课件34张PPT。第1课时 等比数列前n项和公式第二章 2.3.2 等比数列的前n项和学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等比数列的前n项和公式知识点二 错位相减法
1.推导等比数列前n项和的方法叫 法.
2.该方法一般适用于求一个 数列与一个 数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法.错位相减等差等比思考 如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？答案 Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1 ， ①
qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn， ②
①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn－1－anqn
＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn－1)－anqn.
同样能转化为等比数列求和.知识点三 使用等比数列求和公式时注意事项
(1)一定不要忽略q＝1的情况；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.2.求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×4.等比数列前n项和Sn不可能为0.( )2题型探究PART TWO题型一 等比数列前n项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和：反思感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立.跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；解 方法一 a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.方法二 数列{(－1)n＋2}为－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×(－1＋1)＝0.解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，故此数列共有5项.解得q＝－2(q＝1舍去).
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.题型二 等比数列基本量的计算例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.解 由题意，得若q＝1，
则S3＝3a1＝6，符合题意.
此时，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，跟踪训练2 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.63解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，
∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，题型三 利用错位相减法求数列的前n项和反思感悟 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.跟踪训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0).当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO分期付款模型典例 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)解 方法一 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小华每期付款金额约为883.5元.方法二 设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则
A2＝x；
A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；
A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；
…，
A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).
∵年底付清欠款，
∴A12＝5 000×1.00812，
即5 000×1.00812
＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，故小华每期付款金额约为883.5元.素养评析 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.3达标检测PART THREE123451.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于√12345解析 方法一 由等比数列的定义，√123453.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是
A.179 B.211 C.243 D.275√解析 去年产值为a，
今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).123454.某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为____________.11a(1.15－1)123455.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝____________________.(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋)解析 ∵an＝n·2n，
∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋).课堂小结KETANGXIAOJIE1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”.
2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
3.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.课件32张PPT。第2课时 等比数列前n项和的性质及应用第二章 2.3.2 等比数列的前n项和学习目标XUEXIMUBIAO1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.知识点二 等比数列前n项和的性质
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).1.等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( )
2.若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )
3.若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.
( )
4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√×2题型探究PART TWO解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋).求{an}的通项公式.跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝______.解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，题型二 等比数列前n项和的性质命题角度1 连续n项之和问题多维探究证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，方法二 根据等比数列的性质有
S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，命题角度2 不连续n项之和问题例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.解 设数列{an}的首项为a1，公比为q，
全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，
由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ＝________.126解析 ∵ ，
∴{ }是首项为b2，公比为2的等比数列.核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN等比数列前n项和的分类表示典例 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；
数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.
因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)综上所述，素养评析 数学中有不少概念表达式相当抽象.只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则.本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.3达标检测PART THREE123451.已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于
A.31 B.33 C.35 D.37√解析 设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，
∴S10＝1＋32＝33.12345√12345当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，123453.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为√解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，
所以向量a＝(c，d)的模为1.123454.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于
A.24 B.12 C.18 D.22√解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.123455.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于
A.8 B.6 C.4 D.2√解析 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
即1，2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.课堂小结KETANGXIAOJIE1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列.
2.等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想：
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，01或a1>0，0
