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1．1 任意角和弧度制1.1.1 任意角
考 纲 定 位 考纲要求 要求 题型
1.任意角的概念2. 象限角的判断3. 终边相同的角4.已知角的终边的范围求角的集合 1.了解角的概念． 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角. i 填空题
知识梳理
一、角的概念及分类
1．角的概念
角 描述
定义 角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
表示 其中O为顶点，OA为始边， OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
2.角的分类
(1)按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转称它形成了一个零角
(2)按角终边的位置：
二、终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
考向一 任意角的概念
[典例1] (1)下列说法正确的有________．(填序号)
①零角的始边和终边重合．
②始边和终边重合的角是零角．
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，
则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.
④绝对值最小的角是零角．
(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
[解析] (1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．
(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－×360°＝－1 950°.
[答案] (1)①③④
求解任意角问题的步骤
(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．
1．写出下列说法所表示的角：
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；
(3)向右转体3周．
解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.
(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°.
考向二 象限角的判断
[典例2] (1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；
④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知α是第三象限角，判断是第几象限角．
[解析] (1)①－15°在第四象限；
②180°<185°<270°在第三象限；
③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°在第二象限；
④－350°＝－360°＋10°是第一象限角．
所以四个结论都是正确的．
(2)因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，90°＋n·360°<所以是第二象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
270°＋n·360°<所以是第四象限角，
综上，为第二象限角或第四象限角．
[答案] (1)D
判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2．(1)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．
解析：(1)当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A.
(2)因为β是第四象限角，
所以－90°＋k·360°<β所以－k·360°<－β<90°－k·360°(k∈Z)，
所以180°－k·360°<180°－β<270°－k·360°(k∈Z)，
所以180°－β是第三象限角．
答案：(1)A
考向三 终边相同的角
[典例3] (1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．
(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.
[解析] (1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，
所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.
(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.
②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.
[答案] (1)150°
求解给定范围内终边相同的角的方法
先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.
3．在0°～360°内，找出与下列各度数的角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)650°；(2)－950°12′.
解析：(1)650°＝360°＋290°，
∴在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(2)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
∴在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′角，它是第二象限角．
考向四 已知角的终边的范围求角的集合
[典例4] (1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．
(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．
[解析] (1)若角α的终边落在OA上，
则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，
则α＝30°＋360°·k，k∈Z.
所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.
故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}
(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，
所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，
＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，
S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．
[答案] (1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}
由角的终边的范围求角的集合的步骤
(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．
(2)按照所给的范围写出角的范围．
(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．
4．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．
解析：如图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：
S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，
∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为
{θ|k·360°－30°<θ(2)如图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，
∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．
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1．在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是( )
A．30° B．150°
C．210° D．330°
解析：因为－1 050°＝－1 080°＋30°＝－3×360°＋30°，所以在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是30°，故选A.
答案：A
2．“喜羊羊”步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
解析：利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又周角为360°，所以有×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.故选D.
答案：D
3．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为( )
A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z}
B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}
C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z}
D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z}
解析：根据终边相同的角相差360°的整数倍，故与α＝－21°终边相同的角可表示为：{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}，故选B.
答案：B
4．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．
答案：D
5．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是________．
解析：∵2α与20°角终边相同，
∴2α＝k·360°＋20°
∴α＝k·180°＋10°，k∈Z.
答案： {α|α＝k·180°＋10°，k∈Z}
6．在0°～360°范围内：与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．
答案：80° 一
7．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
解析：在[0°，360°)内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，
∴β＝k·360°＋60°(k∈Z)．
答案：k·360°＋60°(k∈Z)
8．已知角α＝2 015°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
解析：(1)用2 015°除以360°商为5，余数为215°，
∴k＝5
∴α＝5×360°＋215°(β＝215°)
∴α为第三象限角.
(2)与2 015°终边相同的角：
θ＝k·360°＋2 015°(k∈Z)
又θ∈[－360°，720°)
∴θ＝－145°，215°，575°.
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
解析：
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上，写出角β的集合S.
解析：如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
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考 纲 定 位 考纲要求 要求 题型
1.任意角的概念2. 象限角的判断3. 终边相同的角4.已知角的终边的范围求角的集合 1.了解角的概念． 2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角. i 填空题
知识梳理
一、角的概念及分类
1．角的概念
角 描述
定义 角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
表示 其中O为顶点，OA为始边， OB为终边
记法 角α或∠α，或简记为α
2.角的分类
(1)按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转称它形成了一个零角
(2)按角终边的位置：
二、终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
考向一 任意角的概念
[典例1] (1)下列说法正确的有________．(填序号)
①零角的始边和终边重合．
②始边和终边重合的角是零角．
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，
则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.
④绝对值最小的角是零角．
(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－×360°＝－1 950°.
1．写出下列说法所表示的角：
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；
(3)向右转体3周．
考向二 象限角的判断
[典例2] (1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；
④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知α是第三象限角，判断是第几象限角．
2．(1)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．
考向三 终边相同的角
[典例3] (1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．
(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.
3．在0°～360°内，找出与下列各度数的角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．
(1)650°；(2)－950°12′.
考向四 已知角的终边的范围求角的集合
[典例4] (1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．
(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．
4．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．
过关检测
1．在0°～360°范围内，与－1 050°的角终边相同的角是( )
A．30° B．150°
C．210° D．330°
2．“喜羊羊”步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟.10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是( )
A．30° B．－30°
C．60° D．－60°
3．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为( )
A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z}
B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}
C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z}
D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z}
4．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
5．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是________．
6．在0°～360°范围内：与－1 000°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
7．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
8．已知角α＝2 015°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上，写出角β的集合S.
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