课件29张PPT。第1课时 一元二次不等式及其解法(一)第三章 §3.3 一元二次不等式及其解法学习目标XUEXIMUBIAO1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 一元二次不等式的概念
1.一般地，含有一个未知数，且未知数的____________的整式不等式，叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般表达形式为__________________或_____________
(a≠0)，其中a，b，c均为常数.
3.能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解.
4.不等式所有解的_____称为解集.最高次数是2ax2＋bx＋c>0(a≠0)ax2＋bx＋c<0集合有两相异实根有两相等实根x1，x2(x1
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.{x|xx2}{x|x1解一元二次不等式的步骤：
(1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；
(2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；
(3)有根求根；
(4)根据图象写出不等式的解集.1.x2＞1的一个解是x＝－2.解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).( )
2.方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0.( )
3.如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解.
( )
4.x2－1>0与1－x2<0的解集相等.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√×2题型探究PART TWO题型一 一元二次不等式的解法多维探究命题角度1 二次项系数大于0例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集.解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，反思感悟 在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集.且a＝2>0，命题角度2 二次项系数小于0例2 解不等式－x2＋2x－3>0.解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是?.反思感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担.跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集.解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，题型二 “三个二次”间对应关系的应用例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.∴不等式bx2＋ax＋1>0，
即2x2－3x＋1>0.反思感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.跟踪训练3 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|10，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，解析 根据函数 f(x) 的性质可画出 f(x) 图象示意图：不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的
纵坐标介于[－1,1]之间时，
求横坐标x的取值集合.
由已知，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，
所以由－1≤f(x－2)≤1得－1≤x－2≤1，即1≤x≤3，故选D.典例 函数 f (x) 在 (－∞，＋∞) 上单调递减，且为奇函数.若 f (1) ＝－1，则满足－1≤ f (x－2)≤1的实数 x 的取值范围是
A.[－2,2] B.[－1,1] C.[0,4] D.[1,3]数形结合解不等式√核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG素养评析 直观想象素养的主要表现为：能建立形与数(如本例－1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系；利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y＝－1，y＝1两直线之间)；借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集).3达标检测PART THREE12341.不等式2x2－x－1>0的解集是√解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，512342.不等式－x2－x＋2>0的解集为___________.解析 由原式得x2＋x－2<0，得－2故其解集为{x|－2则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的实根，
所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝ .512344.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7∴－7×(－1)＝ ，故a＝3.512345.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.课堂小结KETANGXIAOJIE1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得{x|x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等.
3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.课件41张PPT。第2课时 一元二次不等式及其解法(二)第三章 §3.3 一元二次不等式及其解法学习目标XUEXIMUBIAO1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.
3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：f(x)·g(x)>0f(x)·g(x)≤0g(x)≠0知识点二 一元二次不等式恒成立问题
一般地，“不等式 f (x)>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数 y＝f (x) 在区间[a，b]上的图象全部在 x 轴___方.区间[a，b]是不等式 f (x)>0的解集的_____.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f (x)恒成立?k≥_______；
k≤f (x)恒成立?k≤_______.上子集f (x)maxf (x)min知识点三 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是?.
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.2.x2＋1≥2x等价于(x2＋1)min≥2x.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××2题型探究PART TWO题型一 分式不等式的解法例1 解下列不等式：跟踪训练1 解下列不等式：题型二 不等式恒成立问题例2 设函数 f (x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数 x，f (x)<0恒成立，求实数 m 的取值范围；解 要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；即－40时，g(x)在[1，3]上是增函数，当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6，∴m<0.方法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立.引申探究
把例2(2)改为：对于任意m∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.解 f(x)<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，m(x2－x＋1)－6<0.
设 g(m)＝m(x2－x＋1)－6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率∴g(m)在[1,3]上为增函数，
要使g(m)<0在[1,3]上恒成立，只需g(m)max＝g(3)<0，
即3(x2－x＋1)－6<0，x2－x－1<0，反思感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解.
(3)若已知参数的取值范围，求x的取值范围，通常用变换变元的方法解答.跟踪训练2 当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是__________.解析 构造函数 f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则 f(x)在[1,2]上的最大值为 f (1)或 f (2).
由于当 x∈(1,2)时，不等式 x2＋mx＋4<0恒成立.(－∞,－5]题型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}.当a＝1时，不等式的解集为?.当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当a＝1时，解集为?；反思感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)<0.解 当a<0或a＞1时，有a当0当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，解集为?.观察下列不等式解集与图象的关系.猜想第三个不等式的解集.穿针引线解高次不等式核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI对于函数f(x)＝(x－x1)(x－x2)(x－x3)…(x－xn)，
不妨设x1＜x2＜x3＜…＜xn.
其图象有两个特点：
①当x＞xn时，x－x1＞0，x－x2＞0，…，x－xn＞0，∴f(x)＞0.该区间内f(x)图象在 x 轴上方.
②从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次.
根据这个原理，只要画出 f(x)示意图(穿针引线)，即可得到 f(x)＞0(或 f(x)＜0)的解集.如第三个不等式解集为(0，1)∪(2，＋∞).在此过程中，y轴可省略不画.
③注意对于奇数次根穿而过，偶数次根穿而不过.解集为(－1,0)∪(1，＋∞).素养评析 穿针引线法的发现归功于从简单到复杂，从具体到一般的观察，发现问题，提出命题，这就是逻辑推理素养中的归纳.3达标检测PART THREE12341.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是
A.m≥2 B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2√解析 由题意，得Δ＝m2－4≤0，
∴－2≤m≤2.51234A.[1，2] B.(－∞，1]∪[2，＋∞)
C.[1，2) D.(－∞，1]∪(2，＋∞)5√∴x>2或x≤1.12345A.(－∞，－1)∪(－1，2] B.[－1，2]
C.(－∞，2] D.(－1，2]√故－1＜x≤2.12344.若不等式x2＋x＋k＜0在区间[－1，1]上恒成立，则实数k的取值范围是_____________.解析 x2＋x＋k＜0，即k＜－(x2＋x)在区间[－1，1]上恒成立，
即k＜[－(x2＋x)]min.
当x＝1时，[－(x2＋x)]min＝－2.∴k＜－2.5(－∞，－2)12345.解关于 x 的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.5解 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以
①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为?；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－12.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不等根(Δ>0)，两相等实根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1