课件32张PPT。第1课时 余弦定理及其应用第一章 1.1.2 余弦定理学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccos Aa2＋c2－2accos Ba2＋b2－2abcos C思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
(2)已知三角形的三边，求三角形的三个角.1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.( )
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( )
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.( )
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PART TWO例1 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ；sin A＝ .解得c＝2.
由a＝1，b＝2，c＝2，题型一 用余弦定理解三角形命题角度1 已知两边及其夹角多维探究2反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边.因为b>a，所以B>A，
所以A为锐角，所以A＝30°.命题角度2 已知三边反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角.跟踪训练2 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状.解 因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).所以C为钝角，
从而三角形为钝角三角形.题型二 余弦定理的证明例3 已知钝角△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义用a，b，C表示边c.解 不妨设A为钝角.
如图，作BD⊥CA，交CA延长线于点D.∴BD＝asin C，CD＝acos C.
∴AD＝CD－CA＝acos C－b.
∴c2＝BD2＋AD2
＝a2sin2C＋(acos C－b)2
＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－2abcos C.引申探究 注意到 ＝b， ＝a， ， 的夹角为C，恰好可以作为一组基底，能否用平面向量完成例3?即c2＝a2＋b2－2abcos C.反思感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方.跟踪训练3 用解析几何的两点间距离公式来证明余弦定理.解 如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(c，0)，C(bcos A，bsin A)，
∴BC2＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A，
即a2＝b2＋c2－2bccos A.
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.典例 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为 .核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN合理探究运算思路7解析 方法一 由条件知设中线长为x，由余弦定理，知所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.方法二 设AC中点为M，连接BM(图略).∴BM＝7，即AC边上的中线长为7.素养评析 数学运算素养的一个重要表现就是探究运算思路，探究运算思路最主要的是弄清楚3个问题：①我有什么？②我要什么？③怎样以我有达到我要？在本例中，我有三角形三边长.由此可求三角.我要求中线长，由于M为中点，在△ABM中，我有AB，AM，∠A(两边夹角).由此可求BM，思路贯通.在3达标检测PART THREE12345√解析 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，12345√3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为12345解析 设顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，√12345√12345∴在△ABD中，
有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，课堂小结KETANGXIAOJIE1.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.
2.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角，解三角形.
(2)已知三边求三角形的任意一角.课件36张PPT。第2课时 正弦定理和余弦定理第一章 1.1.2 余弦定理学习目标XUEXIMUBIAO1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.
2.掌握用两边夹角表示的三角形面积.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形
1.正弦定理及常见变形外接圆的半径2.余弦定理及常见变形
(1)a2＝_______________，
b2＝________________，
c2＝________________；(2)cos A＝__________，
cos B＝ _________，
cos C＝ __________.b2＋c2－2bccos Aa2＋c2－2accos Ba2＋b2－2abcos C知识点二 用两边夹角表示的三角形面积公式答案 BC边上的高.思考 2 如何用AB，AD，角A表示?ABCD的面积？答案 S?ABCD＝AB·AD·sin A.1.当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.( )
2.△ABC中，若cos 2A＝cos 2B，则A＝B.( )
3.在△ABC中，恒有a2＝(b－c)2＋2bc(1－cos A).( )
4.△ABC中，若c2－a2－b2>0，则角C为钝角.( )
5.△ABC的面积S＝ abc(其中R为△ABC外接圆半径).( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√√√2题型探究PART TWO题型一 利用正弦、余弦定理解三角形解 由ccos B＝bcos C，结合正弦定理，
得sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，∵0∴－π1.对于本例中的条件，ccos B＝bcos C，能否使用余弦定理？化简得a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴c2＝b2，从而c＝b.2.本例中的条件ccos B＝bcos C的几何意义是什么？解 如图，作AD⊥BC，垂足为D.
则ccos B＝BD，bcos C＝CD.
∴ccos B＝bcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段.
(2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.跟踪训练1 在△ABC中，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc.
(1)求A的大小；解 由题意及余弦定理知，题型二 求三角形面积例2 在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为√反思感悟 求三角形面积，主要用两组公式
(1) ×底×高.
(2)两边与其夹角正弦的乘积的一半.
选用哪组公式，要看哪组公式的条件已知或易求.题型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝ ，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
a2c2－a4＝b2c2－b4，
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).
∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理.
(2)变形要注意等价性，如sin 2A＝sin 2B?2A＝2B.
c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2) ? c2＝a2＋b2.跟踪训练3 在△ABC中，若sin2A＋sin2BA.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定∴sin2A＋sin2B(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明 方法一 (1)由正弦定理，得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.1求三角形一角的值√核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN∴a2＋c2－b2＝2accos B，素养评析 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一.运算从一点出发可以有无限个方向.一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实.那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：②观察联想，如看到a2＋c2－b2应联想到a2＋c2－b2＝2accos B.
③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2＋c2－b2化为2accos B简单.3达标检测PART THREE12341.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为
A.3 B. C.6 D.√解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，12342.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于
A.60° B.45°或135° C.120° D.30°√又0°∴B＝120°.12343.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin A＋bsin BA.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定√解析 根据正弦定理可得a2＋b2∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，
∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，
又a＝b，∴a＝2c.课堂小结KETANGXIAOJIE1.熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量.
2.对所给条件进行变形，主要有两种方向
(1)化边为角.
(2)化角为边.
3.(1)对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
