第1课时 椭圆的简单性质
学习目标 1.掌握椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
对称性
关于x轴，y轴轴对称，关于坐标原点中心对称
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
离心率
e＝∈(0,1)
知识点二 离心率对椭圆扁圆程度的影响
如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0
1．椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．( √ )
2．椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.( √ )
3．椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．( × )
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.( × )
题型一 椭圆的简单性质
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
解 椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，由e＝＝，解得m＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1，F2，
顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．
反思感悟 解决椭圆的简单性质问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义求椭圆的基本量．
跟踪训练1 (1)椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A. B.
C．2 D．4
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的简单特征求参数
答案 A
解析 ∵椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，
∴a2＝1，b2＝m，则a＝1，b＝，
又长轴长是短轴长的两倍，∴2＝4，即m＝.
(2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的简单性质的表述正确的是( )
A．范围相同 B．顶点坐标相同
C．焦点坐标相同 D．离心率相同
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
答案 D
解析 椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，只有离心率相同．
题型二 利用简单性质求椭圆的标准方程
例2 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
(2)如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
反思感悟 解决利用简单性质求椭圆的标准方程问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练2 如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 ＋＝1
解析 设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b
＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
命题角度1 利用焦点三角形性质求椭圆的离心率
例3 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 －1
解析 方法一 如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝
＝＝c，
由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二 在焦点△NF1F2中，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
由离心率公式和正弦定理，得
e＝＝＝
＝
＝
＝－1.
反思感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．
跟踪训练3 设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 C
解析 如图，设直线x＝交x轴于D点，
因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
则有|F1F2|＝|F2P|.
因为∠PF1F2＝30°，
所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，
所以|DF2|＝|F2P|＝|F1F2|，
即－c＝×2c，即＝2c，
即＝，
所以椭圆的离心率为e＝.
命题角度2 利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例4 (1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴设A，B.
∴＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 椭圆＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，
所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是.
反思感悟 若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练4 设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案
解析 由题意知≤，
∵e＝，∴≤e<1.
椭圆简单性质的应用
典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 D
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的简单性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.
1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为( )
A．|x|≤5，|y|≤3
B．|x|≤，|y|≤
C．|x|≤3，|y|≤5
D．|x|≤，|y|≤
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆范围的简单应用
答案 B
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
所以a＝，b＝，
又焦点在y轴上，所以|x|≤，|y|≤.故选B.
2．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则( )
A．C1与C2顶点相同
B．C1与C2长轴长相同
C．C1与C2短轴长相同
D．C1与C2焦距相等
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
答案 D
解析 由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±2，0)，(0，±2)，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2)，长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D．以上都不对
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 C
解析 由2a＋2b＝18,2c＝6，c2＝a2－b2，得a＝5，b＝4，
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
4.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 (0，±)
解析 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9(舍去)．
又因为a2－b2＝c2，
所以a＝5，c＝4，故e＝＝.
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1.
4．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
2．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋y2＝2
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．4x2＋y2＝1
考点 椭圆的性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 C
解析 由题意知2b＝2，且a2＋b2＝5，得a＝2且b＝1，
由于椭圆焦点所在的位置不定，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1.
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.＋y2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
答案 D
解析 若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝，∴＝1－＝，
∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆的性质的应用
题点 求椭圆的离心率的值
答案 B
解析 如图，|OF1|＝c，|OB|＝b，
则|BF1|＝a，
设原点到l的距离为d，则ad＝bc，
∴d＝，
又d＝×2b，则＝b，
∴e＝＝.
5．已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是( )
A．4 B.
C．4或 D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 B
解析 ∵焦点在y轴上，∴a2＝1，b2＝m，
∴e＝＝＝＝，
∴m＝.
6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 椭圆的性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
答案 A
解析 由e＝得＝.①
∵△AF1B的周长为4，由椭圆定义，
得4a＝4，得a＝.
代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，
∴C的方程为＋＝1.
7．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆性质的应用
题点 求椭圆的离心率
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
则kOP＝－，kAB＝－，
∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.
把P代入椭圆方程，得＋＝1，
∴2＝，∴e＝＝.
8．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有( )
A．3个 B．4个
C．6个 D．8个
考点 椭圆简单性质的应用
题点 椭圆对称性的应用
答案 C
解析 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P共有6个．故选C.
二、填空题
9．已知长方形ABCD，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
考点 椭圆的离心率问题
题点 由a与c的关系式得离心率
答案
解析 如图，|AB|＝2c＝4，
∵点C在椭圆上，
∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8，
∴e＝＝＝.
10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0考点 椭圆性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求参数
答案 (2,4]
解析 ∵e＝＝，
∴0<≤，
得111．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．
考点 椭圆性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案
解析 ∵∠BAO＋∠BFO＝90°，
∴∠BAO＝∠FBO，
∴tan∠BAO＝tan∠FBO，
即＝，得b2＝ac，
∴a2－c2＝ac，
即e2＋e－1＝0，
∵0三、解答题
12．已知椭圆C1：＋＝1，若椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
考点 椭圆的简单性质
题点 由条件研究椭圆的简单性质
解 (1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，
短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率e＝.
13．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．
考点 椭圆性质的应用
题点 椭圆性质的综合应用
解 如图，∵·＝0，
∴AF2⊥F1F2.
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴b2＝a2.
设A(x，y)(x>0，y>0)，
由AF2⊥F1F2知x＝c，
∴A(c，y)代入椭圆方程得＋＝1，
∴y＝.
∵△AOF2的面积为2，
∴S△AOF2＝cy＝2.
即c·＝2.
∵＝，∴b2＝8，
∴a2＝2b2＝16，
∴椭圆方程为＋＝1.
14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
考点 椭圆简单性质的应用
题点 求离心率的取值范围
答案 C
解析 ∠B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则＝(－a，b)，＝(－c，－b)，
∵当向量的夹角为钝角时，·<0，
∴ac－b2<0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2>0，
不等式两边同除以a2，得1－e－e2>0，即e2＋e－1<0，解得又∵015.设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B(如图)．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
考点 椭圆简单性质的应用
题点 由椭圆的几何特征求方程
解 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
其中c＝，设B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝，
即b2－c2＝1，
即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
第2课时 椭圆简单性质的应用
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：
联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三 弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝，
∴|AB|＝
＝
＝，
或|AB|＝
＝
＝.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．
1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ )
2．在椭圆上的所有点中，长轴的端点到椭圆中心的距离最大，短轴的端点到椭圆中心的距离最小．( √ )
3．在椭圆的焦点弦中，当弦与长轴垂直时弦最短，当弦与长轴重合时弦最长．( √ )
4．设A是椭圆内一点，以A为中点的弦是唯一的．( × )
5．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．( √ )
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
考点
题点
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①
方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
跟踪训练1 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为________．
考点
题点
答案 [1,5)
解析 ∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
由此得解得1≤m<5.
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例2 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 (1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是|AB|＝
＝
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)方法一 当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立消去y，
得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋64k2－64k－20＝0.
显然，Δ>0，
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练2 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二 由消去y，
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
题型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
反思感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练3 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)若点P(a，b)是椭圆C上一点，求a2＋b2的取值范围；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求|AB|的最小值．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
解 (1)由题意得a2＋2b2＝4，
则a2＝4－2b2，
∴a2＋b2＝4－2b2＋b2＝4－b2，
∵b∈[－，]，∴4－b2∈[2,4]．
故a2＋b2∈[2,4]，a2＋b2的取值范围为[2,4]．
(2)设A(t,2)，B(x0，y0)，x0≠0.∵OA⊥OB，
∴·＝0，
∴tx0＋2y0＝0，∴t＝－.
又∵x＋2y＝4，∴0∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋＋4≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即x＝4时等号成立，
∴|AB|的最小值为2.
转化化归思想在椭圆中的应用
典例 已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P到F1，F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．
考点
题点
解 (1)由题意得2a＝4，即a＝2，
又点P在椭圆C上，
∴＋＝1，即b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1，焦点F1(－，0)，F2(，0)．
(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，
设l：y＝kx＋2，代入＋y2＝1，
整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＝16(4k2－3)>0，
得k2>.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵原点O在以线段AB为直径的圆外，
∴∠AOB为锐角，∴cos∠AOB>0，
则·＝x1x2＋y1y2>0，
又y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)
＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)＋2k＋4
＝>0.∴k2<4，∴∴直线l的斜率k的取值范围是∪.
[素养评析]
(1)本例中???
利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围．
(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与已有知识结合，逐步推出相应的结论．对逻辑推理素养的培养有很好的帮助.
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2考点 椭圆的简单性质
题点 点与椭圆的位置关系
答案 A
解析 由题意知＋<1，解得－2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 B
解析 由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∵Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，∴16m2－4m(3＋m)>0，
∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_______________________________________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 2
解析 由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
4．已知椭圆C的两个焦点是F1(－2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0，)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
解 (1)由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，(0，)是椭圆短轴上的一个顶点，可得b＝，由题意可得c＝2，故a＝＝3，则椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由已知得，直线l的斜率k＝tan45°＝1，而F1(－2,0)，所以直线l的方程为y＝x＋2，代入方程＋＝1，得5x2＋9(x＋2)2＝45，即14x2＋36x－9＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，则|PQ|＝|x1－x2|＝×＝×＝.
1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用点差法．
2．最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想.
一、选择题
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交C．相离D．不确定
考点
题点
答案 B
解析 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，
故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，
所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B.
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1
考点 椭圆的简单性质
题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质
答案 D
解析 因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.
3．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为( )
A．b2B．abC．acD．bc
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
答案 D
解析 当直线AB为y轴时，面积最大，
此时|AB|＝2b，△AFB的高为c，
∴S△AFB＝·2b·c＝bc.
4．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A.B．±C.D．±
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 求椭圆中的直线方程
答案 B
解析 根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.
5．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆的公共点个数问题
答案 C
解析 ∵直线与圆没有交点，∴d＝>2，
∴a2＋b2<4，即<1，∴＋<1，
∴点(a，b)在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点．
6．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( )
A.B.C.D.
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 B
解析 将x＝±c代入椭圆方程，得y＝±.
由题意得＝2c，即b2＝ac，
所以a2－c2＝ac，则2＋－1＝0，
解得＝(负值舍去)．
7．经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3B．±C．－D．－
考点 椭圆的几何性质
题点 椭圆范围的简单应用
答案 C
解析 由x2＋2y2＝2，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)，不妨设直线l过右焦点，则直线l的方程为y＝x－1，代入x2＋2y2＝2，得x2＋2(x－1)2－2＝0，化简得3x2－4x＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，所以·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－·＝，因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，所以＝.因为右焦点为F(3,0)，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1.
二、填空题
9．若直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
考点
题点
答案 (－2,2)
解析 由＋＝1，
得－210．椭圆＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长问题
答案
解析 由得交点为(0,1)，，
则|AB|＝＝.
11．如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率为________．
考点 椭圆几何性质的应用
题点 求椭圆离心率的值
答案 －1
解析 由直线方程y＝(x＋c)，得直线与x轴的夹角∠MF1F2＝，且过点F1(－c,0)．
∵∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF1F2＝2∠MF2F1＝，即F1M⊥F2M.
∴在Rt△F1MF2中，|F1F2|＝2c，|F1M|＝c，|F2M|＝c，∴由椭圆定义可得2a＝c＋c，
∴离心率e＝＝＝－1.
12．若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线x＋y－1＝0交于A，B两点，且＝，则原点与线段AB的中点M的连线的斜率为________．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 中点弦问题
答案
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②，得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
即＋·＝0.
∵＝－1，＝，
∴＝，∴kOM＝.
三、解答题
13．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
解 (1)由＋＝1，知a＝，b＝，所以c＝1.
所以F1(－1,0)，F2(1,0)，
所以直线l的方程为y＝x＋1，
由消去y，
整理得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则
x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，
y0＝＝＝＋1＝，
所以AB的中点坐标为.
(2)由题意，知F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
所以S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
所以△ABF2的周长为4a＝4，面积为.
14．椭圆＋＝1(a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且⊥(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 直线与椭圆相交时的其他问题
(1)证明 椭圆的方程可化为b2x2＋a2y2－a2b2＝0.
由消去y，
得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
由Δ＝4a4－4(a2＋b2)·a2·(1－b2)>0，
得a2＋b2>1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，
即2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，即＋＝2.
∴＋等于定值．
(2)解 ∵e＝，∴b2＝a2－c2＝a2－a2e2.
又∵a2＋b2＝2a2b2，∴2－e2＝2a2(1－e2)，
即a2＝＝＋.
∵≤e≤，
∴≤a2≤，即≤a≤，
∴≤2a≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．
15.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
考点 直线与椭圆的位置关系
题点 弦长与三角形面积
解 (1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d<1，得|m|<.(*)
∴|CD|＝2＝2＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，
得x2－mx＋m2－3＝0，
Δ＝(－m)2－4(m2－3)>0，得m2<4.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足(*)式，也满足Δ>0.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
