2020版高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列专题突破三数列通项公式的求法（33张）

课件33张PPT。专题突破三　数列通项公式的求法第二章 数列求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法.一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式
例1　由数列的前n项，写出通项公式：
(1)3，5，3，5，3，5，…；解　这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5.
所以它的一个通项公式为an＝4＋(－1)n，n∈N＋.解　数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1，反思感悟　这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系.需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一.跟踪训练1　由数列的前几项，写出通项公式：
(1)1，－7，13，－19，25，…；解　数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，
且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(6n－5)，n∈N＋.二、利用递推公式求通项公式
命题角度1　累加、累乘
例2　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式；解　∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).
等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2).反思感悟　形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下：
第一步　将递推公式写成an＋1－an＝f(n)；
第二步　当n≥2时，依次写出an－an－1，…，a2－a1，并将它们叠加起来；
第三步　得到an－a1的值，解出an；
第四步　检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.叠乘法类似.跟踪训练2　在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1(n＝2，3，4，…)，求{an}的通项公式.解　∵当n＝1时，a1＝1，命题角度2　构造等差(比)数列
例3　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝1，则an＝___________.2×3n－1－1解析　设an＋1＋A＝3(an＋A)，化简得an＋1＝3an＋2A.
又an＋1＝3an＋2，∴2A＝2，即A＝1.∴数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.
则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.反思感悟　形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：
第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)；第四步　写出数列{an}通项公式.跟踪训练3　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式.解　设an＋1＋λ×5n＋1＝2(an＋λ×5n)， ①
将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，
得2an＋3×5n＋λ×5n＋1＝2an＋2λ×5n，
等式两边消去2an，得3×5n＋λ×5n＋1＝2λ×5n，
两边除以5n，得3＋5λ＝2λ，则λ＝－1，
代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n). ②
由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0，则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N＋).命题角度3　预设阶梯转化为等差(比)数列
例4　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；证明　由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.(2)求数列{an}的通项公式.解　由(1)，可知an－n＝4n－1，n∈N＋，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，n∈N＋.反思感悟　课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深.跟踪训练4　在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋).证明　由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，(2)求数列{an}的通项公式.三、利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式
例5　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N＋，则an等于
A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2解析　因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，
两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.√反思感悟　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤：
第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式；
第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式；
第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化归为例3形式的问题.得(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，
即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，
于是2a2＝2，故当n≥2时，nan＝2·3n－2.达标检测DABIAOJIANCE1.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是√1234567√解析　注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.1234567以上(n－1)个式子相乘得12345674.数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，n∈N＋，则它的通项公式为______________________.解析　当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2.12345675.在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式是__________.an＝4n－1解析　依题意a1＋4a1＋42a1＝21，
所以a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝4n－1.12345676.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n.求{an}的通项公式.解　因为Sn＝2n2－3n，
所以当n≥2时，
Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，
所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5，n≥2，
又当n＝1时，a1＝S1＝－1，满足an＝4n－5，
所以an＝4n－5，n∈N＋.12345677.已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.证明{an}是等比数列，并求其通项公式.1234567由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，
得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，1234567