2020版高中数学新人教B版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理（二）（28张PPT）

课件28张PPT。1.1.2　余弦定理(二)[学习目标]
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.[知识链接]
1.以下问题不能用余弦定理求解的是 .
(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形.
(2)已知两角和一边，求其他角和边.
(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角.
(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.(2)2.利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 .
(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形.
(2)在△ABC中，若a2(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.(1)(3)[预习导引]
1.正弦定理及其变形
(1) ＝ (R为△ABC外接圆半径).
(2)a＝ ，b＝ ，c＝ .
2.余弦定理及其推论
(1)a2＝ ，b2＝ ，c2＝
.a2＋b2－2abcos C2R2Rsin A2Rsin B2Rsin Cb2＋c2－2bccos Ac2＋a2－2cacos B(2)cos A＝ ，cos B＝ ，cos C＝ .
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为 ；c2>a2＋b2?C为 ；c23.三角变换公式
(1)cos(α＋β)＝ .
(2)cos(α－β)＝ .
(3)cos2α＝ ＝ ＝ . cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α直角钝角锐角要点一　正、余弦定理的综合应用
例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，
由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，
∴142＝102＋x2－2×10·xcos 60°，
即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，
∴BD＝16.
∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理：规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1　 在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，求b.解　方法一　在△ABC中，∵sin Acos C＝3cos Asin C，
则由正弦定理及余弦定理有：
化简并整理得：
2(a2－c2)＝b2.
又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍).方法二　由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccos A.
又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccos A＋2. ①
又sin Acos C＝3cos Asin C，
∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C，
sin(A＋C)＝4cos Asin C，
即sin B＝4cos Asin C，
由正弦定理得sin B＝ sin C，故b＝4ccos A. ②
由①②解得b＝4.要点二　利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式
例2　在△ABC中，有：
(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A；
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明　方法一　(1)设△ABC外接圆半径为R，
由正弦定理得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.方法二　(1)由余弦定理得
∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.规律方法　(1)证明三角恒等式的关键是消除等号两端
三角函数式的差异.形式上一般有：左?右；右?左或左
?中?右三种.
(2)利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有
两种途径：一是把角的关系通过正、余弦定理转化为边
的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过
正弦定理转化.跟踪演练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：
证明　方法一　因为左边＝
∴等式成立.方法二　设△ABC外接圆半径为R，
∵右边＝
∴等式成立.要点三　利用正、余弦定理判断三角形形状
例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状.解　由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，又A∈(0，π)，∴A＝ ，
又sin A＝2sin Bcos C，
由正、余弦定理，得a＝2b·
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形.规律方法　题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断.跟踪演练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状.
解　方法一　根据余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accos B.∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴ ＝a2＋c2－2accos 60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.
∴△ABC是等边三角形.方法二　根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，
整理得sin(A＋30°)＝1，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形.1.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为 (　　)
解析　根据正弦定理， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0).
则有cos C＝A当堂检测2.在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析　∵2cos Bsin A＝sin C，∴2× ×a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形.C3.在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ ac，则角B的值为 .
解析　根据余弦定理，cos B＝ ，又B∈(0，π)，所以B＝ .4.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2 ，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
解　设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2 )2－2a×2 cos 30°，即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边为2,2,2 可组成三角形；
当a＝4时，三边为4,2,2 也可组成三角形.
∴满足条件的三角形有两个.课堂小结
1.已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件.