2020版高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.1.2数列的递推公式（选学）

课件31张PPT。2.1.2　数列的递推公式(选学)第二章 §2.1　数　列学习目标XUEXIMUBIAO1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.
2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一　递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 项(或某一项)开始的任一项___与它的前一项 (或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数n的恒等式.
(3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.二anan－1知识点二　递推公式与通项公式的比较
通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项.答案　a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8；(2)已知an＝2n，求a4.
答案　a4＝2×4＝8.1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N＋，则a2＝2a1.(　　)
2.利用an＋1＝2an，n∈N＋可以确定数列{an}.(　　)
3.an＝n与y＝x的图象是相同的.(　　)
4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.
(　　)思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××√2题型探究PART TWO题型一　由数列前若干项归纳递推公式例1　图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.解　如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，个数依次为1，3，9，27.
则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1，n∈N＋.反思感悟　求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图象法则一如既往地直观.跟踪训练1　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n个三角形数比第n－1(n≥2，n∈N＋)个三角形数多___个石子.n解析　∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n.题型二　数列的递推公式命题角度1　由递推公式求前若干项多维探究引申探究反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.解　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 019＝a336×6＋3＝a3＝1.跟踪训练2　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N＋，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 019项？命题角度2　由递推公式求通项例3　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N＋，求通项an；解　当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋ ＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N＋.a1＝1也符合上式，…，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.3达标检测PART THREE1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2√12345解析　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，
an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C.√解析　由a1＝1得a2a1＝a1＋(－1)2，则a2＝2；12345由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝ ；3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于
A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n12345√解析　∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋
＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式.
故数列的通项an＝3－n(n∈N＋).123451解析　∵x1＝1，∴x2＝－ ，∴x3＝1，
∴数列{xn}的周期为2，∴x2 019＝x1＝1.12345解析　a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，
∴an＝2n＋1，n∈N＋.5.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是__________________.an＝2n＋1，n∈N＋1.{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式.而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系.
2.数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法.
3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
课堂小结KETANGXIAOJIE