.243√又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.1234563.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于
A.607.5 B.608 C.607 D.159√解析 ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，1234564.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于
A.－24 B.0 C.12 D.24√解析 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.1234565.45和80的等比中项为_________.－60或60解析 设45和80的等比中项为G，
则G2＝45×80，∴G＝±60.1234566.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.123456课堂小结KETANGXIAOJIE1.等比数列的判断或证明3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.课件29张PPT。第2课时 等比数列的性质第二章 2.3.1 等比数列学习目标XUEXIMUBIAO1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.
2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1· ①
＝am· ②
＝ · ③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q＞0且q≠1时，y＝ ·qx为指数型函数.qn－1qn－mqn知识点二 等比数列常见性质
(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N＋)；
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；
(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(4)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或 )的等比数列；1.an＝amqn－m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.( )
2.等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列.( )
3.若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.( )
4.若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PART TWO题型一 等比数列通项公式的推广应用例1 已知等比数列{an}中.
(1)若a4＝2，a7＝8，求an；∴ (n∈N＋).∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋).解 由 ＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0，
得a5＝q5，即a1q4＝q5，
又q≠0，∴a1＝q.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，(2)若{an}为递增数列，且 ＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.反思感悟 (1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.跟踪训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于
A.21 B.42 C.63 D.84√解析 设等比数列{an}的公比为q，
则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，
解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，
于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.题型二 等比数列的性质及其应用例2 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.反思感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题.跟踪训练2 设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于
A.38 B.39 C.9 D.7解析 ∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，√题型三 由等比数列衍生的新数列例3 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于解析 ∵{an}为等比数列，
∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，
∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)
＝5×10，
又{an}各项均为正数，√反思感悟 借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量.跟踪训练3 等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为
A.32 B.64 C.128 D.256√解析 由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，解 n年后车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5(1－10%)，a2＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
∴n年后车的价值为an＝13.5×(0.9)n万元.核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 由(1)得a4＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.素养评析 (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.
(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.3达标检测PART THREE123451.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为
A.2 B.3 C.4 D.8√解析 由a5＝a2q3，得q3＝8，所以q＝2.12345√123453.已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是√解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64，123454.在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为___.8解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7
＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)
＝(a1a8)3＝23＝8.123455.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？解 不是等比数列.
∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，课堂小结KETANGXIAOJIE1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.
2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量.
3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
