课件26张PPT。第1课时 高度、距离问题第一章 §1.2 应用举例学习目标XUEXIMUBIAO1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 实际应用问题中的有关术语
1.铅垂平面
与地面垂直的平面.
2.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示.
3.视角
观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角.上方下方知识点二 测量方案
测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的.设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度.一般来说，基线越长，精确度越高.1.已知三角形的三个角，能够求其三条边.( )
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.( )
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√2题型探究PART TWO题型一 测量高度问题例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于√解析 方法一 设AB＝x m，则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x)m.方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.反思感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题.跟踪训练1 江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距_________ m.题型二 测量距离问题例2 如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离.解 在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°反思感悟 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.跟踪训练2 要测量河对岸两地A，B之间的距离，在岸边选取相距 米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求A，B两地的距离.解 如图在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，在△ABC中，由余弦定理，得在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°，＝1002× ＝1002×5，核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG三角测量中的数学抽象所以索道AB的长为1 040 m.素养评析 数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象.在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.3达标检测PART THREE12341.如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是
A.a，c，α B.b，c，α C.c，a，β D.b，α，γ解析 由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.√12342.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，√12343.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是____.解析 由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负).44.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为___ km.解析 因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos D，71234课堂小结KETANGXIAOJIE1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别.
2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课件28张PPT。第2课时 角度问题及其他第一章 §1.2 应用举例学习目标XUEXIMUBIAO1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.
2.了解解三角形在物理中的应用.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 实际应用问题中的有关术语
1.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
2.方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角.
3.坡角
坡面与水平面的夹角.
4.坡比
坡面的垂直高度与水平距离之比.知识点二 解三角形在物理中的应用数学在物理学中的应用非常广泛，某种角度上说，物理题实际上是数学应用题，解物理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案.1.方位角和方向角是一样的.( )
2.南偏东30°指正南为始边，在水平面内向东旋转30°.( )
3.方位角可以是270°.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√2题型探究PART TWO题型一 角度的测量问题例1 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)解 在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，≈113.15.所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
所以此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解 如图所示.
设经过t小时两船在C点相遇，B＝90°＋30°＝120°，∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.题型二 解三角形在物理中的应用例2 如图所示，对某物体施加一个大小为10 N的力F，这个力被分解到OA，OB两个方向上，已知∠AOB＝120°，力F与OA的夹角为45°，求分力的大小.则∠FOC＝∠AOB－∠FOG＝120°－45°＝75°，
由?OGFC知，∠GFO＝∠FOC＝75°，
在△FOG中，∠FGO＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得反思感悟 解决物理等实际问题的步骤
(1)把实际问题受力平衡用图示表示.
(2)转化为数学问题，通过正、余弦定理解三角形.
(3)把数学问题的解转化为实际问题的解.跟踪训练2 有一两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船行驶的方向应为
A.与水速成45° B.与水速成135°
C.垂直于对岸 D.不能确定√即小船应朝与水速成135°的方向行驶.3达标检测PART THREE12341.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°解析 如图，因为△ABC为等腰三角形，√512342.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC等于解析 依题意知
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，
即3＝22＋AC2－2×2·AC·cos 60°，
AC2－2AC＋1＝0.
解得AC＝1 km.5√12343.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是√512344.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是5√解析 如图所示，由已知条件可得∴∠BCA＝45°，123455.作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|＝30 N，|F2|＝50 N，F1和F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向.(精确到0.1°)12345解 F3应和F1，F2的合力F平衡，
所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图，在△OF1F中，由余弦定理，得所以F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.
