2020版高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项（31张）

课件31张PPT。专题突破二　数列的单调性和最大(小)项第二章 数列一、数列的单调性
(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列).
(2)判断单调性的方法
①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.
②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性.例1　已知函数 f (x)＝ (x≥1)，构造数列an＝f (n)(n∈N＋).试判断数列的单调性.∴an＋1＜an.
∴数列{an}是递减数列.方法二　设x1＞x2≥1，则∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，
即f (x1)＜f (x2)，
∴f (x)在[1，＋∞)上为减函数，
∴an＝f (n)为递减数列.反思感悟　研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1＝3(2n－2－2n－1)＋2(3n－3n－1)
＝－3×2n－2＋4×3n－1∴an＋1－an＞0，即an＋1＞an，n∈N＋.
∴{an}是递增数列.二、求数列中的最大(或最小)项问题
常见方法：
(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.45，44故数列{an}在0A.a3 B.a4 C.a5 D.a6 √且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.
∴{an}的最大值为a5.例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.
(1)数列中有多少项是负数？解　由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.
∵n∈N＋，∴n＝2，3.
∴数列中有两项是负数.(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值.∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟　有时也可借助函数最值来求数列最值.但应注意函数最值点不是正整数的情形.跟踪训练3　已知(－1)na＜1－ 对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是
_________.解析　设f(n)＝1－ ，n≥1，则f(n)单调递增.
当n为奇数时，有－a＜1－ ∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；
当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.
综上，可知{an}在n∈{1，2，3}时，单调递增；
在n∈{4，5，6，7，…}时，单调递减.所以存在最大项.反思感悟　如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦.∴当n＝1，2，3，4，5时，bn＋1－bn＞0，即b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
当n＝6，7，8，…时，bn＋1－bn＜0，即b6＞b7＞b8＞…，三、利用数列的单调性确定变量的取值范围
常利用以下等价关系：
数列{an}递增?an＋1＞an恒成立；数列{an}递减?an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.例5　已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋.
(1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围.解　由{an}是递增数列?an－(2n＋1)，n∈N＋?λ>－3.
∴λ的取值范围是(－3，＋∞).(2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围.解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13].∴k的取值范围为(2，＋∞).跟踪训练5　数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围.解　an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，an＋1－an＝2－k·2n－1.
∵{an}是递减数列，
∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，达标检测DABIAOJIANCE123451.设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是√∴当n＝7时，an取得最大值，
最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项
C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项√即t＝1时，an取最大值.所以该数列既有最大项又有最小项.123452345解析　∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，
∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，
∴{an}前10项都是正数，第11项是0，
∴数列{an}前10项或前11项的和最大.故选C.3.设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大
A.10 B.11 C.10或11 D.12√123454.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________.1 024解析　∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴an＞an－1，即{an}单调递增，
∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1 024.1(－11，－9)23451