2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案（含解析）北师大版选修1_1

1．1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
知识点一　椭圆的定义
1．定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．
这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
2．椭圆的集合表示
设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．
知识点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．(　×　)
2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)
3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)
题型一　求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以所以
所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，
即a＝，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
则解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
反思感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
(2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且经过点M(，1)．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝26,2c＝10，所以a＝13，c＝5.
所以b2＝a2－c2＝144.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由椭圆＋y2＝1，知焦点在x轴上，
则c2＝3－1＝2，∴c＝，
∴椭圆的两个焦点坐标分别为(－，0)和(，0)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a2>2)，
把(，1)代入方程，得＋＝1，
化简，得a4－5a2＋4＝0，
∴a2＝4或a2＝1(舍)，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型二　椭圆定义的应用
命题角度1　利用椭圆定义求轨迹方程
例2　如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．.
考点　与椭圆有关的轨迹方程
题点　与椭圆定义有关的轨迹方程
解　设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
其轨迹方程为＋＝1.
反思感悟　利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
跟踪训练2　如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程．
考点　与椭圆有关的轨迹方程
题点　与椭圆定义有关的轨迹方程
解　如图所示，连接MA.
由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，
故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5>|AC|＝2.
故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，
且2a＝5，c＝1，
故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
命题角度2　椭圆中的焦点三角形问题
例3　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　由题意知|F1O|＝＝3，
∴|F1F2|＝6.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4，
所以＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.
引申探究　
若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积．
解　由椭圆＋＝1，知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6，
因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，
所以|PF1|·|PF2|＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
反思感悟　1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
2．焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan.
跟踪训练3　已知AB是过椭圆x2＋y2＝1的左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|＝4，其中F2为椭圆的右焦点，则|AB|＝________.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　2
解析　由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6.
所以|AF1|＋|BF1|＝6－4＝2，即|AB|＝2.
1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　椭圆的定义
题点　由椭圆定义确定轨迹
答案　A
解析　若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．
2．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5B．6C．7D．8
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　D
解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.
3．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　椭圆的标准方程
题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)
答案　B
解析　由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0,1)，故－1＝1，解得k＝2.
4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积为________．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　4
解析　由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，且|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且PF1⊥PF2，
∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
5．若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b＝6，求顶点B的轨迹方程．
考点　与椭圆有关的轨迹方程
题点　与椭圆定义有关的轨迹方程
解　以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3,0)，C(3,0)，
设B(x，y)，则|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12，
∴B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，
且a′＝6，c′＝3，b′2＝27.
故所求的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
一、选择题
1．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　求椭圆的标准方程
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　C
解析　∵|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×2＝4>|F1F2|.
∴点P的轨迹应是以F1，F2为焦点的椭圆．
∵c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∴动点P的轨迹方程为＋＝1.
2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．16B．18C．20D．不确定
答案　B
解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，
所以周长为10＋8＝18.
3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋x2＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　A
解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆的方程为＋＝1.
4．方程＋＝10化简的结果是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
考点　椭圆标准方程的求法
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　C
解析　由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＝5.
所以b2＝a2－c2＝9，故化简结果为＋＝1.
5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)
A．2B．4C．8D.
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　B
解析　如图，F2为椭圆右焦点，连接MF2，
则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝4.
6．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
考点　椭圆的定义
题点　椭圆定义的应用
答案　D
解析　∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
7．“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析　当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以18．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为(　　)
A.B.C.D.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　C
解析　∵·＝0，∴⊥，
由|MF1|＋|MF2|＝4，①
又|MF1|2＋|MF2|2＝(2)2＝12，②
可得，|MF1|·|MF2|＝2，
设M到x轴的距离为h，
则|MF1|·|MF2|＝|F1F2|h，
h＝＝.
二、填空题
9．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．
考点　椭圆的标准方程
题点　定义法求椭圆的标准方程
答案　＋＝1
解析　如图，∵△ABF2的周长等于20，
∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．短轴长为2，离心率e＝的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．
考点　
题点　
答案　12
解析　不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵短轴长为2，离心率e＝，∴b＝，＝，
又a2＝b2＋c2，∴a＝3，
∴△ABF2的周长＝|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4a＝12.
11．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
答案　3
解析　由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又∵⊥，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
即4c2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2b2，
∴＝·|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9，
又∵b>0，∴b＝3.
三、解答题
12．求过点(0,4)且与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点的椭圆的方程．
考点　椭圆标准方程的求法
题点　待定系数法求椭圆的标准方程
解　由9x2＋4y2＝36，得＋＝1，
则c＝＝，
焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
则a＝4，∴b2＝a2－c2＝11，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
13．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
考点　与椭圆有关的轨迹方程
题点　与椭圆定义有关的轨迹方程
解　两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；
O2(3,0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，
∴|MO1|＋|MO2|＝10.而|O1O2|＝6<10，
故由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，
且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
14．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5B．7C．13D．15
考点　椭圆定义及其标准方程的应用
题点　椭圆定义及其标准方程的综合应用
答案　B
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
15．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
考点　椭圆的定义
题点　焦点三角形中的问题
解　(1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.
又∵3a2＝4b2，
∴a2－b2＝a2＝c2＝1，
∴a2＝4，b2＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.
又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝，|PF2|＝，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝.